Треугольник

На этой странице вы узнаете

• Что общего у эчпочмака, паруса и дорожного знака?
• Какая буква в алфавите треугольная?
• Что такое «невозможный треугольник»?

Бермудский треугольник — один из самых загадочных участков нашей планете. В нем бесследно исчезают корабли и самолеты, а изучить природу этого места человеку до сих пор не удалось. Треугольники повсюду встречаются в природе: гора и ель, крылышко бабочки и лист папоротника. Давайте же разгадаем магию этой простой геометрической фигуры.

Треугольник

Что общего у эчпочмака, паруса и дорожного знака? … а еще у музыкального инструмента и онигири? Все правильно, они имеют форму треугольника.

Для решения любых задач по планиметрии и стереометрии необходимо хорошо ориентироваться в свойствах основных геометрических фигур. Зная свойства и умея их применять, можно решить даже самую сложную задачу из второй части ЕГЭ. 

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, а также отрезками, которые соединяют эти точки. 

Рассмотрим рисунок. АВС — треугольник.
А, В, С — вершины треугольника. 
АВ, ВС, АС — стороны треугольника. 

Вершина треугольника — это точка, в которой сходятся две стороны треугольника. 

Какая буква в алфавите треугольная? А — первая буква в большинстве алфавитов. Она произошла от финикийской буквы «алеф», которая — что удивительно — обозначала согласный звук.  В изображении основных алфавитов мира заглавная А имеет треугольную форму с перекладиной посередине. В таком ее начертании усматривается отсылка к пирамидальной форме, к горам и, разумеется, к самому треугольнику, который является одной из древнейших фигур.

Внутренние и внешние углы треугольника

Для треугольника существуют понятия внешних и внутренних углов. 

Внутренние углы треугольника — это три угла, образованные отрезками, выходящими из вершин треугольника. 

∠BAC, ∠ABC, ∠ACB — внутренние углы треугольника. На рисунке они изображены красным. 

Но что такое внешние углы? 

Продолжим любую из сторон треугольника за его вершину, например, построим прямую AD. Тогда угол, образованный стороной ВС и прямой AD — внешний угол треугольника.

Внешний угол треугольника — это смежный угол внутреннего угла треугольника. 

На рисунке внешний угол изображен зеленым. 

Основные свойства треугольника

Рассмотрим основные свойства треугольника. Эти свойства будут применимы для любого треугольника. 

1 свойство. Сумма углов треугольника равна 180°. 

2 свойство. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Разберем, почему выполняется это свойство. Вспомним первое свойство: сумма углов треугольника равна 180°. Тогда ∠А + ∠B + ∠С = 180°. Выразим угол В: ∠В = 180° — ∠А — ∠C

Рассмотрим смежные углы АВС и CBD: сумма смежных углов равна 180°, следовательно, ∠B + ∠CBD = 180° \(\Rightarrow\) ∠B = 180°-∠CBD. 

Поскольку угол В в обоих уравнениях один и тот же, мы можем приравнять правые части: ∠СBD = ∠A + ∠C. 

Свойство будет выполняться для любого внешнего угла треугольника. 

3 свойство. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против меньшей стороны лежит меньший угол. 

Чтобы понять, что значит выражение «лежит против», нужно посмотреть на треугольник: напротив угла А лежит сторона а, напротив угла В лежит сторона b, напротив угла С лежит сторона с. Следовательно, в данном случае можем применить выражение «против угла А лежит сторона а». 

Рассмотрим рисунок чуть подробнее и расставим углы в порядке возрастания: ∠С < ∠A < ∠B. Тогда также можно расставить и стороны в порядке возрастания: c < a < b. 

4 свойство. В треугольнике против равных сторон лежат равные углы и против равных углов лежат равные стороны. 

Виды треугольников по величине углов

В зависимости от внутренних углов треугольника существует три вида треугольников: 

1. Остроугольный. Все углы в треугольнике острые, то есть меньше 90°.

