Умскул учебник стремится стать лучше! Если вы наткнулись на ошибку или неточность в нашем материале - просто сообщите нам, мы будем благодарны!
Математика

Основы планиметрии. Точка, прямая, луч, отрезок и угол

1.5.2022
672

На этой странице вы узнаете

  • Что общего у солнечного луча и геометрического?
  • Можно ли кого-то наказать углом? 
  • Одинаковы ли прямые?

Геометрические понятия

В жизни мы часто встречаемся с такими выражениями  как “точка на карте”, “идти по прямой” или “угол комнаты”. Но знали ли вы, что в этих фразах упоминаются термины из геометрии?

Для начала давайте разберемся именно с геометрическими терминами.

Что такое точка, прямая, луч, отрезок и угол?

Точка – это математический объект, точного определения для которого не существует.

Прямая – это бесконечная линия.

Луч – это прямая, ограниченная точкой с одной стороны. У луча есть начало, но нет конца.

Что общего у солнечного луча и геометрического?

Солнечный луч и геометрический луч отличаются друг от друга почти во всем. Но и тот, и другой имеет начало и не имеет конца. 

Отрезок – это прямая, ограниченная точками с обеих сторон. Отрезок состоит из бесконечного множества точек, лежащих на линии между концами отрезка.

Чем отличается луч от отрезка?

Луч ограничен только с одной стороны, а отрезок ограничен с двух.

Угол – это фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.

Можно ли кого-то наказать углом?

Провинившегося ребенка могут поставить в угол. Возможно ли поставить кого-то в геометрический угол? 

Да. Для такого наказания можно использовать не только прямой угол, но и тупой, и даже некоторые острые углы. Только, пожалуй,  не очень узкие острые углы, иначе человек туда просто не поместится.

Углы и прямые

Давайте детально рассмотрим углы

Элементы угла

Виды углов и их градусная мера

Существует четыре вида углов.

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы – это два угла, у которых одна общая сторона, а две другие лежат на одной прямой. Такие углы в сумме дают 1800.

Вертикальные углы – это углы, вершиной которых является одна и та же точка, стороны одного такого угла являются продолжениями сторон другого такого угла. Вертикальные углы всегда равны.

Теперь давайте перейдём к прямым и их расположению на плоскости.

Пересекающиеся и параллельные прямые

Пересекающиеся прямые – это прямые, у которых есть одна общая точка.

Перпендикулярные прямые – это прямые, пересекающиеся под прямым углом. Такие прямые образуют четыре прямых угла при пересечении.

А что такое параллельные прямые?

Параллельные прямые – это прямые, не имеющие ни одной общей точки.

Параллельные и перпендикулярные прямые можно встретить не только в планиметрии, но и в повседневной жизни, например, рельсы и шпалы.

Одинаковы ли прямые?

Какие могут быть прямые на плоскости?

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы параллельных прямых:

  1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую параллельную прямую.
  1. Если одна из двух параллельных прямых параллельна третьей прямой, то все эти прямые параллельны друг другу.

Чтобы доказать, что прямые являются параллельными, используются признаки параллельности прямых.

Прежде чем перейти к признакам параллельности прямых, рассмотрим углы при пересечении двух прямых секущей.

Секущая – это прямая, пересекающая несколько других прямых.

При таком расположении прямых можно выделить три вида углов:

  • накрест лежащие углы,
  • односторонние углы,
  • соответственные углы.

Рассмотрим данные углы на примере

Накрест лежащие: 4 и 6, 3 и 5.
Односторонние: 4 и 5, 3 и 6.
Соответственные: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

А теперь вернёмся к признакам

Признаки параллельности прямых:

Теорема 1:

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема 2:

Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Теорема 3:

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800,то прямые параллельны.

Также существуют свойства параллельности прямых. Что мы назовем свойствами параллельности прямых? 

Удивительно, но это те же самые признаки, только ставшие перевертышами. Свойства действуют в обратную сторону. Посмотрим, какие свойства параллельных прямых бывают:

  1. Если прямые параллельны, то при пересечении этих прямых секущей накрест лежащие углы равны.
  2. Если прямые параллельны, то при пересечении этих прямых секущей соответственные углы равны.
  3. Если прямые параллельны, то при пересечении этих прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800.

Фактчек

  • Основными геометрическими элементами являются точка, прямая, луч, отрезок, угол.
  • Углы бывают смежные и вертикальные.
  • Прямые бывают пересекающиеся и параллельные. К пересекающимся прямым относятся и перпендикулярные прямые.
  • Углы при пересечении двух прямых секущей: накрест лежащие, односторонние и соответственные.
  • Для определения параллельных прямых существует три признака. Также существуют и свойства параллельных прямых, которыми являются обратные признакам утверждения.

Термины

Аксиома – это утверждение, не требующее доказательства.

Проверь себя

Задание 1.
Какими углами являются углы 1 и 2?

  1. Вертикальными
  2. Накрест лежащими
  3. Смежными 
  4. Односторонними

Задание 2.
Какими углами являются углы 4 и 8?

  1. Вертикальными
  2. Соответственными
  3. Смежными 
  4. Односторонними

Задание 3.
Угол 4 равен 600. Чему равен угол 5?

  1. 1200
  2. 600
  3. 300
  4. 200

Задание 4.
Угол 4 равен 600. Чему равен угол 7?

  1. 1200
  2. 600
  3. 300
  4. 200

Задание 5.
Угол 5 равен 500. Чему равен угол 8?

  1. 1500
  2. 650
  3. 1300
  4. 500

Ответы: 1. – 3; 2. – 2; 3. – 2; 4. – 1; 5. – 4

Понравилась статья? Оцени:
Читайте также:

Читать статьи — хорошо, а готовиться к экзаменам
в самой крупной онлайн-школе — еще эффективнее.

50 000
Количество
учеников
1510
Количество
стобальников
>15000
Сдали на 90+
баллов