Механические колебания и волны

На этой странице вы узнаете

• Почему периодичность является чем-то большим, чем просто величиной?
• Не только грузик на нитке может колебаться?
• Где то самое место, в котором можно побыть в тишине?

В удивительном мире мы с вами живем. Физический механизм способен как показывать время, так и гипнотизировать людей. Да, сейчас мы познакомимся с периодически повторяющимися процессами. Интересно? Так полетели изучать мир физики! 

Механические колебания и их виды

В жизни мы встречаемся с движением, которое повторяется с течением времени. Например, движение качели или часов при гипнозе.

Такой вид механического движения называется колебательным.

Механические колебания — движения тел, которые совершаются с определенной периодичностью и повторяются с течением времени.

В свою очередь, колебания подразделяются на свободные и вынужденные.

• Свободные колебания — колебания, которые предоставлены самим себе после выведения системы из положения равновесия.
• Вынужденные колебания — это колебания под действием постоянно прикладываемой силы. Например, движения качели. Из жизни мы знаем, что постоянно нужно выпрямлять и сгибать ноги, отклонять корпус тела то назад, то вперед, чтобы смещать свой центр тяжести, иначе мы остановимся.

В свою очередь, свободные колебания являются затухающими и незатухающими.

• Затухающие колебания — это колебания, которые с течением времени ослабевают (затухают).
• Незатухающие колебания — это колебания, которые никогда не исчезнут. Система колеблется всегда (идеальная система). 

Часы как механизм способны показывать нам время, однако незатухающие колебания часов как вещи вводит некоторых людей в транс-состояние. Именно периодичность колебаний вводит человека в это состояние.

Начнем с рассмотрения основных характеристик, с помощью которых мы сможем описать колебательные движения. 

Характеристика колебательного движения

В определении колебаний заложено основополагающее свойство данного типа движения — периодичность.

Период — время одного полного колебания.

Стоит уточнить, что колебание считается полным, когда тело возвращается в исходное положение, откуда началось его движение. Одно полное свободное колебание делится на части, где времена прохождения каждого участка пути равны между собой, так как равны пройденные расстояния.

 Рассмотрим движение качели на рисунке выше.

1. Тело начинает движение из точки (1), отклоненной от положения равновесия: \(t=0\).
2. Тело проходит положение равновесия (2): \(t=0,25T\).
3. Тело отклоняется на расстояние, равное первоначальному отклонению, но в противоположную сторону (3): \(t=0,5T\). 
4. Тело снова проходит через положение равновесия (2): \(t=0,75T\).
5. Тело возвращается в исходное положение (1): \(t=T\).

Как мы видим, каждый участок пути (1—2, 2—3, 3—2 и 2—1) происходит за одно и то же время \(t=0,25T\). Как рассчитать период?

Вычислить период можно, если поделить время на количество полных колебаний за этот промежуток времени, то есть период:

\(T=\frac{t}{N}\), где  \(T\) — период колебаний (с); \(t\) — время, за которое маятник совершит \(N\) полных колбаний (с).

Почему периодичность является чем-то большим, чем характеристикой функций? Мы живем полностью по правилам периодичности. Периодично сменяются времена года, приливы и отливы, периодично раз в 11–12 лет холодное течение отклоняется у берегов Южной Америки. Многое из этого связано с повторяющимся движением астрономических тел: Земли и Луны. Удивительно, что это поняли еще древние люди, когда создавали солнечные часы.Мало того, многие объекты живой природы подчиняются законам периодичности. И существуют цветочные часы — декоративные часы из набора травянистых растений, цветки которых распускаются и закрываются в определенное время суток. Впервые цветочные (листовые) часы были составлены в Уппсале Карлом Линнеем.

	Время открытия цветов	Время закрытия цветов
Ложный чертополох	к 6 утра	10 утра
Настоящий чертополох	5 утра	12 по полудню
Одуванчик	5 утра	8—9 утра
Ястребиная борода	5 утра	11 утра
Козлиная борода	5 утра	11 утра

В физике чаще всего используют величину, обратную периоду.

Частота — физическая величина, характеризующая количество колебаний в единицу времени.

\(v=\frac{1}{T}\), где  \(v\) — частота (Гц); \(T\) — период колебаний (с).

Не менее важной характеристикой колебательного движения является отклонение тела от положения равновесия.

Амплитуда колебаний — максимальное отклонение тела от положения равновесия в данной системе координат.

Наиболее распространенным видом колебаний являются гармонические колебания.

Гармонические колебания

Для математической характеристики колебательных процессов рассматривают идеальную систему, в которой происходят гармонические колебания. Такие колебания являются свободными, процессы в них происходят с постоянными периодом и амплитудой.

