Целые рациональные, дробно-рациональные и иррациональные уравнения

На этой странице вы узнаете:

• Как не перепутать целое рациональное с дробно-рациональным уравнением?
• Чудо метод: как легко  решить любое иррациональное уравнение?
• Без каких трёх букв не справиться с ЕГЭ?

Сравнить зарплату и расходы, рассчитать количество продуктов в блюде или решить, сколько плитки взять для ремонта в ванной — мы встречаем уравнения гораздо чаще, чем кажется.

Виды уравнений

Уравнения могут быть рациональными и иррациональными.

Рациональные в свою очередь делятся на:

• целые рациональные и
• дробно-рациональные.

Далее мы подробно рассмотрим такие виды уравнений.

Целые рациональные уравнения

Целое рациональное уравнение – это уравнение, в котором есть только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в целую степень.

Такое уравнение может являться линейным, квадратным или другим алгебраическим уравнением. Для тех, кто ещё не успел с ними разобраться, мы написали статью “Линейные, квадратные и кубические уравнения”.

Вид рационального уравнения:

f(x) = 0, где 
f(x) – рациональное выражение

Например: 3x — 2 = 2x + 3;

Алгоритм решения рационального уравнения:

1. Перенести все слагаемые из правой части в левую, чтобы справа был только ноль. 
2. Совершить преобразования для приведения к обычному алгебраическому уравнению (линейное, квадратное, кубическое и т.д.).

Рассмотрим решение рационального уравнения на следующем примере:

\(\large\frac{x^{2} — 1}{8} = 10\)

1. Перенесем 10 в левую часть 

\(\large\frac{x^{2} — 1}{8} — 10 = 0\)

2. Домножим обе части уравнения на 8

\(\large 8 * (\frac{x^{2} — 1}{8} — 10) = 8 * 0\)

3. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

x² — 1 — 80 = 0
x² — 81 = 0

4. Решим неполное квадратное уравнение и получим х = ±9.

Дробно-рациональные уравнения

А что же такое дробно-рациональное уравнение?

Дробно-рациональное уравнение – это уравнение, у которого хотя бы в одной дроби в знаменателе есть неизвестная.

Вид дробно-рационального уравнения:

\(\large\frac{f(x)}{g(x)} = 0\), где 
f(x) и g(x) – выражения с неизвестной х

Например: \(\large\frac{12}{7 — x} = x; \frac{x^{-1}}{2} = \frac{1+x}{5}\)

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

1. Перенести все слагаемые из правой части в левую, если они есть, чтобы справа был только ноль. 
2. Слева сделать преобразования, если нужно.
3. Привести все слагаемые слева к общему знаменателю и записать в виде дроби.
4. Записать систему, где числитель этой дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
5. Решить систему.

Давайте рассмотрим решение дробно-рационального уравнения на данном примере:

\(\large\frac{x^{2} + 2x — 9}{x — 2} — 1 = \frac{x+4}{x}\)

1. Перенесем все слагаемые в левую часть 

\(\large\frac{x^{2} + 2x — 9}{x — 2} — 1 — \frac{x+4}{x} = \)

2. Приведем к общему знаменателю

\(\large\frac{2 * (x^{2} + 2x — 9) — 2 * (x — 2) — (x + 4) * (x — 2)}{2 * (x — 2)} = 0\)

3. Раскроем скобки в числителе

\(\large\frac{2x^{2} + 4x — 18 — 2x + 4 — x^{2} + 2x — 4x + 8}{2 * (x — 2)} = 0\)

4. Сложим подобные слагаемые

\(\large\frac{x^{2} — 6}{2 * (x — 2)} = 0\)

5. Запишем систему уравнений

Решением системе будет x = ±\(\sqrt{6}\), это и есть решение уравнения.

Как не перепутать целое рациональное с дробно-рациональным уравнением? Если х находится только в числителе дроби, то такое уравнение — целое рациональное. Если х есть в знаменателе дроби, то такое уравнение — дробно-рациональное. Пример 1: \(\large\frac{x}{2} = 0\) — целое рациональное уравнение Пример 2: \(\large\frac{x^{2} + 2x + 1}{x — 1} = 0\) — дробно-рациональное уравнение

Иррациональные уравнения

Мы уже рассмотрели два вида рациональных уравнений, перейдем к иррациональным.

Иррациональное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную под корнем или она возведена в дробную степень.

Например: \(\sqrt{10 — x} = x — 4; x^{\frac{2}{3}} = 4\)  – это иррациональные уравнения.

Иррациональные уравнения могут быть нескольких видов:

1. \(\sqrt{f(x)} = g(x)\)
2. \(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\)
3. Разные комбинации корней.

Чудо метод: как легко решить любое иррациональное уравнение? Такие уравнения решаются методом возведения в квадрат. Он заключается в изоляции корня с одной стороны от знака равенства и переноса остальных слагаемых в другую сторону, далее нужно возвести обе части уравнения (и правую, и левую) в квадрат, чтобы избавиться от знака корня. Такой метод можно использовать столько раз, сколько потребуется, чтобы избавиться от всех корней в уравнении.

