Трапеция

На этой странице вы узнаете

• В чем секрет одной оптической иллюзии? 
• Какие трапеции можно вписать в окружность или описать вокруг окружности? 

Уважаемые знатоки, внимание, вопрос! Каким греческим словом, обозначавшим обеденный стол, названа форма юбки и мышца в теле человека? 

Элементы трапеции

Многие уже догадались, что речь пойдет о трапеции. Рассмотрим этот частный случай многоугольников, а конкретнее — вид четырехугольников.

Поскольку это четырехугольник, мы уже можем сделать вывод, что у трапеции четыре угла и четыре стороны. Но чем тогда трапеция отличается от прямоугольника, квадрата или параллелограмма?

Трапеция — это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны друг другу. 

Начертим трапецию ABCD. Пусть АD || BC. 

В нашей трапеции AD, BC — основания трапеции (основания всегда параллельные стороны). 

AB, CD — боковые стороны трапеции (то есть непараллельные стороны). 

АС и BD — диагонали трапеции. 

Рассмотрим одно очень интересное свойство диагоналей трапеции. 

Точка пересечения диагоналей трапеции лежит на одной прямой с точкой пересечения боковых сторон трапеции и серединами оснований. 

У трапеции также есть высота, у которой есть своя особенность. 

Высота трапеции — это отрезок, соединяющий основания трапеции и перпендикулярный им. 

При этом высота может быть опущена из любой точки одного основания на другое. Из какой бы точки мы не опустили высоту, она всегда будет одной и той же длины для каждой трапеции. 

На рисунке h — высота. 

Вспомним треугольник: одним из его элементов является средняя линия. Оказывается, средняя линия бывает и у трапеции. 

Средняя линия трапеции — это линия, соединяющая середины боковых сторон трапеции. 

На рисунке MN — средняя линия трапеции АВСD. Следовательно, АМ = МВ, СN = ND. 

Средняя линия также обладает своими свойствами. 

1 свойство. Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям. 

Если MN средняя линия, то выполняется условие AD || MN || BC. 

2 свойство. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований. 

Пусть MN — средняя линия, тогда чтобы ее найти, необходимо решить следующее уравнение: \(MN = \frac{AD + BC}{2}\). 

Выведем общую формулу. Пусть m — средняя линия, a, b — основания трапеции. Тогда найти среднюю линию можно по следующей формуле. 

\(m = \frac{a + b}{2}\)

В чем секрет одной оптической иллюзии? Комната Эймса — помещение неправильной формы, в котором трапеция используется для создания оптической иллюзии. Если в комнату зайдут два наших друга примерно одинакового роста, а мы будем наблюдать за ними в замочную скважину, произойдут невероятные превращения. Наш друг, стоящий в одном углу, окажется гигантом. В то время друг, стоящий в другом углу, превратится в карлика. Иллюзия настолько убедительна, что, когда друзья решат поменяться местами, они начнут “расти” или “уменьшаться” на глазах. Секрет комнаты в том, что привычная нам прямоугольная форма помещения заменена на трапециевидную, но наш мозг этого не замечает. Этот простой эффект иногда используется при съемке фильмов и телешоу. Например, многие эпизоды фильма «Властелин Колец» снимали, создав декорации, отвечающие принципам комнаты Эймса.

Виды трапеций

Трапеций существует великое множество, но среди всего их разнообразия можно выделить три вида, которые имеют схожие признаки. Рассмотрим их. 

Равнобедренная трапеция — это трапеция, боковые стороны которой равны. 

Нам дана трапеция ABCD. Поскольку она равнобедренная, то АВ = CD. 

Рассмотрим свойства равнобедренной трапеции. 

1 свойство. Углы при основании равнобедренной трапеции равны. 

То есть ∠BAD = ∠BCD, ∠ABC = ∠BCD. 

2 свойство. В равнобедренной трапеции диагонали равны. 

3 свойство. В равнобедренной трапеции диагонали образуют равные углы с каждым основанием. 

Рассмотрим трапецию ABCD. В ней будет выполняться равенство ∠ACB = ∠CAD = ∠BDA = ∠DBC

Прямоугольная трапеция — это трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. 

Например, в прямоугольной трапеции ABCD AB \(\perp\) BC и AB \(\perp\)AD. 

Рассмотрим свойства прямоугольной трапеции. 

1 свойство. Два угла в прямоугольной трапеции равны 90⁰. 

2 свойство. Высота трапеции совпадает с боковой стороной, которая перпендикулярна основаниям. 

В трапеции ABCD за высоту можно принять сторону АВ. 

Свойства трапеции

Для решения задач могут пригодиться свойства трапеции. Они могут упростить доказательство или сократить вычисления. 

Пока не доказано, неважно, что сказано: доказываем некоторые свойства трапеции. Ниже приведены доказательства к некоторым свойствам трапеции. Их можно использовать в решении задач, чтобы вывести нужные величины. 

Рассмотрим их. 

1 свойство. Сумма углов, которые прилежат к одной боковой стороне, равняется 180. 

Попробуем разобраться, почему это так. Вспомним углы при параллельных прямых и секущей, в нашем случае параллельные прямые — основания, а секущие — боковые стороны. Подробнее про углы при параллельных прямых можно прочесть в статье «Точка, прямая, луч, отрезок и угол».

