Умскул учебник стремится стать лучше! Если вы наткнулись на ошибку или неточность в нашем материале - просто сообщите нам, мы будем благодарны!
Математика

Элементы треугольника

26.11.2022
9279

На этой странице вы узнаете

  • Фокус с пилой и ящиком: что может «распилить» сторону треугольника пополам?  
  • Слышите писк? Где-то бегает крыса! Что она делает?
  • «Ортоцентр» — это что-то из медицины?

Может ли упасть треугольник? Если пофантазировать, что он стоит на одном из углов — вполне возможно. А может ли упасть высота треугольника и куда? Ответ на этот вопрос мы спрятали в статье.

Медиана

Нельзя рассматривать тему треугольников и не затронуть такие понятия, как медиана, биссектриса, высота и средняя линия. Большая часть свойств треугольников связаны с этими элементами.

Медиана — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. 

На рисунке медианой будет отрезок АМ. 

Фокус с пилой и ящиком: что может «распилить» сторону треугольника пополам?

Математики иногда любят пошалить. И фокусы тоже любят.
Например, знаменитый трюк с распиливанием человека можно повторить на треугольнике. Для этого даже есть специальная пила — медиана.

Медиана обладает важными свойствами, которые могут пригодиться для решения задач. 

Свойство 1. Если в треугольнике провести три медианы, то они пересекутся в одной точке. На рисунке это точка О (рисунок к свойству 2).

Свойство 2. Точкой пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины. 

Следовательно, выполняется равенство AO : OM = BO : OL = CO : OK = 2 : 1. 

Свойство 3. Медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника. 

Докажем это. Проведем медиану АМ и высоту АН. Поскольку медиана делит сторону пополам, то ВМ = МС. 
Забегая вперед, скажем, что площадь треугольника равняется \(\frac{1}{2}ah\), где а — основание, h — высота, проведенная к основанию. Найдем площади треугольников ВАМ и МАС:
\(S_{BAM} = \frac{1}{2} * BM * AH\)
\(S_{MAC} = \frac{1}{2} * MC * AH\)
Поскольку ВМ = МС, то SBAM = SMAC.

Свойство 4. Если в треугольнике проведены все три медианы, то они делят треугольник на шесть равновеликих треугольников. 

Равновеликие треугольники — это треугольники, площадь которых равна. 

Докажем это. Найдем площадь \(S_{BOK} = \frac{1}{2} * OK * BH\). Вспомним, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, следовательно, СО:ОК = 2:1, откуда получаем, что \(OK = \frac{CK}{3}\). 

Подставим полученное значение в формулу площади: \(S_{BOK} = \frac{1}{2} * \frac{1}{3} * CK * BH 

Рассмотрим площадь треугольника ВКС: \(S_{BKC} = \frac{1}{2} * KC * BH\). Следовательно, мы можем представить площадь треугольника ВОК как \(S_{BOK} = \frac{1}{3}S_{BKC}\). 

Теперь нужно вспомнить предыдущее свойство, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, следовательно, \(S_{BKC} = \frac{S_{BAC}}{2}\). Тогда \(S_{BOK} = \frac{S_{BKC}}{6}\). 

Аналогично можно найти площадь остальных пяти треугольников. 

Чтобы найти длину медианы, можно воспользоваться следующей формулой.

\(m_c = \frac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 — c^2}}{2}\)

Очень важно следить за тем, как подставлять длины сторон в формулу. Запись mc означает, что медиана проведена к стороне треугольника с

Найдем по формуле длину медианы АМ: 

\(AM = \frac{\sqrt{2AB^2+ 2AC^2 — BC^2}}{2}\) 

Биссектриса треугольника

Биссектриса угла — это луч, который делит угол пополам. 

На рисунке проведена биссектриса угла АЕ, тогда ∠BAE = ∠CAE. 

Биссектриса треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне и который делит угол треугольника пополам. 

Слышите писк? Где-то бегает крыса! Что она делает? 

«Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам». Этот забавный  стишок поможет запомнить свойство биссектрисы. 

На рисунке АЕ — биссектриса. 

Рассмотрим свойства биссектрисы. 

Свойство 1. Если в треугольнике провести три биссектрисы, то они пересекутся в одной точке. На рисунке это точка О (рисунок к свойству 2). 

Свойство 2. Точка пересечения биссектрис треугольника — это центр вписанной в треугольник окружности. 

Свойство 3. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны. 

Вспомним, что сумма смежных углов равна 180° . Пусть угол АВС равен 2x, а угол CBD равен 2y. Биссектрисы делят их на два угла величиной х и у

Тогда угол, образованный биссектрисами, будет равен х + у. Найдем, чему будет равняться это выражение. 

2х + 2у = 180°
2(х + у) = 180°
х + у = 90°

Следовательно, утверждение выполняется. 

4 свойство. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам. 

Пусть АЕ — биссектриса, тогда можно составить уравнение \(\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}\). 

Высота треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины на сторону треугольника. 