Гармонические колебания возникают, если сила линейно зависит от координаты: 

\(F=kx\) 

Запишем для такой системы второй закон Ньютона:

\(F=ma\)

\(kx=mx»\), где \(x»\) – вторая производная координаты по времени, то есть ускорение. 

Введем обозначение \(w^2=-\frac{k}{m}\), тогда \(x»+xw^2=0\). Это дифференциальное уравнение. Не надо знать, как оно решается, но можно проверить, что \(x(t)=A*cos(φ_0+wt)\) и \(x(t)=A*sin(φ_0+wt)\) являются его решениями. Чтобы это проверить, можно найти вторую производную \(x»\) и подставить в дифференциальное уравнение.

Таким образом, гармоническими называются колебания, при которых физические величины (координата, угол, скорость) изменяются с течением времени по закону синуса или косинуса (гармоническому закону).

Подробнее разберем уравнение гармонических колебаний.

\(x(t)=Acos(φ_0+wt)\), где  \(x\) — координата тела в момент времени t (м); \(A\) — амплитуда колебаний (м); \(φ_0\) — начальная фаза колебаний; \(w\) — циклическая частота (рад/с); \(t\) — время (с).

Значение \(wt+φ_0\), которое находится под функцией косинуса, называется фазой колебаний.

Любые гармонические колебания можно описать как функцией синуса, так и косинуса, но для удобств следует придерживаться таких правил:

• Функция косинуса, если тело в начальный момент времени находится в положении максимального отклонения. По уравнению при \(t=0: x(0)=A*cos(w*0)\). Зная, что \(cos(0)=1\), то \(x=A\). Начальная координата равна амплитуде.
• Функция синуса, если движение начинают рассматривать при прохождении телом положения равновесия. По уравнению при \(t=0: x(0)=A*sin(w*0)\). Зная, что \(sin(0)=0\), то \(x=0\). Начальная координата равна нулю отсчета (положению равновесия).

Предположим, у нас есть грузик, подвешенный на нити и совершающий гармонические колебания. Также нам дана табличка, которая отражает зависимость координаты грузика от времени:

t, с	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5
x, см	6	3	0	3	6	3	0	3

Как по этой табличке определить амплитуду и период колебаний грузика?

По таблице видно, что координата тела изменяется от 0 до 6 см, значит, положение равновесия тело проходит в точке x = 3 см (из симметрии движения). Тогда амплитуда, как максимальное отклонение от положения равновесия, тоже будет равна 3 см.  

Как мы уже знаем, период — это время, за которое тело совершает одно полное колебание. Здесь грузик начинает движение из положения x = 6 см, в точке x = 3 см проходит положение равновесия, опять отклоняется на амплитудное значение в точку x = 0 см, и возвращается обратно в x = 6 см, проходя положение равновесия в x = 3 см. Таким образом, одно его колебание будет длиться 2 секунды: от первого значения x = 6 см до второго.

Часто проще описать движение графически, а не формулами. Рассмотрим, что можно узнать о колебаниях из графика.

График гармонических колебаний

Графиком гармонических колебаний, исходя из уравнения, является функция синуса или косинуса.

По данному графику движение начинают рассматривать с момента максимального отклонения тела от положения равновесия, то есть изображена функция косинуса. 

Какие выводы можно сделать по графику?

1. По вертикальной оси x высшая точка «горба» функции будет являться амплитудой колебаний.
2. Расстояние между «горбами» по горизонтальной оси t — период колебаний.

По графику можно определить скорость тела – это коэффициент наклона касательной к графику. А вот ускорение найти уже сложнее. Для этого обычно используют аналитический метод.

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Вспомним уравнение гармонических колебаний \(x(t)=A*sin(φ_0+wt)\). 

Скорость – производная координаты по времени \(\frac{dx}{dt}\). Найдем ее, пользуясь правилами дифференцирования сложной функции (про них прочитать можно здесь).

\(v=\frac{d}{dt}(A*sin(φ_0+wt))=Aw*cos(φ_0+wt)\).

По формуле приведения получим \(v=Aw*sin(φ_0+wt+\frac{π}{2})\)

Теперь найдем ускорение как производную скорости по времени \(\frac{dv}{dt}\).

\(a=\frac{d}{dt}(Aw*cos(φ_0+wt))=-Aw^2sin(φ_0+wt)\).

\(x(t)=A*sin(φ_0+wt)\) \(v(t)=Aw*sin(φ_0+wt+\frac{π}{2})\) \(a(t)=-Aw^2sin(φ_0+wt)\)

Видно, что формулы v(t) и a(t) очень похожи на x(t). Амплитуде A в формуле x(t) соответствует Aw в формуле v(t) и \(Aw^2\) в формуле a(t). Это амплитуды колебания скорости и ускорения, максимальные скорость и ускорение.

