<p>На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 7.</p><p>а) Может ли сумма составлять 231?</p><p>б) Может ли их сумма составлять 395?</p><p>в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2283?</p><p><em>В ответе укажите найденное в пункте "в" значение.</em></p>

Тест

<p>Из пары натуральных чисел (a; b), где a &gt; b, за один ход получают пару (a + b; a – b).</p><p>а)  Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару, большее число в которой равно 400?</p><p>б)  Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару (806; 788)?</p><p>в)  Какое наименьшее a может быть в паре (a; b), из которой за несколько ходов можно получить пару (806; 788)?</p><p>В ответ введите значение из пункта в).</p>

Тест

<p>На столе лежит три карточки, на каждой из которых написана одна цифра. Ваня составил из написанных цифр трехзначное число&nbsp;А. Петя выбрал две из этих карточек, составил из написанных на них цифр двузначное число&nbsp;В и вернул карточки на место. Коля тоже выбрал две из этих трех карточек и составил из написанных на них цифр двузначное число&nbsp;С&nbsp;(возможно то же самое, что и Петя).</p><p>а)  Может ли быть верным равенство&nbsp;A  =  B + C, если&nbsp;A &lt; 150?</p><p>б)  Может ли быть верным равенство&nbsp;A  =  B + C, если числа&nbsp;B&nbsp;и&nbsp;C&nbsp;делятся на 3?</p><p>в)  Найдите наибольшее число A, для которого может быть верным равенство A  =  B + C.</p><p>В ответ введите значение из пункта в).</p>

Тест

<p>Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел, равен 368. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел.</p><p>а)  Может ли число 575 являться членом такой прогрессии?</p><p>б)  Может ли число 920 являться членом такой прогрессии?</p><p>в)  Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?</p><p>В ответ введите число, полученное в пункте в).</p>

Тест

<p>а) Приведите пример шестизначного числа, вычеркивая цифры которого можно получить 563, 138 и 698.</p><p>б) Существует ли такое восьмизначное число, при вычеркивании цифр которого получается каждое из чисел 368, 173, 845, 521?</p><p>в) Найдите наименьшее натуральное число, из которого можно получить все натуральные числа от 1 до 60 включительно, вычеркивая из него цифры.</p><p>В ответе укажите найденное в пункте "в" значение.</p>

Тест

<p>Даны <em>n</em> различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).&nbsp;</p><p>а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 13?<br>б) Каково наибольшее значение <em>n</em>, если сумма всех данных чисел меньше 500?<br>в) Найдите все возможные значение <em>n</em>, если сумма всех данных чисел равна 57.</p><p>В ответ укажите значение из пункта б).</p>

Тест

<p>На доске были написаны несколько целых чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа, сумма которых делится на 3.</p><p>а)  Может ли сумма всех оставшихся на доске чисел равняться 8, если изначально по одному разу были написаны числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11?</p><p>б)  Может ли на доске остаться ровно два числа, разность между которыми равна 39, если изначально по одному разу были написаны все натуральные числа от 100 до 199 включительно?</p><p>в)  Пусть известно, что на доске осталось ровно два числа, а изначально по одному разу были написаны все натуральные числа от 100 до 199 включительно. Какое наибольшее значение может получиться, если поделить одно из оставшихся чисел на второе из них?</p><p>В ответе укажите значение, полученное в пункте в).&nbsp;</p>

Тест

<p>На доске написано число 2015 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.</p><p>а)  Может ли на доске быть написано ровно 1009 чисел?</p><p>б)   Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?</p><p>в)  Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?</p><p>В ответе укажите значение из пункта в).</p>

Тест

<p>В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 46, а вместе солдат меньше чем 111. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 8, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.</p><p>а)  Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.</p><p>б)  Можно ли построить роту указанным способом по 13 солдат в одном ряду?&nbsp;</p><p>в)  Сколько в роте может быть солдат?</p>

Тест

<p>Есть 4 камня по 3 тонны и 11 камней по 20 тонн.</p><p>а) Можно ли разложить камни на 2 группы так, чтобы разность сумм масс камней обеих групп была равна 14 тоннам?</p><p>б) Можно ли разложить камни на 2 группы так, чтобы сумма масс камней обеих групп была одинаковой?</p><p>в) Какую минимальную положительную разность сумм масс камней можно достичь при разложении камней на 2 группы?</p>

Тест

<p>Есть 24 монет по 2 рубля и 30 монеток по 5 рублей.</p><p>а)  Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 196?</p><p>б)  Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 197?</p><p>в)  Какое наименьшее количество монеток по 1 рублю нужно добавить в набор, чтобы можно было получить любую целую сумму от 1 до 200 включительно?</p><p>В ответе укажите значение, полученное в пункте в).</p>

Тест

<p>В кошельке у Арсения было n монет достоинством 2, 5 или 10 рублей. Арсений сделал несколько покупок, расплатился за каждую покупку отдельно и без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.<br><br>а) Могли ли покупками быть шоколад за 64 рубля и сок за 31 рубль, если n = 16?<br><br>б) Могли ли покупками быть чашка кофе за 15 рублей, молочный ломтик за 20 рублей и сэндвич за 25 рублей, если n = 26?<br><br>в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Арсений купил только мармелад за 96 рублей, а n = 19?</p>

Тест

<p>У Риты в копилке лежат монеты номинала 1, 2, 5 и 10 рублей, монет каждого вида в копилке ровно 50 штук. Рита решила прогуляться до ближайшей пекарни и приобрести любимый десерт без сдачи, однако до момента покупки она не знает, сколько именно будет стоить десерт.</p><p>а) Есть ли возможность у Риты выбрать дома 35 монет так, чтобы гарантированно приобрести десерт стоимостью не более 300 рублей?</p><p>б) Может ли Рита выбрать дома 7 монет так, чтобы гарантированно приобрести десерт стоимостью до 47 рублей?</p><p>в) Определите наименьшее количество монет, которые нужно взять Рите, если она знает, что десерт стоит не более 300 рублей.</p>

Тест

<p style="text-align: justify;">Игорь записал по кругу X различных натуральных чисел, каждое из которых не больше 377, причем при записи чисел он руководствовался следующим принципом – сумма любых трех идущих подряд чисел не должна делиться на тройку, а вот сумма любых четырех идущих подряд чисел обязательно должна делиться на тройку.</p><p style="text-align: justify;">а) Мог ли Игорь выписать 270 чисел?<br>б) Мог ли Игорь выписать 157 чисел?<br>в) Какое наибольшее количество чисел мог записать Игорь?</p>

Тест

<p style="text-align: justify;">Игнат проводит эксперимент и записывает выводимые компьютером результаты, пропускаемые через особый фильтр. Результат эксперимента представляется в виде возрастающей последовательности натуральных чисел, каждые три последовательных члена из которой образуют либо геометрическую, либо арифметическую прогрессию. Получилось, что первый член последовательности равен 5, а последний равен 2980. &nbsp;</p><p style="text-align: justify;">а) Может ли результат эксперимента выражаться в виде трех чисел?<br>б) Может ли результат эксперимента выражаться в виде четырех чисел?<br>в) Может ли результат эксперимента состоять менее, чем из 2980 чисел?</p>

Тест