Целые рациональные, дробно-рациональные и иррациональные уравнения
На этой странице вы узнаете:
- Как не перепутать целое рациональное с дробно-рациональным уравнением?
- Чудо метод: как легко решить любое иррациональное уравнение?
- Без каких трёх букв не справиться с ЕГЭ?
Сравнить зарплату и расходы, рассчитать количество продуктов в блюде или решить, сколько плитки взять для ремонта в ванной — мы встречаем уравнения гораздо чаще, чем кажется.
Виды уравнений
Уравнения могут быть рациональными и иррациональными.
Рациональные в свою очередь делятся на:
- целые рациональные и
- дробно-рациональные.

Далее мы подробно рассмотрим такие виды уравнений.
Целые рациональные уравнения
Целое рациональное уравнение – это уравнение, в котором есть только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в целую степень.
Такое уравнение может являться линейным, квадратным или другим алгебраическим уравнением. Для тех, кто ещё не успел с ними разобраться, мы написали статью “Линейные, квадратные и кубические уравнения”.
Вид рационального уравнения:
f(x) = 0, где
f(x) – рациональное выражение
Например: 3x — 2 = 2x + 3;
Алгоритм решения рационального уравнения:
- Перенести все слагаемые из правой части в левую, чтобы справа был только ноль.
- Совершить преобразования для приведения к обычному алгебраическому уравнению (линейное, квадратное, кубическое и т.д.).
Рассмотрим решение рационального уравнения на следующем примере:
\(\large\frac{x^{2} — 1}{8} = 10\)
- Перенесем 10 в левую часть
\(\large\frac{x^{2} — 1}{8} — 10 = 0\)
- Домножим обе части уравнения на 8
\(\large 8 * (\frac{x^{2} — 1}{8} — 10) = 8 * 0\)
- Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые
x2 — 1 — 80 = 0
x2 — 81 = 0
- Решим неполное квадратное уравнение и получим х = ±9.
Дробно-рациональные уравнения
А что же такое дробно-рациональное уравнение?
Дробно-рациональное уравнение – это уравнение, у которого хотя бы в одной дроби в знаменателе есть неизвестная.
Вид дробно-рационального уравнения:
\(\large\frac{f(x)}{g(x)} = 0\), где
f(x) и g(x) – выражения с неизвестной х
Например: \(\large\frac{12}{7 — x} = x; \frac{x^{-1}}{2} = \frac{1+x}{5}\)
Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:
- Перенести все слагаемые из правой части в левую, если они есть, чтобы справа был только ноль.
- Слева сделать преобразования, если нужно.
- Привести все слагаемые слева к общему знаменателю и записать в виде дроби.
- Записать систему, где числитель этой дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
- Решить систему.
Давайте рассмотрим решение дробно-рационального уравнения на данном примере:
\(\large\frac{x^{2} + 2x — 9}{x — 2} — 1 = \frac{x+4}{x}\)
- Перенесем все слагаемые в левую часть
\(\large\frac{x^{2} + 2x — 9}{x — 2} — 1 — \frac{x+4}{x} = \)
- Приведем к общему знаменателю
\(\large\frac{2 * (x^{2} + 2x — 9) — 2 * (x — 2) — (x + 4) * (x — 2)}{2 * (x — 2)} = 0\)
- Раскроем скобки в числителе
\(\large\frac{2x^{2} + 4x — 18 — 2x + 4 — x^{2} + 2x — 4x + 8}{2 * (x — 2)} = 0\)
- Сложим подобные слагаемые
\(\large\frac{x^{2} — 6}{2 * (x — 2)} = 0\)
- Запишем систему уравнений

Решением системе будет x = ±\(\sqrt{6}\), это и есть решение уравнения.
Как не перепутать целое рациональное с дробно-рациональным уравнением? Если х находится только в числителе дроби, то такое уравнение — целое рациональное. Если х есть в знаменателе дроби, то такое уравнение — дробно-рациональное. Пример 1: \(\large\frac{x}{2} = 0\) — целое рациональное уравнение Пример 2: \(\large\frac{x^{2} + 2x + 1}{x — 1} = 0\) — дробно-рациональное уравнение |
Иррациональные уравнения
Мы уже рассмотрели два вида рациональных уравнений, перейдем к иррациональным.
Иррациональное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную под корнем или она возведена в дробную степень.
Например: \(\sqrt{10 — x} = x — 4; x^{\frac{2}{3}} = 4\) – это иррациональные уравнения.
Иррациональные уравнения могут быть нескольких видов:
- \(\sqrt{f(x)} = g(x)\)
- \(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\)
- Разные комбинации корней.
Чудо метод: как легко решить любое иррациональное уравнение? Такие уравнения решаются методом возведения в квадрат. Он заключается в изоляции корня с одной стороны от знака равенства и переноса остальных слагаемых в другую сторону, далее нужно возвести обе части уравнения (и правую, и левую) в квадрат, чтобы избавиться от знака корня. Такой метод можно использовать столько раз, сколько потребуется, чтобы избавиться от всех корней в уравнении. |
Что нужно учитывать при решении иррационального уравнения методом возведения в квадрат?
Корень не может быть отрицательным, поэтому обязательно нужно добавлять условие на выражение, к которому приравнивается корень. Такое выражение всегда больше или равно нулю.
Алгоритм решения иррационального уравнения:
- Поместить выражение с корнем в одну часть уравнения, а все остальное в другую.
- Возвести в нужную степень обе части уравнения.
- Первые два пункта можно повторять, пока не избавитесь от всех корней.
- Решить рациональное уравнение.
А теперь практика.
Решение уравнения вида \(\sqrt{f(x)} = g(x)\):

