Тригонометрические подстановки

На этой странице вы узнаете

• Почему тригонометрия называется именно так?
• Как называют универсальные тригонометрические подстановки за рубежом? 
• Как тригонометрический пример превратить в простой алгебраический?

Бывало у вас такое, что решаете тригонометрическое уравнение, и ни один из известных вам способов не помогает? Скорее всего, в этой ситуации вам помогут универсальные тригонометрические подстановки, которые позволяют избавиться от тригонометрии и перейти к алгебраическому выражению. 

В этой статье мы и узнаем, что такое тригонометрические подстановки и как они помогут нам на ЕГЭ.

Тригонометрические подстановки

Тригонометрия — раздел математики, в котором изучаются зависимости между углами и сторонами треугольника и тригонометрические функции.

Перед тем, как начнем, вспомним основы тригонометрии. Для этого вы можете прочитать эти статьи:

• Тригонометрическая окружность. Часть 1
• Тригонометрическая окружность. Часть 2
• Графики тригонометрических функций
• Формулы тригонометрии и простейшие уравнения
• Формулы приведения
• Тригонометрические уравнения
• Тригонометрические неравенства

Почему тригонометрия называется именно так? Слово «тригонометрия» произошло из латыни, и оно состоит из двух слов: trigōnon — треугольник, metreō — измерять.

Порой тригонометрические уравнения кажутся сложными и непонятными. Но есть способ их упростить. Для этого можно использовать универсальные тригонометрические подстановки. 

Как называют универсальные тригонометрические подстановки за рубежом? В английской литературе универсальные тригонометрические подстановки называют подстановкой Вейерштрасса, в честь Карла Вейерштрасса, немецкого математика и, как про него говорят, «отца современного математического анализа». Он вывел эту подстановку в своих трудах в 1860-х годах.

Универсальная тригонометрическая подстановка — частный случай замены тригонометрического выражения с использованием двойного угла. 

Чаще всего их используют в интегрировании, но мы их будем использовать для упрощения тригонометрических уравнений. 

Для тригонометрических подстановок существуют свои формулы, которые можно выучить. Однако мы пойдем немного другим путем и выведем их сами! Для этого мы будем использовать тригонометрические формулы, представленные в таблицах ниже. 

• Выведем формулу для синуса:

\(sin(x) = sin(2*\frac{x}{2})\)

У нас появилась возможность применить формулу двойного угла:

\(sin(2*\frac{x}{2}) = 2sin(\frac{x}{2})*cos(\frac{x}{2})\)

В знаменателе распишем основное тригонометрическое тождество, которое равно единице:

\(\frac{2sin(\frac{x}{2})*cos(\frac{x}{2})}{1}=\frac{2sin(\frac{x}{2})*cos(\frac{x}{2})}{cos^2(\frac{x}{2})+sin2(\frac{x}{2})}\)

Теперь, если мы и числитель, и знаменатель поделим на косинус в квадрате, то получим:

\(\frac{\frac{2sin(\frac{x}{2})*cos(\frac{x}{2})}{cos^2(\frac{x}{2})}}{\frac{cos^2(\frac{x}{2})+sin^2(\frac{x}{2})}{cos^2(\frac{x}{2})}}=\frac{\frac{2sin(\frac{x}{2})}{cos(\frac{x}{2})}}{\frac{cos^2(\frac{x}{2})}{cos^2(\frac{x}{2})}+\frac{sin^2(\frac{x}{2})}{cos^2(\frac{x}{2})}}=\frac{2tg(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})}\)

Получаем такую формулу для синуса:

\(sin(x) =\frac{2tg(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})}\)

• Аналогично выведем формулу для косинуса:

\(cos(x)=cos(2\frac{x}{2})=\frac{cos^2(\frac{x}{2})-sin^2(\frac{x}{2})}{cos^2(\frac{x}{2})+sin^2(\frac{x}{2})}=\frac{1-tg^2(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})}\)

Получаем формулу для косинуса:

\(cos(x) =\frac{1-tg^2(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})}\)

• Тангенс равен синусу поделенному на косинус, поэтому:

