Векторы

На этой странице вы узнаете

• Что вектор украл у точки? 
• Какими могут быть коллинеарные векторы?

Понятие вектора

Невероятная эффективность: каждый раз, когда мы двигаем стул, мы строим сразу четыре вектора.

Вектор – это отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом.

Записывается вектор по следующим правилам: первая буква – это буква начала вектора, а вторая буква – буква конца вектора.

Что вектор украл у точки? Практически всё! Это вообще законно? Существует такой необычный вектор, который называется нулевым. На плоскости он обозначается как точка.

Что такое коллинеарные векторы?

Коллинеарные векторы – это векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных.

По данной картинке \(\vec{AB}\), \(\vec{CD}\) и \(\vec{EF}\) являются коллинеарными векторами

Какими могут быть коллинеарные векторы? Коллинеарные векторы бывают сонаправленными и противоположно направленными.

Сонаправленные векторы – это коллинеарные векторы, направленные в одну сторону.
Противоположно направленные векторы – это коллинеарные векторы, направленные в противоположные стороны.

Важно: нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

Как можно записать длину вектора?

Длина вектора – это длина отрезка. Она не зависит от направления вектора и всегда неотрицательна, поэтому записывается в модульных скобках.

|\(\vec{AB}\)| и |\(\vec{DC}\)| — длины векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\)

Теперь давайте рассмотрим равенство векторов.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
А противоположными называют векторы с равными длинами и противоположными направлениями.

Действия с вектором

Играя в футбол или бильярд, мы не задумываясь совершаем множество действий с векторами. Давай разберем их с точки зрения геометрии. 

Сложение векторов

Сумма векторов – это перемещение. 

Для сложения векторов используют специальные правила, одним из них является правило треугольника.

Правило треугольника

Если начало одного вектора находится в конце другого вектора, тогда можно из начала первого вектора провести вектор в конец второго. Данное перемещение будет суммой векторов.

Что делать, если векторы отложены не друг за другом?

В таком случае можно сделать параллельный перенос. Это означает, что вектор можно сдвигать в пространстве, не меняя его направления и размера.

Существует еще одно правило сложения векторов.

Правило параллелограмма

Если оба вектора отложены от одной точки, тогда можно достроить данный рисунок до параллелограмма и провести вектор по диагонали из начальной точки. Полученный вектор будет суммой двух изначальных векторов.

Для сложения большего количества векторов применяются те же правила. Сначала складываются первый со вторым вектором, далее складывается сумма с третьим вектором и т. д.

Вычитание векторов

Чтобы вычесть из одного вектора другой, нужно привести их разность к сумме одного изначального вектора и одного противоположного вектора. А далее воспользоваться методами сложения.

Умножение на число

Произведением ненулевого вектора \(\vec{a}\) на число k называется такой вектор \(\vec{b}\), длина которого равна |k| * |\(\vec{a}\)|.

При k > 0, \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) – сонаправлены.
При k < 0, \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) – противоположно направленные.

Например:

Существуют также специальные законы сложения и умножения для векторов, аналогично законам для обычных чисел.

Законы сложения и умножения для векторов: \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) = \(\vec{b}\) + \(\vec{a}\) (\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)) + \(\vec{c}\) = \(\vec{a}\) + (\(\vec{b}\) + \(\vec{c}\)) (\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)) * k = \(\vec{a}\) * k + \(\vec{b}\) * k (с + b) * \(\vec{a}\) = \(\vec{a}\) * с + \(\vec{a}\) * b

Фактчек

• Вектор – это отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом.
• Коллинеарные векторы бывают сонаправленными и противоположно направленными. 
• Векторы могут быть равными и противоположными.
• Для сложения векторов применяется правило треугольника и правило параллелограмма.
• Также векторы можно вычитать и умножать на число.
• Существуют законы сложения и умножения для векторов, подобно законам сложения и умножения для обычных чисел.

Проверь себя

Задание 1.
Какие векторы изображены на картинке?

1. Сонаправленные 
2. Противоположно направленные
3. Равные 
4. Противоположные

Задание 2.
Какие векторы изображены на картинке?

1. Сонаправленные 
2. Противоположно направленные
3. Равные 
4. Противоположные

Задание 3.
Выберите верное утверждение для векторов на картинке

1. Вектора сонаправленные
2. Вектора равные
3. Это нулевые вектора
4. Длины данных векторов равны

Задание 4.
Какие векторы изображены на картинке?

1. Равные
2. Противоположно направленные
3. Сонаправленные
4. Противоположные

Ответы: 1. – 2; 2. – 1; 3. – 4; 4. – 3