Пример:
\(\large\sqrt{x^{2} — 5} = x + 1\)
- Перейдем к системе

- Решим первое уравнение и получим x = -3, но данный х не подходит под второе условие, поэтому уравнение не имеет корней.
Решение уравнения вида \(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\):

Пример:
\(\large\sqrt{x^{2} + 2} = \sqrt{2x + 2}\)
- Перейдем к системе

- Заметим, что второе условие выполняется при любом х, а значит все корни первого уравнения будут являться решениями. Решим неполное квадратное уравнение, и получим корни 0 и 2.
Решение уравнения с тремя корнями:
Пример:
\(\large\sqrt{1 + x} — \sqrt{1 — x} = \sqrt{x}\)
- Найдем область допустимых значений (ОДЗ), то есть все значения, которые x может принимать в уравнении или неравенстве.
Для этого составим систему условий на подкоренные выражения, а после найдем решения этой системы:


\(\Large 0 \leq x \leq 1\)
Без каких трёх букв не справиться с ЕГЭ? Таким тремя буквами является аббревиатура ОДЗ. В базовом ЕГЭ и первой части профильной математики можно обойтись и без ОДЗ. Но решить некоторые задания второй части профиля без ОДЗ не получится. Чтобы получить верный ответ последним действием нужно пересечь ОДЗ уравнения с его решениями. Промежутки, которые будут принадлежать и ОДЗ, и решению, пойдут в ответ. |
- Перенесем одно слагаемое в правую часть
\(\large\sqrt{1 + x} = \sqrt{x} + \sqrt{1 — x}\)
- Возведем обе части уравнения в квадрат
\(\large 1 + x = x + 2 ⋅ \sqrt{x — 1} ⋅ \sqrt{x} + 1 — x\)
- Сложим подобные слагаемые и получим систему вида fx=gx
\(\large x = 2\sqrt{1 — x}\sqrt{x}\)
- Перейдем к системе уравнений

- Решим первое уравнение
x2 = 4x * (1 — x)
5x2 — 4x = 0
x * (5x — 4) = 0

Оба корня подходят и под условие x ≥ 0, и под найденное ранее ОДЗ, значит корни данного уравнения 0 и \(\large\frac{4}{5}\) .
Фактчек
- Рациональное уравнение – это уравнение, в котором есть только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в целую степень. Решается такое уравнения путем сведения к алгебраическому уравнению.
- Дробно-рациональное уравнение – это уравнение, у которого хотя бы в одной дроби в знаменателе есть неизвестная. Для решения нужно привести уравнение к виду, когда дробь равна нулю, и перейти к системе уравнений, где числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
- В иррациональном уравнении неизвестная содержится под корнем или она возведена в дробную степень. Для решения используются следующие равносильные переходы:

Если уравнение состоит из комбинации корней, то можно каждый раз возводить обе части в степень, пока не избавитесь от корней. Также не стоит забывать про ОДЗ.
Термины
Алгебраическое уравнение – это многочлен, приравненный к нулю.
Проверь себя
Задание 1.
Выберите дробно-рациональное уравнение
- \(\large\frac{x^{2} + 2x + 3}{3}= 2x + 1\)
- x3 + 2x = 0
- \(\large\frac{x^{2} + 1}{x — 3} = 0\)
- \(\sqrt{x — 2} = \sqrt{x^{3} — 8}\)
Задание 2.
Выберите иррациональное уравнение
- (x — 2)(3x + 1) = 0
- \(\sqrt{x} — 2 = -x\)
- 5x2 + 8x — 1 = 32
- \(\large\frac{x + 7}{2x} = 5\)
Задание 3.
Решите уравнение \(\large\frac{5x + 2}{3} = x\)
- -1
- 2
- -2
- 3
Задание 4.
Решите уравнение \(\large\frac{9x — 15}{x — 5} = \frac{1}{x — 3}\)
- 2 и \(\large\frac{25}{9}\)
- -2 и \(\large\frac{9}{25}\)
- 9 и 25
- \(\large\frac{25}{9}\) и -2
Задание 5.
Решите уравнение \(\sqrt{x^{2} + 3x} = \sqrt{5x — 1}\)
- 1 и 2
- 1
- 0 и 2
- 2
Ответы: 1. — 3; 2. — 2; 3. — 1; 4. — 1; 5. — 2