<p>На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 7.</p><p>а) Может ли сумма составлять 231?</p><p>б) Может ли их сумма составлять 395?</p><p>в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2283?</p><p><em>В ответе укажите найденное в пункте "в" значение.</em></p>

<p>Из пары натуральных чисел (a; b), где a > b, за один ход получают пару (a + b; a – b).</p><p>а)  Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару, большее число в которой равно 400?</p><p>б)  Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару (806; 788)?</p><p>в)  Какое наименьшее a может быть в паре (a; b), из которой за несколько ходов можно получить пару (806; 788)?</p><p>В ответ введите значение из пункта в).</p>

<p>На столе лежит три карточки, на каждой из которых написана одна цифра. Ваня составил из написанных цифр трехзначное число А. Петя выбрал две из этих карточек, составил из написанных на них цифр двузначное число В и вернул карточки на место. Коля тоже выбрал две из этих трех карточек и составил из написанных на них цифр двузначное число С (возможно то же самое, что и Петя).</p><p>а)  Может ли быть верным равенство A  =  B + C, если A < 150?</p><p>б)  Может ли быть верным равенство A  =  B + C, если числа B и C делятся на 3?</p><p>в)  Найдите наибольшее число A, для которого может быть верным равенство A  =  B + C.</p><p>В ответ введите значение из пункта в).</p>

<p>Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел, равен 368. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел.</p><p>а)  Может ли число 575 являться членом такой прогрессии?</p><p>б)  Может ли число 920 являться членом такой прогрессии?</p><p>в)  Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?</p><p>В ответ введите число, полученное в пункте в).</p>

<p>а) Приведите пример шестизначного числа, вычеркивая цифры которого можно получить 563, 138 и 698.</p><p>б) Существует ли такое восьмизначное число, при вычеркивании цифр которого получается каждое из чисел 368, 173, 845, 521?</p><p>в) Найдите наименьшее натуральное число, из которого можно получить все натуральные числа от 1 до 60 включительно, вычеркивая из него цифры.</p><p>В ответе укажите найденное в пункте "в" значение.</p>

<p>Даны <em>n</em> различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3). </p><p>а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 13?<br>б) Каково наибольшее значение <em>n</em>, если сумма всех данных чисел меньше 500?<br>в) Найдите все возможные значение <em>n</em>, если сумма всех данных чисел равна 57.</p><p>В ответ укажите значение из пункта б).</p>

<p>На доске были написаны несколько целых чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа, сумма которых делится на 3.</p><p>а)  Может ли сумма всех оставшихся на доске чисел равняться 8, если изначально по одному разу были написаны числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11?</p><p>б)  Может ли на доске остаться ровно два числа, разность между которыми равна 39, если изначально по одному разу были написаны все натуральные числа от 100 до 199 включительно?</p><p>в)  Пусть известно, что на доске осталось ровно два числа, а изначально по одному разу были написаны все натуральные числа от 100 до 199 включительно. Какое наибольшее значение может получиться, если поделить одно из оставшихся чисел на второе из них?</p><p>В ответе укажите значение, полученное в пункте в). </p>

<p>На доске написано число 2015 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.</p><p>а)  Может ли на доске быть написано ровно 1009 чисел?</p><p>б)   Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?</p><p>в)  Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?</p><p>В ответе укажите значение из пункта в).</p>

<p>В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 46, а вместе солдат меньше чем 111. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 8, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.</p><p>а)  Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.</p><p>б)  Можно ли построить роту указанным способом по 13 солдат в одном ряду? </p><p>в)  Сколько в роте может быть солдат?</p>

<p>Есть 4 камня по 3 тонны и 11 камней по 20 тонн.</p><p>а) Можно ли разложить камни на 2 группы так, чтобы разность сумм масс камней обеих групп была равна 14 тоннам?</p><p>б) Можно ли разложить камни на 2 группы так, чтобы сумма масс камней обеих групп была одинаковой?</p><p>в) Какую минимальную положительную разность сумм масс камней можно достичь при разложении камней на 2 группы?</p>

<p>Есть 24 монет по 2 рубля и 30 монеток по 5 рублей.</p><p>а)  Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 196?</p><p>б)  Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 197?</p><p>в)  Какое наименьшее количество монеток по 1 рублю нужно добавить в набор, чтобы можно было получить любую целую сумму от 1 до 200 включительно?</p><p>В ответе укажите значение, полученное в пункте в).</p>

<p>В кошельке у Арсения было n монет достоинством 2, 5 или 10 рублей. Арсений сделал несколько покупок, расплатился за каждую покупку отдельно и без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.<br><br>а) Могли ли покупками быть шоколад за 64 рубля и сок за 31 рубль, если n = 16?<br><br>б) Могли ли покупками быть чашка кофе за 15 рублей, молочный ломтик за 20 рублей и сэндвич за 25 рублей, если n = 26?<br><br>в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Арсений купил только мармелад за 96 рублей, а n = 19?</p>

<p>У Риты в копилке лежат монеты номинала 1, 2, 5 и 10 рублей, монет каждого вида в копилке ровно 50 штук. Рита решила прогуляться до ближайшей пекарни и приобрести любимый десерт без сдачи, однако до момента покупки она не знает, сколько именно будет стоить десерт.</p><p>а) Есть ли возможность у Риты выбрать дома 35 монет так, чтобы гарантированно приобрести десерт стоимостью не более 300 рублей?</p><p>б) Может ли Рита выбрать дома 7 монет так, чтобы гарантированно приобрести десерт стоимостью до 47 рублей?</p><p>в) Определите наименьшее количество монет, которые нужно взять Рите, если она знает, что десерт стоит не более 300 рублей.</p>

<p style="text-align: justify;">Игорь записал по кругу X различных натуральных чисел, каждое из которых не больше 377, причем при записи чисел он руководствовался следующим принципом – сумма любых трех идущих подряд чисел не должна делиться на тройку, а вот сумма любых четырех идущих подряд чисел обязательно должна делиться на тройку.</p><p style="text-align: justify;">а) Мог ли Игорь выписать 270 чисел?<br>б) Мог ли Игорь выписать 157 чисел?<br>в) Какое наибольшее количество чисел мог записать Игорь?</p>

<p style="text-align: justify;">Игнат проводит эксперимент и записывает выводимые компьютером результаты, пропускаемые через особый фильтр. Результат эксперимента представляется в виде возрастающей последовательности натуральных чисел, каждые три последовательных члена из которой образуют либо геометрическую, либо арифметическую прогрессию. Получилось, что первый член последовательности равен 5, а последний равен 2980. </p><p style="text-align: justify;">а) Может ли результат эксперимента выражаться в виде трех чисел?<br>б) Может ли результат эксперимента выражаться в виде четырех чисел?<br>в) Может ли результат эксперимента состоять менее, чем из 2980 чисел?</p>