\(v_{max}=Aw\) – амплитуда колебания скорости \(a_{max}=Aw^2\) – амплитуда колебания ускорения

Мы обсудили основные характеристики гармонических колебаний. Теперь давайте поговорим про конкретные примеры, которые движутся по закону гармонических колебаний.

Математический маятник

В качестве примера гармонических колебаний в идеальной системе приводят математический маятник.

Математический маятник — материальная точка, которая колеблется на невесомой нерастяжимой нити в поле силы тяжести.

В расчетных задачах чаще всего рассматривают именно математический маятник. Его движение можно описать с помощью уравнения гармонических колебаний (при этом колебания должны быть малыми).

Основной характеристикой математического маятника является его период, который можно рассчитать по формуле:

\(T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}\), где  T — период колебаний (с); l — длина нити (м); g — ускорение свободного падения (м/с2).

Из формулы мы видим, что период математического маятника зависит только от длины нити и ускорения свободного падения.

Следствие: масса математического маятника не влияет на его период.

Но есть маятники, массы которых вносят вклад в величину периода. Например, пружинные. Поговорим о них далее!

Пружинный маятник

В физике механических колебаний помимо математического маятника рассматривают модель пружинного маятника.

Пружинный маятник — материальная точка, которая колеблется на пружине под действием силы упругости.

Характер движения пружинного маятника полностью зависит от его параметров: массы и жесткости пружины.

Период пружинного маятника:

\(T=2π\sqrt{\frac{m}{k}}\), где  T — период колебаний (с); m — масса тела, прикрепленного к маятнику (кг); k — жесткость пружины (Н*м).

Давайте решим задачку на применение этой формулы, которая может попасться в №4 ЕГЭ.

Задание. Груз, подвешенный на пружине жесткостью 60 Н/м, совершает свободные гармонические колебания. Какой должна быть жесткость пружины этого маятника, чтобы частота колебаний увеличилась в 3 раза?

Решение. Мы знаем формулу для частоты колебаний:

\(v=\frac{1}{Т}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\) 

Значит, при неизменной массе груза нам нужно увеличить жесткость пружины в 9 раз, чтобы частота увеличилась в 3 раза:

\(9*60 = 540\) Н/м

Ответ: \(540\)

Мы получили две похожие формулы для периода колебаний различных маятников. Но как их запомнить? В физике очень-очень много формул. Большинство из них можно запоминать, приводя ассоциации с буквами, которые содержатся в формулах. Приведем примеры для периодов маятников.

• Математический. Прочитаем по буквам: «Два пи эл жи». Можно запомнить как «ложка», помня, что множитель «два пи» есть везде.

• Пружинный. Для запоминания данной формулы можно провести аналогию с кроватью. В детстве многие из нас в деревнях или во дворах прыгали на пружинных кроватях. Мы прыгаем сверху массой m на пружины кровати с жесткостью k. 

Не только грузик на нитке может колебаться? Гармонические колебания встречаются не только в механике, но и во многих других разделах физики, таких как оптика, электричество и даже астрономия! Про колебания световых волн, а именно, явления интерференции и дифракции, и про колебания заряда в электрических цепях вы можете узнать в статьях: — «Волновая оптика: интерференция и дисперсия»;   — «Дифракция. Дифракционная решетка»;  — «Электромагнитные колебания, колебательный контур».

Сейчас мы рассматривали только свободные колебания, то есть те, на которые не действует внешняя периодическая сила. Но теперь давайте обсудим вынужденные колебания и их особенности.

Вынужденные колебания, резонанс

Вернемся к вынужденным колебаниям, а именно обратимся к примеру про качели. Если в процессе раскачки мы не будем переносить свой вес за счет наклонов туловища вперед и назад, то из-за трения мы рано или поздно остановимся. Чтобы этого не произошло, мы постоянно сгибаем и разгибаем ноги в момент, когда качели проходят положение равновесия. Таким образом, мы поддерживаем колебания и даже увеличиваем высоту, на которую могут подняться качели.

Почему так происходит? Для ответа на этот вопрос нам необходимо познакомиться с резонансом.

Резонанс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты внешней силы с частотой собственных колебаний системы.

Это значит, что для максимально возможного раскачивания нам необходимо сгибать и разгибать ноги с частотой, которая будет равна частоте колебаний качели. На графике зависимости амплитуды от частоты внешнего воздействия это выглядит следующим образом.

