Электромагнитные колебания, колебательный контур

На этой странице вы узнаете

• Может ли голливудская актриса стать прародителем великого изобретения?
• Какая фраза стала первой в истории радио?
• Как ветер может обрушить мост?

Что приходит в голову, когда вы слышите слово «колебание»? Вы можете вспомнить колебания маятника, качелей или деталей в двигателе, но даже электричество может колебаться. Про эти «неклассические» колебания мы сегодня поговорим.

Электромагнитные колебания и волны

Для начала определим, что 

Электромагнитными колебаниями называют периодические взаимосвязанные изменения зарядов, токов, напряженности электрического и индукции магнитного полей. Распространение электромагнитных колебаний в пространстве происходит в виде электромагнитных волн. 

Может ли голливудская актриса стать прародителем великого изобретения? Голливудская звезда 1930-х годов, Хеди Ламарр, оказывается, внесла существенный вклад в изобретение беспроводного способа передачи данных — вай-фай.  Первым мужем актрисы был Фриц Майндль — австрийский миллионер, владелец фабрик по изготовлению оружия. Но у актрисы и жизнь, как кино. По определенным обстоятельствам Ламарр принимает решение сбежать от мужа. Она подсыпает снотворное в напиток горничной, приставленной к ней, переодевается в ее одежду и благополучно сбегает, прихватив с собой шкатулку с драгоценностями. В 1940 году Хеди Ламарр создала и запатентовала технологию помехоустойчивой радиопередачи сигнала за счет постоянной смены частоты случайным образом используя знания об оружии, которые она почерпнула от своего бывшего мужа. Ее изобретение не было оценено по достоинству. И только в 1990-х оно нашло свое призвание. Таким образом, голливудская актриса изобрела помехоустойчивые радиопередачи, которые впоследствии были использованы во всеми известном и любимом изобретении — вай-фай.

Электромагнитная волна — это распространение электромагнитного поля, а электромагнитное поле — это особый вид материи,который возникает вокруг движущихся зарядов. 

Подробнее об этом говорится в статье «Электромагнитные волны».

Отметим только, что физики иногда придумывают условные вещи, которые нужны исключительно для удобства самих физиков. Но электромагнитное поле действительно существует.

Колебательный контур

Колебательный контур — электрическая цепь, состоящая из конденсатора емкостью С, катушки индуктивностью L и резистора сопротивлением R.

В этой цепи происходят свободные затухающие электромагнитные колебания, причем скорость затухания этих колебаний определяется сопротивлением резистора.

Отдельно выделяют идеальный колебательный контур. Его единственное отличие в том, что сопротивление R=0, вследствие чего колебания не затухают. 

Здесь все более-менее понятно: бегать можно сколь угодно долго, если вообще ничего не мешает — ни усталость, ни сам воздух.

На изображении выше показан пример колебательного контура, в котором последовательно соединены конденсатор емкостью С, катушка индуктивностью L и разомкнутый ключ K. Также здесь указано напряжение U₀.

Напрашивается логичный вопрос, что здесь может колебаться? Ответ: заряды, ток и напряжение; энергия магнитного и электрического полей.

Энергия электрического поля сосредоточена в конденсаторе (\(W = \frac{q^2}{2C}\)), энергия магнитного поля — в катушке индуктивностью \(L (W = \frac{LI^2}{2})\).

Также заметим, что колебания бывают свободные и вынужденные, прямо как с маятником, об этом было рассказано в статье «Механические колебания и волны». 

Вынужденные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи под действием переменной электродвижущей силы от внешнего источника. 

Свободные колебания — это колебания, возникающие в системе за счет первоначально сообщенной энергии. Теперь поговорим о них подробнее.

Свободные колебания

Учитывая, что свободные колебания — это колебания, которые появляются исключительно за счет первоначально сообщенной энергии, рассмотрим следующий случай.

Допустим, мы вначале кинули в комнату какое-то количество энергии, а потом заперли ее. Сколько было энергии в начале, столько и будет в конце. Система (комната) пользуется только тем, что есть в ней — внешние силы никак не влияют на нее (в комнату больше не сообщают энергию) и если система колеблется, то колебания будут свободными. Кратко делаем вывод: без внешних сил какие-либо колебания всегда свободные.

Далее очень важно понимать, что такое конденсатор, катушка и их принципы работы, так что, возможно, вам стоит отвлечься на следующие статьи «Явление индукции и самоиндукции», «Конденсаторы». 