Что нужно учитывать при решении иррационального уравнения методом возведения в квадрат?

Корень не может быть отрицательным, поэтому обязательно нужно добавлять условие на выражение, к которому приравнивается корень. Такое выражение всегда больше или равно нулю.

Алгоритм решения иррационального уравнения:

1. Поместить выражение с корнем в одну часть уравнения, а все остальное в другую.
2. Возвести в нужную степень обе части уравнения. 
3. Первые два пункта можно повторять, пока не избавитесь от всех корней.
4. Решить рациональное уравнение.

А теперь практика.

Решение уравнения вида \(\sqrt{f(x)} = g(x)\):

Пример:  

\(\large\sqrt{x^{2} — 5} = x + 1\)

1. Перейдем к системе

2. Решим первое уравнение и получим x = -3, но данный х не подходит под второе условие, поэтому уравнение не имеет корней.

Решение уравнения вида \(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\):

Пример: 

\(\large\sqrt{x^{2} + 2} = \sqrt{2x + 2}\)

1. Перейдем к системе 

2. Заметим, что второе условие выполняется при любом х, а значит все корни первого уравнения будут являться решениями. Решим неполное квадратное уравнение, и получим корни 0 и 2.

Решение уравнения с тремя корнями:

Пример: 

\(\large\sqrt{1 + x} — \sqrt{1 — x} = \sqrt{x}\)

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), то есть все значения, которые x может принимать в уравнении или неравенстве.

Для этого составим систему условий на подкоренные выражения, а после найдем решения этой системы:

\(\Large 0 \leq x \leq 1\)

Без каких трёх букв не справиться с ЕГЭ? Таким тремя буквами является аббревиатура ОДЗ.  В базовом ЕГЭ и первой части профильной математики можно обойтись и без ОДЗ. Но решить некоторые задания второй части профиля без ОДЗ не получится. Чтобы получить верный ответ последним действием нужно пересечь ОДЗ уравнения с его решениями. Промежутки, которые будут принадлежать и ОДЗ, и решению, пойдут в ответ.

2. Перенесем одно слагаемое в правую часть

\(\large\sqrt{1 + x} = \sqrt{x} + \sqrt{1 — x}\)

3. Возведем обе части уравнения в квадрат

\(\large 1 + x = x + 2 ⋅ \sqrt{x — 1} ⋅ \sqrt{x} + 1 — x\)

4. Сложим подобные слагаемые и получим систему вида fx=gx

\(\large x = 2\sqrt{1 — x}\sqrt{x}\)

5. Перейдем к системе уравнений

6. Решим первое уравнение 

x² = 4x * (1 — x)
5x² — 4x = 0
x * (5x — 4) = 0

Оба корня подходят и под условие x ≥ 0, и под найденное ранее ОДЗ, значит корни данного уравнения 0 и \(\large\frac{4}{5}\) .

Фактчек

• Рациональное уравнение – это уравнение, в котором есть только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в целую степень. Решается такое уравнения путем сведения к алгебраическому уравнению.
• Дробно-рациональное уравнение – это уравнение, у которого хотя бы в одной дроби в знаменателе есть неизвестная. Для решения нужно привести уравнение к виду, когда дробь равна нулю, и перейти к системе уравнений, где числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
• В иррациональном уравнении неизвестная содержится под корнем или она возведена в дробную степень. Для решения используются следующие равносильные переходы:

 Если уравнение состоит из комбинации корней, то можно каждый раз возводить обе части в степень, пока не избавитесь от корней. Также не стоит забывать про ОДЗ.

Термины

Алгебраическое уравнение – это многочлен, приравненный к нулю.

Проверь себя

Задание 1.
Выберите дробно-рациональное уравнение

1. \(\large\frac{x^{2} + 2x + 3}{3}= 2x + 1\)
2. x³ + 2x = 0
3. \(\large\frac{x^{2} + 1}{x — 3} = 0\)
4. \(\sqrt{x — 2} = \sqrt{x^{3} — 8}\)

Задание 2.
Выберите иррациональное уравнение

1. (x — 2)(3x + 1) = 0
2. \(\sqrt{x} — 2 = -x\)
3. 5x² + 8x — 1 = 3²
4. \(\large\frac{x + 7}{2x} = 5\)

Задание 3.
Решите уравнение \(\large\frac{5x + 2}{3} = x\)

1. -1
2. 2
3. -2
4. 3

Задание 4.
Решите уравнение \(\large\frac{9x — 15}{x — 5} = \frac{1}{x — 3}\)

1. 2 и \(\large\frac{25}{9}\)
2. -2 и \(\large\frac{9}{25}\)
3. 9 и 25
4. \(\large\frac{25}{9}\) и -2

Задание 5.
Решите уравнение \(\sqrt{x^{2} + 3x} = \sqrt{5x — 1}\)

1. 1 и 2
2. 1
3. 0 и 2
4. 2

Ответы: 1. — 3; 2. — 2; 3. — 1; 4. — 1; 5. — 2