\(tg(x)=\frac{2tg(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})} :\frac{1-tg^2(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})}=\frac{2tg(\frac{x}{2})*(1+tg^2(\frac{x}{2}))}{(1+tg^2(\frac{x}{2}))*(1-tg^2(\frac{x}{2}))}\)

\((1+tg^2(\frac{x}{2}))\) сократится, и мы получим такую формулу для тангенса:

\(tg(x)=\frac{2tg(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})}\)

• А так как котангенс обратен тангенсу \((ctg(x)=\frac{1}{tg(x)})\), то его формула выглядит так:

\(ctg(x)=\frac{1-tg^2(\frac{x}{2})}{2tg(\frac{x}{2})}\)

Важно отметить, что замена синуса и косинуса ведет к сужению ОДЗ, так как исключаются значения x, при которых \(cos(\frac{x}{2})=0\), то есть \(x=\pi+2\pi n, n\in Z\).

Как тригонометрический пример превратить в простой алгебраический? Для того, чтобы формулы тригонометрической подстановки выглядели проще, можно использовать замену \(tg(\frac{x}{2})=t\), и тогда формулы будут следующими: \(sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}\) \(cos(x) =\frac{1-t^2}{1+t^2}\) \(tg(x)=\frac{2t}{1-t^2}\) \(ctg(x)=\frac{1-t^2}{2t}\)

Итак, обобщим все, что изучили:

Тригонометрическая функция	Ее универсальная тригонометрическая подстановка	Тригонометрическая подстановка с заменой
\(sin(x)\)	\(\frac{2tg(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})}\)	\(\frac{2t}{1+t^2}\)
\(cos(x)\)	\(\frac{1-tg2(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})}\)	\(\frac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(tg(x)\)	\(\frac{2tg(\frac{x}{2})}{1-tg^2(\frac{x}{2})}\)	\(\frac{2t}{1-t^2}\)
\(ctg(x)\)	\(\frac{1-tg^2(\frac{x}{2})}{2tg(\frac{x}{2})}\)	\(\frac{1-t^2}{2t}\)

Теперь пробуем универсальные тригонометрические подстановки на практике.

Решим пример, который может попасться на ЕГЭ по профильной математике в задании №13, пункт а.

Задание. а) Решите уравнение \(sin(2x)+tgx=-2\).

Решение. Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

\(sin(2x) =\frac{2tg(x)}{1+tg^2(x)}\)

Получим:
\(\frac{2tg(x)}{1+tg^2(x)}+tg(x)=-2\)

Сделаем замену \(t=tg(x)\):
\(\frac{2t}{1+t^2}+t=-2\)

Перенесем \(-2\) в левую часть и занесем все под один знаменатель:

\(\frac{2t+t+t^3+2+2t^2}{1+t^2}=0\)

Домножим обе части уравнения на \(1+t^2\), чтобы избавиться от дробей. Мы это можем сделать, так как знаменатель никогда не равен нулю при действительных корнях.

Приведем подобные слагаемые:
\(t^3+2t^2+3t+2=0\)

Получили кубическое уравнение. Преобразуем уравнение:

\(t^2(t+1)+t(t+1)+2(t+1)=0\)
\((t+1)(t^2+t+2)=0\)

Если произведение равно нулю, то как минимум один из множителей равен нулю. 
— Рассмотрим сначала первый:
\(t+1=0\)
\(t=-1\)
— Теперь второй:
\(t^2+t+2=0\)
\(D=1-8=-7\)

Дискриминант меньше нуля, значит действительных корней нет.

Получается, \(t=-1\) или, делая обратную замену, \(tg(x)=-1\). Решим это:

\(tg(x)=-1\)
\(x=\frac{3\pi}{4}+\pi k, k\in Z\)

Это значение \(x\) входит в ОДЗ тангенса — \(x\neq \frac{\pi}{2}+\pi k, k\in Z\). Получили ответ.

Ответ: \(x=\frac{3\pi}{4}+\pi k, k\in Z\).

Разберем еще одну задачу из ЕГЭ.

Решим пример, который может попасться на ЕГЭ по профильной математике в задании №13, пункт а.

