Умскул учебник стремится стать лучше! Если вы наткнулись на ошибку или неточность в нашем материале - просто сообщите нам, мы будем благодарны!
Математика

Тригонометрическая окружность. Часть 1

18.3.2023
3588

На этой странице вы узнаете

  • Почему радиус тригонометрической окружности обязательно должен быть равен 1?
  • Как посчитать радианы?
  • Как не запутаться, в какую сторону «крутить» окружность?

Слово «тригонометрия» звучит пугающе, не так ли? На самом деле, она встречается почти везде. Вы используете ее в повседневной жизни, даже не задумываясь. Так ли страшна «Та-Кого-Нельзя-Называть»? 

Допустим, вы захотели сфотографировать красивый пейзаж. Достали телефон, навели камеру, но решили чуть-чуть отмасштабировать картинку. А приближая или удаляя объекты на камере телефона, мы тем самым меняем угол обзора камеры! И вот она тригонометрия во всей красе.

Сегодня мы познакомимся с этим разделом математики поближе. И начнем наш разбор с тригонометрической окружности.

Немного про тригонометрические функции

В тригонометрии мы в первую очередь будем сталкиваться с углами. Но как их выразить? Как посчитать их значение? Использовать в расчетах градусы у нас не получится, поскольку это не та характеристика угла, которая поможет в вычислениях. 

Чтобы выразить величину угла в численном значении, используют тригонометрические функции: синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы. А для их подсчета можно пользоваться обычным прямоугольным треугольником. 

Вспомним, что в прямоугольном треугольнике стороны называются по-особенному. Так, стороны, которые примыкают к прямому углу, называются катетами, а вот третья сторона — гипотенузой. 

Но как связаны тригонометрические функции и треугольники, и как использовать треугольник для расчетов? Все просто: синус, косинус, тангенс и котангенс выражаются с помощью отношения сторон прямоугольного треугольника. Рассмотрим на примере угла С. 

Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

\(sinC=\frac{c}{a}\)

Косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. 

\(cosC=\frac{b}{a}\)

Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

\(tgC=\frac{c}{b}\)

Котангенс — это отношение прилежащего катета к противолежащему катету. 

\(ctgC=\frac{b}{c}\)

Например, пусть у нас будет треугольник со сторонами a=41, b=19, c=40. Тогда мы можем рассчитать значения тригонометрических функций, например:

\(sinC=\frac{c}{a}=\frac{40}{41} \approx 0,976\)

\(ctgC=\frac{b}{c}=\frac{19}{40}=0,475\)

При этом, если мы пропорционально поменяем длины сторон (то есть увеличим или уменьшим треугольник в несколько раз, не меняя его формы), то значение тригонометрических функций не изменится, поскольку сам угол не меняется. 

Разумеется, считать углы с помощью прямоугольного треугольника не всегда возможно. Например, когда нам дан не прямоугольный треугольник или когда мы знаем только размер угла в градусах. Для этого существуют специальные таблицы, в которых можно быстро узнать значение угла. Называются они таблицами Брадиса. Вы можете ознакомиться с ними по ссылкам ниже: 

Итак, угол можно изобразить с помощью треугольника. Но есть еще один способ графически изобразить и посчитать угол. Для этого нам нужно познакомиться с понятием единичной окружности. 

Как построить единичную тригонометрическую окружность

К этому моменту изучения математики, многие уже, скорее всего, привыкли, что любую функцию можно изобразить с помощью графика. Одним из способов исследовать тригонометрические функции является единичная тригонометрическая окружность. 

Единичная тригонометрическая окружность — это окружность с центром в точке (0; 0) на координатной плоскости, радиус которой равен 1.

Почему радиус тригонометрической окружности обязательно должен быть равен 1?

Это связано с ограничениями, которые есть для синуса и косинуса. Как мы уже знаем, синус и косинус — это отношение катета к гипотенузе.

По одному из свойств треугольника — о них вы можете подробнее узнать в статье «Треугольник» — напротив большей стороны лежит больший угол.