2. Прямоугольный. Один из углов треугольника равен 90°, а два других угла будут острыми. Угол, равный 90°, также называют прямым. 

Важно заметить, что прямой угол в треугольнике может быть только один. Это напрямую связано с тем, что сумма углов в треугольнике равна 180°, тогда, если один угол равен 90°, то на сумму двух других остается 180° – 90° = 90°. Следовательно, два оставшихся угла будут острыми. 

3. Тупоугольный. Один из углов будет больше 90°, а два других угла будут острыми. 

В тупоугольном треугольнике также может быть только один тупой угол. Чтобы доказать это, можно привести такие же рассуждения, как и для прямоугольного треугольника. 

Что такое «невозможный треугольник»? Существует такое любопытное понятие, как невозможная фигура. Треугольник Пенроуза или невозможный треугольник — одна из них. Это оптическая иллюзия, которая производит впечатление обычного рисунка. Но если внимательно вглядеться, можно заметить странности в соединениях элементов фигуры. Подобные фигуры используются в компьютерной графике и им посвящено целое направление в искусстве под названием «имп-арт».

Неравенство треугольника

Для любой фигуры существуют ограничения, за рамки которой она не может выходить. Сумма углов многоугольника не может быть больше определенной величины, а стороны квадрата не могут быть разной длины (потому что в этом случае квадрат уже не будет квадратом). Так и с треугольником: существует ограничение на длину его сторон, которое называется неравенство треугольника. 

Сумма длин двух сторон треугольника всегда будет больше длины его третьей стороны. 

Для треугольника на рисунке будут справедливы следующие неравенства:

a < b + c
b < a + c
c < a + b

Знание неравенства треугольников в первую очередь помогает определить, может ли существовать треугольник с определенной длиной стороной. 

Например, возьмем треугольник со сторонами 2, 3 и 6. 

Такой треугольник не будет существовать, поскольку 2 + 3 = 5, а 5 < 6. 

А если мы возьмем треугольник со сторонами 3, 3 и 5, то с уверенностью можем сказать, что он существует, поскольку выполняются все три неравенства:
3 < 8
5 < 6
3 < 8

Фактчек

• Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, а также отрезками, которые соединяют эти точки. 
• В треугольнике можно выделить внутренние и внешние углы. Внутренние углы — это углы, образованные отрезками, выходящими из вершин треугольника, а внешние углы — углы, смежные внутренним. 
• Сумма углов любого треугольника равна 180°. Также в треугольнике против большей стороны лежит больший угол и наоборот.
• Чтобы треугольник существовал, должно выполняться неравенство треугольника.
• Треугольники бывают остроугольными, прямоугольными и тупоугольными. В остроугольном треугольнике все углы меньше 90°, в прямоугольном треугольнике один из углов равен 90°, в тупоугольном треугольнике один из углов больше 90°. 

Проверь себя

Задание 1. 
Какие углы образуют внутренний и внешний углы треугольника?

1. смежные
2. вертикальные
3. накрест-лежащие
4. соответственные 

Задание 2. 
Чему равняется сумма углов треугольника?

1. 90°
2. 180°
3. 360°
4. 150°

Задание 3. 
Даны длины всех сторон треугольников. Какой из треугольников не может существовать? 

1. 3, 5 и 7
2. 2, 6 и 7
3. 11, 12, 20
4. 3, 4, 5

Задание 4.
Два угла треугольника равны 18 и 59 градусов. Чему равен внешний угол треугольника, смежный с третьим углом? 

1. 77°
2. 103°
3. 121°
4. 162°

Задание 5. 
В треугольнике углы равны 89, 31 и 60 градусов. Какой это треугольник?

1. остроугольный
2. тупоугольный
3. прямоугольный
4. равнобедренный 

Ответы: 1. — 1; 2. — 2; 3. — 3; 4. — 1; 5. — 1.