Углы ABC и BAD, а также углы BCD и ADC — односторонние углы при параллельных прямых, а следовательно, их сумма равняется 180 °. 

Получаем, что ∠ABC + ∠BAD = ∠BCD + ∠ADC = 180⁰.

2 свойство. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник. 

Докажем это. Проведем в трапеции ABCD биссектрису DE.

Пусть угол ADC равняется 2a. Поскольку DE — биссектриса, то ∠EDA = ∠EDC = a. 

Рассмотрим углы ADE и DEC. Это накрест-лежащие углы при параллельных прямых, а значит выполняется равенство ∠DEC = ∠ADE = a = ∠EDC. В равнобедренном треугольнике углы при основании  равны, следовательно, ЕС = CD. 

3 свойство. Треугольники, которые образованы диагоналями трапеции и основаниями, подобны. 

Докажем это. Углы AOD и BOC — вертикальные, а следовательно, они равны между собой. Углы CAD и ACB — накрест-лежащие при параллельных прямых, а следовательно, они равны между собой. Таким образом, мы получаем, что треугольник ВОС подобен треугольнику AOD по двум углам. 

4 свойство. Треугольники, образованные диагоналями трапеции и боковыми сторонами, имеют равную площадь. 

Докажем это. В этот раз доказательство будет чуть объемнее. 

В доказательстве к третьему свойству трапеции мы установили, что треугольники BOC и AOD — подобные. Следовательно, выполняются отношения \(\frac{CO}{OA} = \frac{BO}{OD}\). Немного преобразуем равенство: CO * OD = OA * BO. 

Теперь рассмотрим углы АОВ и COD — вертикальные, следовательно, они равны между собой. Синусы равных углов также равны, следовательно, sin ∠AOB = sin ∠COD. 

Найдем площади треугольников АОВ и COD, для этого воспользуемся формулой \(S = \frac{1}{2} * a * b * \sin a\). 

\(S_{AOB} = \frac{1}{2} * OB * AO * \sin \angle AOB\)
\(S_{COD} = \frac{1}{2} * CO * OD * \sin \angle COD\)

Таким образом, мы можем сделать вывод, что S_AOB = S_COD. 

Вписанная и описанная трапеция

Вписанная в окружность трапеция — это трапеция, все вершины которой лежат на окружности. 

Какие трапеции можно вписать в окружность или описать вокруг окружности? Вспомним, что в трапецию можно вписать только тот четырехугольник, в котором сумма противоположных углов равняется 180°. Для трапеций это условие выполняется только в том случае, если трапеция равнобедренная.  Описать окружность можно только вокруг трапеции, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.

Следовательно, в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию. 

Однако это свойство работает и в обратную сторону: если в окружность вписана трапеция, то она обязательно будет равнобедренной. 

Есть три варианта, где будет лежать центр окружности. Рассмотрим их. 

1. Центр окружности будет лежать “внутри трапеции”, если диагональ образует с боковой стороной острый угол. 

2. Центр окружности будет лежать на большем основании, если диагональ образует с боковой стороной прямой угол. 

3. Центр окружности будет лежать “вне” трапеции, если диагональ образует с боковой стороной тупой угол. 

Описанная вокруг окружности трапеция — это трапеция, все стороны которой являются касательными к окружности. 

Вспомним, что окружность можно вписать в четырехугольник только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. Следовательно, в трапецию можно вписать окружность только в том случае, если сумма оснований равна сумме боковых сторон. 

Также важно заметить, что в описанной трапеции высота будет равна диаметру окружности. 

Подведем итог   В окружность можно вписать только равнобедренную трапецию.  Описать окружность можно только вокруг трапеции, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.

Основные формулы для трапеции

Ниже приведена таблица с основными формулами для решения задач с трапециями. Эти формулы обязательно знать, поскольку с их помощью можно решить большинство задач, в которых встречается трапеция. 

Фактчек

• Трапеция — это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие нет. Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. 
• Средняя линия трапеции проходит через середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна их полусумме. 
• Трапеции бывают произвольными, равнобедренными и прямоугольными. У равнобедренных трапеций боковые стороны равны. У прямоугольных трапеций одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. 
• В окружность можно вписать только равнобедренную трапецию. Вписать окружность в трапецию можно только в том случае, если сумма боковых сторон равна сумме оснований. 

Проверь себя

Задание 1. 
Какие бывают виды трапеций?

1. Трапеции не делятся на виды.
2. Только прямоугольные.
3. Прямоугольные и равнобедренные.
4. Произвольные, прямоугольные и равнобедренные. 

Задание 2. 
Основания трапеции равны 13 и 3. Чему равна средняя линия трапеции? 

1. 16
2. 7,5
3. 1,5
4. 8

Задание 3. 
В трапецию вписана окружность. Сумма боковых сторон равна 20. Чему равна средняя линия трапеции? 

1. 10
2. 20
3. 5
4. 40

Задание 4.
В трапецию вписана окружность. Сумма оснований равна 15. Чему равен периметр трапеции? 

1. 15
2. 7,5
3. 45
4. 30 

Задание 5. 
Средняя линия трапеции равна 4, высота равна 7. Найдите площадь трапеции. 

1. 14
2. 28
3. 32
4. 7

Ответы: 1. — 4 2. — 4 3. — 1 4. — 4 5. — 2