В прямоугольном треугольнике наибольшим углом будет прямой угол: поскольку сумма углов треугольника 180°, а один из них равен 90°, то на два других остается еще 90° градусов. При этом угол не может быть равен 0, иначе треугольник «схлопнется» и превратится в линию. Следовательно, наибольшей стороной будет гипотенуза. А отношение меньшего числа (длина катета) к большему (длина гипотенузы) не может быть больше 1.

Например, пусть длина гипотенузы равна у, а длина катета равна х. Тогда их отношение можно записать в виде дроби:

\(\frac{x}{y}\)

У нас получается следующая закономерность: числитель всегда меньше знаменателя, а значит, число меньше 1.

Таким образом, синус и косинус имеют ограничение в значениях: они не могут быть меньше -1 и больше 1. Отметив эти точки на осях, мы получаем окружность с радиусом 1. 

А как же начертить единичную окружность? 

  1. Для начала мы чертим обычные оси, перпендикулярные друг другу, а также рисуем окружность с единичным радиусом.
  1. После этого оси нужно назвать. Если вы уже сталкивались с графиками, то первым порывом будет назвать их х и у. Однако здесь не все так просто! Горизонтальная ось — это ось косинуса, а вертикальная — ось синуса. Называются они соответственно.
  1. Теперь мы можем отметить начало отсчета. Оно будет лежать на оси косинуса справа. При этом движение в «положительную» сторону по окружности будет совершаться против часовой стрелки.

Итак, осталось подписать «знаковые» точки, то есть наиболее характерные точки для отсчета. Они будут лежать на пересечении осей и окружности, и всего их 4: 90°, 180°, 270° и 360° с начала отсчета. 

Но тригонометрия не была бы тригонометрией, если бы все было так просто. Мы знаем, что угол можно выразить с помощью градусов, знаем, что его даже можно посчитать. Но оказывается, есть еще один способ указать на величину угла — это радианы. 

Как посчитать радианы?

Радианы измеряются с помощью числа пи. Оно записывается как \(\pi\) и примерно равно 3,14. 

Чтобы считать углы в радианах, нужно запомнить, что \(\pi=180°\). Отсюда просто посчитать, что \(90°=\frac{\pi}{2}\), \(270°=\frac{3\pi}{2}\), \(360°=2\pi\)

Аналогично можно посчитать любой угол, например, \(30°=\frac{180°}{6}=\frac{\pi}{6}\).

Теперь мы можем подписать на нашей окружности углы. 

Заметим, что длина всей окружности равна 2π. То есть от точки 0 мы сделали ровно один круг. При этом 0 и 2π лежат в одной точке. Если мы сделаем еще один круг, то окажемся в точке 2π+2π=4π, и снова окажемся в той же точке. Так можно двигаться по окружности бесконечно долго, причем в обе стороны.

Условно, окружность можно представить в виде детской игрушки — спирали. Если посмотреть на нее сверху, то это будет обычная окружность. А вот если растянуть, то можно заметить, как одна окружность перетекает в другую. Когда мы «идем» по окружности, мы двигаемся по такой спирали. 

В какую сторону «крутить» окружность?

В задачах нередко будут встречаться промежутки на окружности, которые необходимо правильно определить. Неправильное определение промежутка влечет за собой и неправильный ответ.

Чтобы точно не ошибиться, нужно запомнить, в какую сторону идет положительное направление, а в какую отрицательную.

Для этого представим, что наша окружность — это гоночная трасса. При этом машина будет ехать против часовой стрелки. Если машина едет «передом», то она движется в «положительном» направлении. Сделав один круг, она проедет расстояние 2π, два круга — 4π, а через пять кругов она окажется в точке 10π. 

А вот если машина будет ехать «задом», то отсчет будет идти в отрицательную сторону. Так, через круг она окажется в точке -2π, через два круга — в точке -4π и так далее. То есть она будет проезжать то же самое расстояние, но со знаком минус. 

Как откладывать углы на тригонометрической окружности

Итак, мы узнали четыре важные точки. А как отметить на окружности другие углы? Например, 30 или 150 градусов? 

Стоит упомянуть, что на окружности можно отметить угол с любым градусом. Но самыми важными будут углы 30°, 45°, 60°, 120°, 135°, 150°, 210°, 225°, 240°, 300°, 315°, 330°. 