Рассмотрим сам процесс колебаний в виде таблицы.

t	Схемы	Энергия
\(t = 0\)		\(W = \frac{q^2}{2C}\)
\(t = \frac{1}{4}T\)		\(W = \frac{LI^2}{2}\)
\(t = \frac{1}{2}T\)		\(W = \frac{q^2}{2C}\)
\(t = \frac{3}{4}T\)		\(W = \frac{LI^2}{2}\)

Стоит обратить внимание, что:

• Заряд на обкладках конденсатора с течением времени меняется.
• Пока что мы рассматриваем только случай свободных колебаний.
• Через время, равное периоду ​T​, система возвращается в начальное состояние.

Вот и свершилось одно полное колебание, дальше процесс повторяется.

Электромагнитные колебания похожи на механические колебания маятника. Неудивительно, ведь суть процессов одна — это закон сохранения энергии: 

\(W = \frac{LI^2}{2} + \frac{q^2}{2C} = \frac{LI_{max}^2}{2} = \frac{q_{max}^2}{2C}\), где W — полная энергия (Дж); L — индуктивность катушки (Гн); q — заряд на обкладке конденсатора (Кл); I — сила тока (А); C — емкость конденсатора (Ф); Imax— максимальное значение силы тока (А);  qmax — максимальный заряд на обкладке (Кл).

Закон сохранения энергии: сумма энергий электрического поля в конденсаторе и магнитного поля в катушке в любой момент времени остается неизменной. 

То есть значение W — постоянное. Меняться могут только L, I, q, C, но по формуле выше сумма энергий этих элементов всегда должна давать один и тот же результат.  

\(\frac{LI^2}{2}\) — энергия магнитного поля катушки.
\(\frac{q^2}{2C}\) — энергия электрического поля конденсатора.

Какая фраза стала первой в истории радио? Оказывается, что самыми первыми словами по радио были «Генрих Герц». Это краткое сообщение передал 18 декабря 1897 Александр Попов — уже знаменитый в то время русский ученый-физик. Вокруг этого факта ходит много легенд. Отчасти потому, что тогда все опыты Попова считались военной тайной. А первое наиболее важное событие, о котором сообщили по радио, была Октябрьская революция 1917 года.

Уравнения колебаний

Идем дальше и задаемся вопросом, как можно описать значения I, U, q — они же изменяются во время колебаний. Для этого нам и пригодятся уравнения колебаний. Они выглядят сложно, но мы сейчас все подробно разберем:

q = qmaxcos(wt + φ0), где q — заряд на обкладке конденсатора в момент времени t (Кл); qmax — максимальный заряд на обкладке (Кл); w — циклическая частота (с-1); t — время (с); φ0 — начальная фаза (градус).

U = Umaxcos(wt + φ0), где U — напряжение на конденсаторе в момент времени t (В); Umax — максимальное напряжение на конденсаторе (В); w — циклическая частота (с-1); t — время (с); φ0 — начальная фаза (градус).

I = Imaxsin(wt + φ0), где I — силу тока в катушке в момент времени t (А); Imax — максимальная сила тока на катушке (А); w — циклическая частота (с-1); t — время (с); φ0 — начальная фаза (градус).

Смотрим на эти уравнения и понимаем, что это же уравнения гармонических колебаний.

В общем виде уравнение гармонических колебаний выглядит так: 

\(x(t) = A \cos (wt + φ_0)\), где x — координата тела в момент времени t (м); A — амплитуда колебаний (м); w — циклическая частота (с-1); t — время (с); φ0 — начальная фаза (градус).

Но колебание может начаться не с момента равновесия, а с момента, когда колебания уже происходят и направлены в обратную сторону. Возьмем маятник, рассмотрим момент, когда маятник во время движения проходит через самую нижнюю точку (момент равновесия), сдвига по фазе нет. Но, допустим, мы хотим описать ситуацию, когда маятник в правом верхнем положении или в любом другом.

Тогда нужна фаза колебаний, чтобы учесть этот момент.

Фаза колебаний — это физическая величина, определяющая отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени.

Теперь, зная уравнения колебаний, мы можем построить графики зависимости. Давайте это сделаем, чтобы еще лучше понять процесс колебаний.

Графики зависимости от времени

I₁, U₁, q₁, W₁ эл. поля — максимум тока, напряжения, заряда и энергии соответственно. 

На графике сверху мы можем увидеть косинусоидальную зависимость заряда (q) от времени. Легко запомнить cos начинается не с нуля, sin c 0.  

Через время T график будет повторяться и так с каждым графиком.

На графике зависимости напряжения (U) от времени аналогичная ситуация, как на графике с зарядом.

На графиках для энергии (W) важно заметить, что значение энергии не уходит вниз ниже нуля. Энергия не бывает отрицательной, так как пропорциональна квадрату. И как вы можете заметить, когда одна энергия максимальная, другая минимальна.

Здесь W эл.поля — энергия электрического поля, не полная энергия. 
W маг. поля — энергия магнитного поля.

График зависимости силы тока (I) от времени — синусоида — начинается с 0.