Задание. а) Решите уравнение \(12+12cos(x)+10sin(x)cos(x)=0\).

Решение. Применим универсальную тригонометрическую подстановку и сделаем замену \(t=tg(\frac{x}{2})\):

\(12+121-t21+t2+20t(1-t2)(1+t2)2=0\)

Преобразуем уравнение:
\(\frac{12(1+t^2)^2+12(1+t^2)(1-t^2)+20t(1-t^2)}{(1+t^2)^2}=0\)
\(\frac{12(1+2t^2+t^4)+12(1-t^4)+20t(1-t^2)}{(1+t^2)^2}=0\)
\(\frac{12+24t^2+12t^4+12-12t^4+20t-20t^3}{(1+t^2)^2}=0\)

Домножим обе части уравнения на \((1+t^2)^2\):
\(-20t^3+24t^2+20t+24=0\)

Поделим обе части уравнения на \(-4\):
\(5t^3-6t^2-5t+6=0\)

Вынесем \((t-2)\):
\((t-2)(5t^2+4t+3)=0\)

Произведение равно нулю, когда один из его множителей равен нулю, но множитель \(5t^2+4t+3\) никогда не равен нулю.

Тогда имеем:
\(t-2=0\)
\(t=2\)

Значит, \(tg(\frac{x}{2})=2\) и \(x=2arctg(2)+2\pi k, k\in Z\).

Казалось бы, что мы решили это уравнение, но не тут-то было. Когда мы делали замену, из уравнения пропал корень \(cos(x2)=0\), то есть \(x=+2n, n Z\). Давайте подставим его в первоначальное уравнение и проверим, является ли он его решением:

\(12+12cos()+10sin(x)cos()=0\)
\(12-12-10sin(x)=0\)
\(-10sin(x)=0\)
\(10sin(x)=0\)
\(sin(x)=0\)

В этом случае у уравнения есть решение, и оно:
\(x=k, k Z\).

Значит, \(x=+2n, n Z\) тоже является решением уравнения.

Ответ: \(x1=+2k, x2=2arctg(2)+2k, k Z\)

Сегодня мы узнали, что такое универсальная тригонометрическая подстановка и как ее использовать на практике. В следующий раз мы разберем, как решать задачи с параметром методом исследовательского анализа.

Фактчек

• Тригонометрические подстановки позволяют преобразовывать выражение из тригонометрического в алгебраическое. 
• Формулы тригонометрических подстановок:
  \(sin(x) =\frac{2tg(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})}\)
  \(cos(x) =\frac{1-tg^2(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})}\)
  \(tg(x)=\frac{2tg(\frac{x}{2})}{1-tg^2(\frac{x}{2})}\)
  \(ctg(x)=\frac{1-tg^2(\frac{x}{2})}{2tg(\frac{x}{2})}\)
• Чтобы сделать дробь более приятной на вид, можно использовать замену \(tg(\frac{x}{2})=t\).

Проверь себя

Задание 1.
В каком варианте ответа написан правильный числитель тригонометрической подстановки для косинуса?

1. \(1-t^2\)
2. \(2t\)
3. \(1+t^2\)
4. \(t\)

Задание 2.
Как выглядит знаменатель тригонометрической подстановки для тангенса?

1. \(1+t^2\)
2. \(t^2\)
3. \(1-t^2\)
4. \(2t\)

Задание 3.
Какая замена используется для преобразования универсальной тригонометрической подстановки?

1. \(cos(\frac{x}{2})=t\)
2. \(ctg(\frac{x}{2})=t\)
3. \(tg(\frac{x}{2})=t\)
4. \(sin(\frac{x}{2})=t\)

Задание 4.
Как выглядит универсальная тригонометрическая подстановка функции \(ctg(x)\) с заменой?

1. \(\frac{2t}{1-t^2}\)
2. \(\frac{1-t^2}{2t}\)
3. \(\frac{2t}{1+t^2}\)
4. \(\frac{1-tg^2(\frac{x}{2})}{2tg(\frac{x}{2})}\)

Ответы: 1. — 1; 2. — 3; 3. — 4; 4. — 2.