Все эти точки можно условно разделить на две части. Первая будет лежать «наверху» окружности — это точки от 0 до 180 градусов. Вторая часть будет лежать «внизу» окружности — это точки от 180 до 360 градусов. 

Далее заметим, что каждую половину можно разделить еще на две части — у нас получатся четвертинки окружности.

  • В первой четверти будут лежать углы со значением от 0° до 90°, 
  • во второй — от 90° до 180°,
  • в третьей — от 180° до 270°, 
  • в четвертой — от 270° до 360°. 

Точки 0°, 90°, 180° и 270° — точки, от которых мы будем вести отсчет остальных углов. Такие точки называются опорными.

Также обозначим, что четверти в окружности имеют свой номер, который необходимо запомнить. 

А теперь начнем откладывать наши углы. Чтобы отложить нужный угол, нужно от 0 «поднять» линию по окружности на нужное количество градусов. Это будет схоже с прокручиванием стрелки часов в обратном направлении. Для примера отложим угол 30°. 

А теперь отложим такой же угол в каждой четверти. При этом во второй четверти мы попадем в точку 90°+30°=120°, в третьей четверти в точку 180°+30°=210°, а в четвертой в точку 270°+30°=300°. Таким образом, у нас получится уже четыре угла из категории «важных». 

Теперь аналогично отложим угол в 45 градусов от каждой опорной точки. Мы получим точки 45°, 135°, 225° и 315°. 

Осталось распределить точки 60°, 150°, 240° и 330°. В этот раз нам нужно будет отложить по 60 градусов от опорных точек. 

Точно таким же способом можно отложить любой угол на окружности, даже если он больше 360°. Например, возьмем угол 418° и начнем двигаться от 0. Первый круг мы пройдем полностью, отложив таким образом 360 градусов из данного угла. 

На втором круге нам останется отложить 418°-360°=58°. Заметим, что этот угол будет лежать в первой четверти. Осталось «прокрутить» его от точки 360° (уже не 0, поскольку круг не первый), и получить необходимую точку.

Подобным образом мы можем «кружиться» на любой угол, который только сможем придумать. Аналогично нужно действовать и с отрицательными углами, но двигаться не против часовой, а по часовой стрелке. 

Но вернемся к нашим «важным» точкам. Почему мы на окружности откладывали именно их? На самом деле, значения этих углов — табличные, то есть они уже заранее определены. В задачах такие точки встречаются чаще всего, поэтому с легкостью можно перейти от угла к его значению. Значения углов приведены в таблице ниже. 

Нахождение значений функций может встретиться как отдельным заданием, так и составной частью большого решения, поэтому важно хорошо ориентироваться в таблице выше. Для примера разберем задание №16 из ЕГЭ по базовой математике:

Найдите значение выражения \(36\sqrt{6}tg\frac{\pi}{6}sin\frac{\pi}{4}\).

Решение. С помощью таблицы найдем значения \(tg\frac{\pi}{6}\) и \(sin\frac{\pi}{4}\):
\(tg\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\)

Теперь осталось подставить эти значения в данное выражение:
\(36\sqrt{6}tg\frac{\pi}{6}sin\frac{\pi}{4}=36\sqrt6*\frac{\sqrt3}{3}*\frac{\sqrt2}{2}\)

Умножим дроби друг на друга, для этого необходимо будет воспользоваться одним из свойств корней. Подробнее про это и другие свойства корней можно узнать в статье «Понятие корня»
\(\frac{\sqrt3}{3}*\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt{3*2}}{6}=\frac{\sqrt6}{6}\)

Найдем ответ:
\(36\sqrt6*\frac{\sqrt6}{6}=\frac{36\sqrt6*\sqrt6}{6}=\frac{36*6}{6}=36\)

Ответ: 36

Как мы знаем, углы могут быть выражены не только градусами, но и радианами. Отметим наши точки с помощью радиан. Например, \(30°=\frac{180°}{6}=\frac{\pi}{6}\). Перевод из градусов в радианы и обратно очень пригодится нам в дальнейших вычислениях. 