Перпендикуляры встречаются очень часто в нашей жизни. Достаточно посмотреть на пол и стены в комнате: они будут перпендикулярны друг другу. 

А чтобы было чуть легче запомнить, что такое высота, представь, что в чуме достроили вертикальную стену. Тогда эта стена будет перпендикулярна земле. 

Пусть АН — высота, тогда ∠АНВ = ∠АНС = 90°.

Перпендикуляры не всегда могут упасть на сторону треугольника, бывает, что высота падает на продолжение стороны. Поэтому важно знать, куда падает высота в разных треугольниках. 

  • В остроугольном треугольнике все высоты будут падать на стороны треугольника. То есть все высоты будут лежать «внутри» треугольника. 
  • В прямоугольном треугольнике две высоты будут совпадать со сторонами (и тем самым образуют прямой угол). Третья высота будет лежать «внутри» треугольника. 
  • В тупоугольном треугольнике две высоты (проведенные из вершин острых углов) будут лежать за пределами треугольника, а высота, проведенная из тупого угла, будет лежать «внутри» треугольника. 
«Ортоцентр» — это что-то из медицины?

Мы часто слышим такие специальности врачей как ортопед и ортодонт, иногда даже посещаем их. Может показаться, что ортоцентр — это какой-то особенный медицинский центр.

На самом деле, приставка орто- означает «правильный» или «прямой». У треугольника есть «правильный» центр (точка), где пересекаются высоты треугольника. Такая точка и будет называться ортоцентром треугольника. 

Важно помнить, что:
— В остроугольном треугольнике ортоцентр будет лежать «внутри» треугольника.
— В прямоугольном треугольнике ортоцентр будет совпадать с вершиной прямого угла треугольника. 
— В тупоугольном треугольнике ортоцентр будет лежать «снаружи» треугольника. 

Средняя линия треугольника

В теме треугольник нельзя не упомянуть про среднюю линию треугольника. 

Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон. 

Пусть M, N — середины сторон АВ и АС, тогда MN — средняя линия. 

Средняя линия обладает важными свойствами

1 свойство. Средняя линия параллельна стороне, которую она не пересекает и равна ее половине. 

2 свойство. Средняя линия образует подобный треугольник, который в два раза меньше исходного. Получаем, что ABC ~ AMN. 

Доказать подобие можно по двум углам: угол А — общий, углы В и М, а также С и N равны как соответственные углы при параллельных прямых (см. предыдущий рисунок). 

3 свойство. Если провести в треугольнике три средних линии, то они образуют 4 равных треугольника, которые подобны исходному и в два раза меньше его. 

Тогда получаем, что  AMN = BME = EMN = ENC, при этом ABC ~ AMN. 

Четыре замечательные точки треугольника

Для треугольника существует понятие «замечательной точки». Такими точками называют те, в которых пересекаются элементы треугольника. Всего их четыре:

  1. точка пересечения медиан;
  2. точка пересечения биссектрис;
  3. точка пересечения высот;
  4. точка пересечения серединных перпендикуляров.

Три из них мы уже рассмотрели, осталась лишь точка пересечения серединных перпендикуляров. 

Серединный перпендикуляр – это прямая, перпендикулярная стороне треугольника и проходящая через ее середину. 

Серединные перпендикуляры, а также точка, образованная их пересечением, очень тесно связаны с окружностью. Подробнее про них можно узнать в статье «Вписанная и описанная окружности»

Фактчек

  • Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении 2:1, считая от вершины. 
  • Биссектриса треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делит угол треугольника пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности. 
  • Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на его сторону. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника. 
  • Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине. 

Проверь себя

Задание 1. 
В треугольнике начертили три медианы. Длина отрезка одной из них от вершины до точки пересечения медиан равняется 8. Чему равна эта медиана?

  1. 4
  2. 8
  3. 12
  4. 16 

Задание 2. 
Проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника. Биссектриса внутреннего угла делит его на два угла по 30 градусов. Чему равен внешний угол треугольника?

  1. 90°
  2. 60°
  3. 120°
  4. 180°

Задание 3. 
Где будет лежать ортоцентр тупоугольного треугольника?

  1. «Внутри» треугольника.
  2. «Снаружи» треугольника.
  3. Ортоцентр будет совпадать с одной из вершин.
  4. В тупоугольном треугольнике нет ортоцентра. 

Задание 4. 
Средняя линия делит стороны треугольника a и b пополам и равняется 15. Чему равна сторона c?

  1. 15
  2. 30
  3. 7,5
  4. 225

Задание 5. 
Средняя линия отсекает треугольник, площадь которого равна 6. Чему равна площадь всего треугольника, в котором проведена средняя линия? 

  1. 24
  2. 12
  3. 6
  4. 3

Ответы: 1. — 3; 2. — 3; 3. — 2; 4. — 2; 5. — 1.

Понравилась статья? Оцени:
Читайте также:

Читать статьи — хорошо, а готовиться к экзаменам
в самой крупной онлайн-школе — еще эффективнее.

50 000
Количество
учеников
1510
Количество
стобальников
>15000
Сдали на 90+
баллов