По графику v₀ — это частота собственных колебаний (свободные колебания в этой же системе) качели. Если с той же частотой мы будем отклонять туловище вперед и назад соответственно, то наступит резонанс: амплитуда колебаний увеличится.

Таким образом, мы физически обосновали, почему максимально сильно можно раскачаться, если действовать на качели именно в определенный момент времени.

Давайте дальше поговорим про еще одну характеристику гармонических колебаний, их энергию.

Энергия колебаний

Почему настенные часы с маятником останавливаются? Сила трения, возникающая в подвижных частях часов, преобразует механическую энергию в тепловую. Маятник колеблется все с меньшей амплитудой и останавливается. Значит, во-первых, для колебаний необходима механическая энергия, а во-вторых, амплитуда зависит от энергии колебаний.

Полная механическая энергия – это сумма потенциальной энергии и кинетической энергии.

Давайте для пружинного маятника найдем зависимость от времени потенциальной энергии и кинетической энергии.

\(E_{кин}=\frac{mv^2}{2}=\frac{mA^2w^2cos^2(φ_0+wt)}{2}=\frac{mA^2w^2}{4}(1+cos(2(φ_0+wt)))\)

\(E_{пот}=\frac{kx^2}{2}=\frac{mw^2A^2sin^2(φ_0+wt)}{2}=\frac{mA^2w^2}{4}(1-cos(2(φ_0+wt)))\)

\(E_{полн}=E_{кин}+E_{пот}=\frac{mA^2w^2}{2}=\frac{mv^2_{max}}{2}=\frac{kx^2_{max}}{2}=const\)

Полная механическая энергия при колебаниях не изменяется. Это следствие закона сохранения механической энергии. Если маятник идеальный, то есть в нем нет сил трения, то колебания будут продолжаться бесконечно долго.

А сейчас давайте потренируемся и решим задачку, которая может встретиться в №22 ЕГЭ.

Задание. Амплитуда свободных колебаний пружинного маятника равна 3 см, масса груза – 300 г, жесткость пружины – 30 Н/м. Найдите максимальную скорость груза.

Решение. Здесь удобно воспользоваться законом сохранения энергии:

\(\frac{mv^2_{max}}{2}=\frac{kx^2_{max}}{2}\)

Выразим из него скорость:

\(v_{max}= x_{max}\sqrt{\frac{k}{m}}= 0,03\sqrt{\frac{30}{0,3}}=3\) м/с

Ответ: 3

Из формул видно, что фаза колебаний энергии изменяется в два раза быстрее, чем фаза колебаний координаты, скорости и ускорения. Это значит, что период колебаний энергии в два раза меньше, чем период колебаний координаты, а частота в два раза больше. 

Представьте, что вы дернули струну гитары. Она начала совершать затухающие колебания. За счет ее колебаний мы слышим прекрасную музыку. Почему так происходит? Давайте разберемся.

Механические волны

В пространстве колебания одних частиц вызывают возмущение (способствуют движению) других ближайших. Так начинается распространение механической волны.

Механическая волна — возмущение, которое распространяется в упругой среде (твердые тела, жидкости, газы). 

Самым распространенным примером механической волны является рябь на воде.

Если в покоящуюся жидкость бросить камень, то вокруг места удара начнут распространяться волны, которые будут порождать за собой последующие волны, пока они не затухнут.

Механические волны по направлению своего распространения подразделяют на 2 вида: продольные и поперечные.

Продольные волны, в которых колебания происходят вдоль направления распространения. 

Например, ряд шаров, скрепленных пружинами друг с другом.

Если мы оттянем первый шар, вызвав возмущение в системе, и отпустим, то последовательно начнут колебаться следующие шары.

Поперечные волны, в которых колебания происходят перпендикулярно направлению распространения. 

Например, канат, привязанный к стене.

Стоит заметить, что при распространении поперечных волн частицы среды (в данном случае каната) сдвигаются друг относительно друга. 

Важное замечание: поперечные волны могут распространяться только в твердых телах, так как в них действуют силы упругости, которые и вызывают сдвиг частиц друг относительно друга. В жидкостях и газах таких сил нет, поэтому в них возможны только продольные волны.

Как характеризуются механические волны?

Механические волны по своей сути являются колебаниями среды, поэтому их можно описать с помощью уравнения и величин колебательного движения. 

Стоит лишь отметить, что длины продольных и поперечных волн различны.

• Длина поперечной волны определяется как расстояние между соседними горбами.
• Длина продольной волны равна расстоянию между соседними максимально деформированными точками. Такими точками являются сжатие и разрежение.