Еще раз обратим внимание: точка 0 совпадает с точкой 2π. Это означает, что мы сделали один оборот по окружности. Но мы можем продолжать идти так и дальше, тогда эта же точка будет принимать значения 4π, 6π, 8π. 

И тригонометрические функции, и окружность могут встретиться и на ЕГЭ по профильной математике, например, в задании №6.

Найдите значение выражения 153*sin(1140°)

Решение. Угол 1140° очень сложно вычислить без преобразований. В таких случаях нужно вспомнить, что по окружности можно делать несколько оборотов, каждый из которых равен 360°. Попробуем сделать несколько «оборотов» обратно, чтобы понять, из какого угла мы пришли к такому значению:
1140°-360°=780°
780°-360°=420°
420°-360°=60°

Следовательно, 1140°=60°+3*360°.

В тригонометрической окружности есть одна особенность: значения тригонометрической функции в одной и той же точке равны. Подробнее об этом мы ведем в разговор в продолжении этой статьи — «Тригонометрическая окружность. Часть 2» — а сейчас просто применим эту особенность. 

Следовательно, \(sin(1140°)=sin(60°)=\frac{\sqrt3}{2}\).

Подставим это значение в данное выражение и найдем ответ:
\(15\sqrt3*sin(1140°)=15\sqrt3*\frac{\sqrt3}{2}=\frac{15*\sqrt3*\sqrt3}{2}=\frac{15*3}{2}=22,5\).

Ответ: 22,5 

Мы разобрали основные понятия, связанные с тригонометрической окружностью. Но с ее помощью можно также находить значения тригонометрических функций и делать выборку корней для заданного промежутка. Об этом и многом другом вы можете узнать в статье «Тригонометрическая окружность. Часть 2»

Термины

Координатная плоскость плоскость, на которой изображена система координат, имеющая начало координат, оси координат и координатные углы (то есть углы, образованные при пересечении осей координат). 

Окружность это замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центра. 

Прямоугольный треугольник это треугольник, один из углов которого прямой, то есть равен 90°. Подробнее о нем можно прочитать в статье «Равнобедренный, равносторонний и прямоугольный треугольник».

Фактчек

  • Тригонометрические функции нужны для исследования углов. С их помощью можно не только определить угол в градусах или радианах, но и найти его значение. 
  • К тригонометрическим функциям относятся синус, косинус, тангенс и котангенс. Один из способов их нахождения тесно связан с прямоугольным треугольником. Так, синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенс отношение противолежащего катета к прилежащему катету и котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему. 
  • Единичная тригонометрическая окружность — это окружность с центром в точке (0; 0) на координатной плоскости, радиус которой равен 1. 
  • Единичная тригонометрическая окружность используется для графического изображения тригонометрических функций.

Проверь себя

Задание 1.
Что такое тангенс?

  1. Отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
  4. Отношение прилежащего катета к противолежащему катету. 

Задание 2.
Выберите верное утверждение для оси косинуса:

  1. Ось косинуса проходит вертикально через центр окружности.
  2. Ось косинуса проходит горизонтально через центр окружности.
  3. Ось косинуса вертикальна и касается окружности справа.
  4. Ось косинуса горизонтальна и касается окружности сверху.

Задание 3.
Чему равен угол 40° в радианах?

  1. \(\frac{\pi}{9}\)
  2. \(\frac{9\pi}{2}\)
  3. \(\frac{2\pi}{9}\)
  4. \(\frac{\pi}{40}\)

Задание 4.
В какой четверти лежит угол 238°?

  1. 1.
  2. 2. 
  3. 3.
  4. 4.

Задание 5.
В какой четверти лежит угол 995°?

  1. 1.
  2. 2. 
  3. 3.
  4. 4.

Ответы: 1. 3; 2. 2; 3. 3; 4. — 3; 5. — 4.

Понравилась статья? Оцени:
Читайте также:

Читать статьи — хорошо, а готовиться к экзаменам
в самой крупной онлайн-школе — еще эффективнее.

50 000
Количество
учеников
1510
Количество
стобальников
>15000
Сдали на 90+
баллов