<p>В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.</p><p>а)  Докажите, что прямые EH и AC параллельны.</p><p>б)  Найдите отношение EH и AC, если ∠ABC = 30°.</p>

Тест

<p>Найдите скалярное произведение<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi mathsize="14px">a</mi><mo mathsize="14px">&#8594;</mo></mover><mo mathsize="14px">&#183;</mo><mover><mi mathsize="14px">b</mi><mo mathsize="14px">&#8594;</mo></mover><mo mathsize="14px">,</mo></math>если<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mstyle mathsize="14px"><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#8594;</mo></mover><mo>|</mo><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mo>&#160;</mo><mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>&#8594;</mo></mover><mo>|</mo><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mstyle></math>а угол между этими векторами равен 120°.</p>

Тест

<p>Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ. Внешний угол при вершине В равен 154°. Найдите угол С в треугольнике АВС. Ответ дайте в градусах.</p>

Тест

<p>Пятиугольник&nbsp;ABCDE  — вписанный, точка&nbsp;M  — пересечение диагоналей&nbsp;BE&nbsp;и&nbsp;AD. Известно, что&nbsp;BCDM  — параллелограмм.</p><p>а)  Докажите, что две стороны пятиугольника равны.</p><p>б)  Найдите AB, если известно, что ВЕ = 12, ВС = 5, AD = 9.</p><p>В ответ введите значение из пункта б).</p>

Тест

<p>Окружность с центром O₁ касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD и не имеет общих точек с прямой CD. Окружность с центром O₂ касается сторон BC, CD и AD и не имеет общих точек с прямой AB.</p><p>а) Докажите, что прямая O₁O₂ параллельна основанию трапеции ABCD.</p><p>б) Найдите длину отрезка O₁O_2&nbsp;, если AB = 11, BC = 10, CD = 13, AD = 18.</p><p>В ответ введите значение из пункта б).</p>

Тест

<p>Две окружности пересекаются в точках T и P. Прямая, проходящая через точку T, второй раз пересекает первую и вторую окружность в точках L и M соответственно. Прямая, проходящая через точку P параллельно LM, второй раз пересекает первую и вторую окружность в точках K и N соответственно.<br>а) Докажите, что четырёхугольник KLMN является параллелограммом.<br>б) Найдите отношение MP : PL, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.</p><p>В ответе запишите найденное в пункте "б" отношение без пробелов через знак "/". Например, если MP : PL = 3 : 5, то в ответе нужно записать 3/5.</p>

Тест

<p>Высота LL₁&nbsp;и биссектриса MM₁&nbsp;треугольника KLM пересекают описанную окружность в точках N и P соответственно. Известно, что ∠MLK = 85° и ∠KML = 40°.</p><p>а) Докажите, что LN =  MP.</p><p>б) Пусть PN и ML пересекаются в точке A. Найти площадь треугольника MAN, если его высота MН равна 16.</p><p>В ответе укажите найденное в пункте "б" значение.</p>

Тест

<p>Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника АВС со сторонами AC = 16, CB = 30 и ∠C = 90°.</p><p><img src="https://storage.yandexcloud.net/net.umschool/media/uploads/froala_editor/images/6_ehEt513.png" style="width: 326px;" class="fr-fic fr-dib"></p>

Тест

<p>Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>6</mn><mo>+</mo><mn>3</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></math>. Чему равен радиус вписанной в этот треугольник окружности?</p><p><img src="https://storage.yandexcloud.net/net.umschool/media/uploads/froala_editor/images/270097.png" style="width: 300px;" class="fr-fic fr-dib"></p>

Тест

<p>В четырехугольник UMSL вписана окружность. Длины сторон четырехугольника равны: UM = 8, SL = 11, UL = 6. Найдите длину стороны SM.&nbsp;</p><p style="text-align: center;"><img src="https://storage.yandexcloud.net/net.umschool/media/uploads/froala_editor/images/1696428878774.png" class="fr-fic fr-dii" style="width: 391px;"></p>

Тест

<p>Четырёхугольник, два угла которого равны 17° и 103°, вписан в окружность. Найти меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.<br class="Apple-interchange-newline"><img src="https://storage.yandexcloud.net/net.umschool/media/uploads/froala_editor/images/1657463900120.jpeg" class="fr-fic fr-dib" style="box-sizing: border-box; vertical-align: top; border-style: none; outline: none; position: relative; max-width: 100%; cursor: pointer; padding: 0px 1px; margin: 5px auto; display: block; float: none; color: rgb(37, 37, 37); font-family: Ubuntu, sans-serif; font-size: 14px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial; text-align: center; background-color: rgb(255, 255, 255); width: 300px;"></p>

Тест

<p>BD и AC – диаметры в окружности с центром О. Угол ВОС – центральный и равен 104°. Найдите вписанный угол CAD. Ответ дайте в градусах.&nbsp;</p><p style="text-align: center;"><img src="https://storage.yandexcloud.net/net.umschool/media/uploads/froala_editor/images/7%20%287%29_lao6n2T.png" style="width: 300px;" class="fr-fic fr-dib"></p>

Тест

<p>Сторона равностороннего треугольника АВС равна 14. Найдите его площадь, делённую на <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>.</mo></math></p><p><img src="https://storage.yandexcloud.net/net.umschool/media/uploads/froala_editor/images/1%20%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%BE_XIn6GWD.png" style="width: 300px;" class="fr-fic fr-dib"></p>

Тест

<p>В треугольнике&nbsp;ABC&nbsp;биссектрисы&nbsp;AD&nbsp;и&nbsp;CE&nbsp;пересекаются в точке&nbsp;O, величина угла&nbsp;AOC&nbsp;составляет 120°.</p><p>а)  Докажите, что около четырехугольника&nbsp;BDOE&nbsp;можно описать окружность.</p><p>б)  Найдите площадь треугольника ABC, если ВС = 4, а угол BED равен 75°.</p>

Тест

<p>Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.&nbsp;</p><p>а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.<br style="outline-color: currentcolor; outline-style: none;">б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 20 и CE = 12.</p>

Тест