Помните пример с гитарой? Оказывается, что музыка — это тоже волна. Давайте обсудим этот факт подробнее.  

Звуковая волна

Откуда появляется звук? Звуковая волна является следствием нарушения равновесия частиц в пространстве, из-за чего возникает колебательный процесс. Мы прекрасно знаем, что любое наше действие сопровождается звуком. Каждое наше взаимодействие с окружающей средой нарушает баланс неподвижной системы, из-за чего в среде возникают колебания частиц и появляется звук.

Звук — это продольная волна, которая воспринимается органами слуха живых существ. 

Громкость звука определяется амплитудой колебаний, а тональность — частотой: чем выше частота колебаний, тем выше нам кажется звук.

Замечание: распространение волны зависит от среды, в которой происходят колебания.

Из жизненного опыта мы знаем, что на улице звук распространяется на более короткие расстояния, чем в помещениях. Почему так происходит?

Ответ кроется в свойствах среды, где происходят колебания, так как возмущение передается от частицы к частице.

Рассмотрим изображение. Если в данных средах вызвать одинаковые возмущения, то распространяться они будут по-разному: во второй среде колебания будут происходить быстрее, так как в ней частицы расположены плотнее, чем в первой. Частицы чаще взаимодействуют друг с другом, поэтому волна распространяется быстрее.

В помещении звуковая волна, распространяясь в воздухе, отражается от стен и окружающих объектов. На улице частицы воздуха расположены на достаточно большом расстоянии друг от друга, из-за чего рано или поздно возмущенная частица не сможет достичь других частиц: колебания затухнут.

Скорость и длина волны звука тем больше, чем плотнее среда. 

Тогда наибольшей скоростью звук обладает в упругих телах и жидкостях, нежели чем в газах.

Где то самое место, в котором можно побыть в тишине? Как мы поняли, громкость звука зависит от среды, в которой он распространяется. А мы знаем, что космос представляет собой вакуумную среду. То есть в космосе действительно можно побыть в тишине! Жаль, что там так некомфортно готовиться к физике.

На этом заканчивается один из увлекательных разделов механики. Мы отлично потрудились, узнали много нового, но это еще не конец. Впереди еще много интересного! Читайте статью «Основные понятия и положения МКТ», чтобы узнать, каким законам подчиняются газы!

Термины

Производная — это скорость изменения функции в данной точке. Подробнее про производную вы можете узнать в этой статье. 

Формулы приведения — это тригонометрические формулы для связи косинуса и синуса. Например, \(sin(\alpha+\frac{\pi}{2}) = cos\alpha\) или \(cos(\alpha+\pi)= -cos\alpha\). Подробнее про формулы приведения можно узнать в этой статье.

Касательная — это прямая, имеющая общую точку с графиком функции, но не пересекающая его.

Фактчек

• Механические колебания — движения тел, которые совершаются с определенной периодичностью и повторяются с течением времени.
• Свободные колебания — колебания, которые предоставлены самим себе после выведения системы из положения равновесия.
• Вынужденные колебания — это колебания под действием постоянно прикладываемой силы. 
• Затухающие колебания — это колебания, которые с течением времени ослабевают (затухают).
• Незатухающие колебания — это колебания, которые никогда не исчезнут (идеальная система).
• Колебания описываются периодической функцией: синусом или косинусом.
• Амплитуда вынужденных колебаний может резко возрасти благодаря явлению резонанса.
• Скорость распространения механической волны зависит от плотности среды.

Проверь себя

Задание 1.
Какое колебание можно назвать полным?

1. Когда тело проходит положение равновесия.
2. Когда тело отклоняется на максимальное расстояние.
3. Когда тело проходит нуль координатной оси.
4. Когда тело возвращается в исходное положение.

Задание 2.
От чего зависит выбора функции — \(sin\) или \(cos\) — в уравнении колебательного движения?

1. От начального положения тела;
2. от длины волны;
3. не зависит;
4. от периода.

Задание 3.
Какой маятник можно назвать математическим?

1. Массивное тело на нити.
2. Материальная точка на невесомой нерастяжимой нити.
3. Материальная точка на пружине.
4. Тело без массы на нити.

Задание 4.
Что происходит при совпадении частоты внешней силы с частотой собственных колебаний системы?

1. Амплитуда.
2. Резкое увеличение внешней силы.
3. Увеличивается период колебаний.
4. Резонанс, при котором резко увеличивается амплитуда. 

Задание 5.
Где звук распространяется быстрее?

1. В газах;
2. в жидкостях и твердых телах;
3. одинаково;
4. нельзя точно сказать.

Ответы: 1. —  4; 2. — 1; 3. — 2; 4. — 4; 5. — 2.