Умскул учебник стремится стать лучше! Если вы наткнулись на ошибку или неточность в нашем материале - просто сообщите нам, мы будем благодарны!
Математика

Вписанная и описанная окружности. Основные формулы треугольника

28.11.2022
16822

На этой странице вы узнаете

  • Чем отличается медиана и серединный перпендикуляр? 
  • Еще больше теорем! В чем заключаются теоремы синусов и косинусов? 

Казалось бы, окружность и треугольник — совершенно разные фигуры. Могут ли они как-то пересекаться или взаимодействовать друг с другом? А вдруг у них есть свои личные секреты, которые мы можем узнать? Ответы на эти вопросы ждут вас в статье.

Вписанная и описанная окружности

Чуть подробнее рассмотрим, как окружности могут взаимодействовать с треугольником. 

Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все вершины треугольника. 

Центр такой окружности равноудален от вершин треугольника. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров треугольника. 

Представим, что в центре окружности стоит именинник, а вокруг него водят хоровод три человека. Поскольку они держатся за вытянутые руки, то они будут на одинаковом расстоянии от именинника. Таким образом, именинник — центр окружности, а его друзья — вершины треугольника. 

Серединный перпендикуляр — это перпендикуляр, проведенный к середине стороны треугольника. 

Вспомним строительный уголок. Серединный перпендикуляр и будет этим уголком, который приложен к центру стороны треугольника. 

Точка пересечения серединных перпендикуляров будет лежать:

  • В остроугольном треугольнике «внутри» треугольника.
  • В прямоугольном треугольнике на середине гипотенузы.
  • В тупоугольном треугольнике за пределами треугольника. 
Чем отличается медиана и серединный перпендикуляр? 

Серединный перпендикуляр — это перпендикуляр, проведенный к середине стороны треугольника. 

Важно заметить, что это не медиана, поскольку медиана — это просто отрезок, проведенный из вершины треугольника к середине стороны, при этом этот отрезок не обязательно будет перпендикулярен этой стороне. 
Важно запомнить, что вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Также в любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. 

Вписанная и описанная окружности активно участвуют в свойствах треугольника. На окружностях строятся несколько важных теорем, а также их радиусы часто встречаются в формулах треугольника.

Благодаря свойствам углов и касательных, вписанная и описанная окружности могут стать незаменимым инструментом в решении сложных задач. Подробнее про касательные и углы в окружности можно прочесть в статьях «Касание к окружности» и «Окружность и круг».

Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон треугольника. 

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника. 

Основные теоремы 

Рассмотрим еще две интересные теоремы, которые можно применить в треугольнике. 

Теорема синусов:
Отношения сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны. 

В теореме синусов выполняется следующее равенство: 

\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\). 

Также теорему синусов можно связать и с описанной окружностью: отношение сторон к синусам углов будет равно двум радиусам: 

\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\).

Теорема косинусов:
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. 
\(c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cos C\)

Теорему косинусов можно составить для любой стороны в треугольнике. 

Еще больше теорем! В чем заключаются теоремы синусов и косинусов?

Вспомним, что чем больше угол треугольника, тем больше противолежащая ему сторона. Теорема синусов не только иллюстрирует это, но и позволяет нам найти численное значение этих отношений.

Почему теорема синусов будет иллюстрировать это свойство треугольника? Заметим, что чем больше угол, тем большее значение будет принимать его синус. Например, синус 30° равен 0,5, а синус 45° примерно равен 0,7. Получим отношение \(\frac{a}{0,5} = \frac{b}{0,7}\). 

Теперь вопрос: что будет больше, а или b? Разумеется, b. Таким образом, получаем, что чем больше сторона, тем больше угол напротив нее. 

А с помощью теоремы синусов можно еще и найти неизвестные нам стороны, углы или радиус описанной окружности.  

Для чего можно применить теорему косинусов? Чтобы найти сторону треугольника через две другие. 

В прямоугольном треугольнике мы можем для этого воспользоваться теоремой Пифагора. А что делать с произвольными треугольниками? И тут к нам приходит теорема косинусов: для нее нам нужно знать только две стороны треугольника и угол между ними. 