В принципе, мы знаем все в этих графиках, кроме периода (T). Как его определить? Здесь все гораздо проще, чем можно предположить. На помощь приходит формула Томсона:

\(T = 2π \sqrt{LC}\), где   T — период колебаний (с); L — индуктивность катушки (Гн); C — емкость конденсатора (Ф).

Неотрицательное значение энергии электрического и магнитного полей приводит к удивительному обстоятельству — период колебания энергии вдвое меньше периода собственных колебаний в контуре, что очевидно из графиков зависимости величин от времени. В течение одного периода колебаний в контуре энергия магнитного поля (как и электрического) достигает максимального значение дважды.

Вынужденные колебания

Вынужденные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи под действием переменной электродвижущей силы от внешнего источника.

Чтобы было понятнее, проведем аналогию с маятником. Если мы просто оттянем маятник в сторону и будем смотреть — колебания будут свободными, но если мы будем с какой-то периодичностью подталкивать маятник, то колебания уже вынужденные. То есть мы вынуждаем колебаться маятник, также и с колебательным контуром.

Возьмем источник напряжения для колебательного контура, который генерирует не постоянное напряжение, а периодически изменяющееся. Допустим, это напряжение можно описать вот так U = U₀sin(wt).

Что изменится? Почти все: период T, частота w, амплитуда A. Такую ситуацию удобно описывать, используя собственную частоту системы и вынужденную. 

Если колебания в нашей системе будут свободными, то у них будет какая-то частота w. Частота таких свободных колебаний называется собственной частотой этой системы.

Рассмотрим вынужденные колебания. Здесь уже мы говорим о двух частотах — свободной и вынужденной. 

• Вынужденная частота — это частота, с которой на самом деле происходят вынужденные колебания. 

• Свободная частота — частота, которая будет, если мы уберем внешнее периодическое воздействие на систему.

Для удобства обозначим собственную частоту за w₀, а вынужденную частоту за w.

Теперь период T и A зависят и от w₀ ,и от w.

А что будет, если частоты совпадут? Вспомните, как вы качались на качелях. Когда вы поднимались на самую большую высоту, вы перенаправляли вес в другую сторону, таким образом разгоняясь и поднимаясь все выше и выше. Собственно говоря, вы создавали вынужденные колебания. Для большего разгона на качелях надо было поймать момент, когда качели тоже начнут движение в другую сторону. 

То есть частота ваших действий w₀ и частота качели совпали. Это явление называется резонансом.

Резонанс — резкое возрастание амплитуды колебаний при w = w0 , то есть при совпадении частоты вынуждающего воздействия с собственной частотой системы.

Момент на графике, когда амплитуда резко возрастает, и есть момент резонанса.

Как ветер может обрушить мост? Если частота силы, с которой действуют на мост, совпадает с собственной частотой раскачивания моста (например, из-за ветра), то в некоторый момент мост может не выдержать нагрузки и рухнуть. Такая история уже произошла в 1940 году с Такомским мостом. К счастью, тогда никто не пострадал, а на данный момент мост уже восстановлен.

Как мы увидели в этой статье, колебания бывают не только механическими, но и связанными с электричеством. На явлении электромагнитных колебаний работают огромное количество различных устройств, в первую очередь связанных с передачей какой-либо информации или энергии.

Фактчек

• Колебательный контур — электрическая цепь, состоящая из конденсатора емкостью С, катушки индуктивностью L и резистора сопротивлением R.
• Электромагнитными колебаниями называют периодические взаимосвязанные изменения зарядов, токов, напряженности электрического и индукции магнитного полей. Распространение электромагнитных колебаний в пространстве происходит в виде электромагнитных волн. 
• \(\frac{LI^2}{2}\) — энергия магнитного поля катушки.
• \(\frac{q^2}{2C}\) — энергия электрического поля конденсатора.
• Формула Томсона: \(T = 2π \sqrt{LC}\).
• Резонанс — резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении частоты вынуждающего воздействия с собственной частотой колеблющейся системы.

Проверь себя

Задание 1.
Если колебания начинаются с полностью заряженного конденсатора, то при каком t во время свободных колебаний конденсатор в первый раз полностью разрядится:

1. \(t = \frac{1}{2}T\)
2. \(t = \frac{1}{4}T\)
3. \(t = T\)
4. \(t = \frac{3}{2}T\)

Задание 2.
Что такое фаза колебаний?

1. Это физическая величина, определяющая отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени.
2. Это физическая величина, определяющая отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в начальный момент времени.
3. Число колебаний за 2π.
4. Коэффициент, определяющий амплитуду.

Задание 3.
Какой график соответствует зависимости энергии катушки от времени, если в начальный момент времени конденсатор обладал максимальным зарядом:

Ответы: 1. — 2; 2. — 1; 3. — 4.