Кстати, теорема Пифагора совпадает с теоремой косинусов. Пусть а, b — катеты, с — гипотенуза. Напротив гипотенузы лежит прямой угол, а значит, мы можем использовать теорему косинусов:

\(c^2 = a^2 + b^2 — 2 * a * b* \cos 90^о = a^2 + b^2 — 2 * a * b * 0 = a^2 + b^2\)

Основные формулы

Ниже приведена таблица со всеми основными формулами, которые могут пригодиться для решения задач. Важно знать их наизусть. 

ФормулаОбозначения
P = a + b + c
\(p = \frac{a + b + c}{2}\)
P — периметр;
p — полупериметр;
a, b, c — стороны треугольника.
\(S = \frac{1}{2}ah\)
\(S = \frac{1}{2}ab \sin \alpha \)
\(S = pr\)
\(S = \frac{abc}{4R}\)
\(S = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)}\)

Для равностороннего треугольника:
\(S = \frac{\sqrt{3}a^2}{4}\)
S — площадь;
a, b, c — стороны треугольника;
h — высота;
p — полупериметр;
r — радиус вписанной окружности;
R — радиус описанной окружности.
\(m_c = \frac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 — c^2}}{2}\)mc — медиана;
a, b, c — стороны.
В равностороннем треугольнике
\(h = \frac{a \sqrt{3}}{2}\)
\(R = \frac{a \sqrt{3}}{3}\)
\(r = \frac{a \sqrt{3}}{6}\)
\(R = 2r\)
h — высота;
a — сторона равностороннего треугольника;
R — радиус описанной окружности;
r — радиус вписанной окружности. 
Теорема Пифагора:
\(c^2 = a^2 + b^2\)
c — гипотенуза;
a, b — катеты. 
Теорема синусов:
\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\)
a, b, c — стороны;
A, B, C — углы треугольника;
R — радиус описанной окружности.
Теорема косинусов:
\(c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cos C\)
a, b, c — стороны;
C — угол треугольника.

Фактчек

  • Любой треугольник можно вписать в окружность, а также описать вокруг него окружность. Центр вписанной окружности будет лежать на пересечении биссектрис, центр описанной окружности будет лежать на пересечении серединных перпендикуляров (ортоцентре). 
  • Теорема синусов гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны. Также эти отношения можно приравнять к удвоенному радиусу. 
  • С помощью теоремы косинусов можно найти любую сторону треугольника. Теорема косинусов гласит, что квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. 
  • Для решения задач необходимо хорошо знать и свободно владеть основными формулами.

Проверь себя

Задание 1. 
В какой точке лежит центр описанной окружности треугольника?

  1. в точке пересечения биссектрис
  2. в точке пересечения высот
  3. в точке пересечения медиан
  4. в точке пересечения серединных перпендикуляров 

Задание 2. 
В какой точке лежит центр вписанной окружности треугольника?

  1. в точке пересечения биссектрис
  2. в точке пересечения высот
  3. в точке пересечения медиан
  4. в точке пересечения серединных перпендикуляров 

Задание 3. 
Где будет лежать точка пересечения серединных перпендикуляров в прямоугольном треугольнике?

  1. «внутри» треугольника
  2. «снаружи» треугольника
  3. на середине гипотенузы
  4. на середине одного из катетов 

Задание 4. 
Периметр треугольника равен 8, а радиус вписанной окружности равен 4. Чему равна площадь этого треугольника?

  1. 32
  2. 16
  3. 2
  4. 64

Задание 5. 
Площадь треугольника равна 30, основание равно 12. Чему равна высота треугольника, проведенная к этому основанию? 

  1. 5
  2. 2,5
  3. 10
  4. 6

Ответы: 1. — 4; 2. — 1; 3. — 3; 4. — 2; 5. — 1.

Понравилась статья? Оцени:
Читайте также:

Читать статьи — хорошо, а готовиться к экзаменам
в самой крупной онлайн-школе — еще эффективнее.

50 000
Количество
учеников
1510
Количество
стобальников
>15000
Сдали на 90+
баллов