Параллелограмм. Часть 2

На этой странице вы узнаете

• Гибридом чего является квадрат?
• Как связаны ромб и бубны? 
• Правда ли «Черный квадрат» Малевича — квадрат?

Продолжаем наше изучение четырехугольников. В прошлой статье мы разобрали параллелограмм и прямоугольник, а в этой разберем два новых четырехугольника: ромб и квадрат. 

Ромб

Начинаем с ромба. Пожалуй, это самая неустойчивая фигура.

Ромб – это тоже параллелограмм, но у которого все стороны равны. 

Как думаете, где можно увидеть ромб в реальной жизни? Например, ромб можно увидеть на знаке машины «Митсубиси», их там целых три.

• 

• 

Ромб, как мы уже отметили, тоже является частным случаем параллелограмма и обладает его признаками и свойствами, но имеет и собственные.

Все о ромбе

Признаки ромба

1. Две смежные стороны параллелограмма равны.
2. Диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Диагональ параллелограмма делит каждый угол пополам.
4. Четырехугольник, у которого все стороны равны.

Как связаны ромб и бубны?  Термин «ромб» произошел от греческого ῥόμβος, что переводится как «бубен». Раньше бубны как раз делали в форме квадрата или ромба, поэтому и название масти в карточных играх «бубны», а не какое-то другое.

Свойства ромба

1. Все стороны равны.

2. Диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам.

3. Диагонали являются биссектрисами.

4. Высоты в ромбе равны.

Для нахождения площади ромба есть три разные формулы.

1. Площадь ромба равна произведению стороны и высоты ромба.

2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

3. Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла ромба.

С теорией по ромбу разобрались, давайте теперь отработаем ее на примере.

Решим задание, которое может встретиться на ЕГЭ по профильной математике в задании №1.

Задание. Найдите площадь ромба, если его высота равна 4, а острый угол 30°.

Решение. Как мы и разбирали, площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус его угла. Была еще одна формула, по которой площадь ромба равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Распишем это:

\(a^2*sin()=a*h\)
\(a^2*sin(30°)=4*a\)
\(\frac{1}{2}*a^2=4a\)
\(a=8\)

Раз \(a = 8\), то площадь:

\(S=8*4=32\)

Ответ: 32

Теперь, когда мы разобралась с ромбом, можем переходить к последней фигуре — квадрату.

Квадрат

В отличие от ромба, квадрат наоборот достаточно устойчив.

Квадрат – это четырехугольник, у которого все углы и стороны равны. 

Гибридом чего является квадрат? Нечто, сочетающее в себе разнородные элементы, называют гибридом.  Если внимательно посмотреть на определение, то можно заметить, что квадрат объединяет в себе и параллелограмм, и прямоугольник, и ромб.

В реальной жизни квадратом может быть крышка подарочной коробки или окно.

• 

• 

Рассмотрим признаки и свойства данной фигуры.

Все о квадрате

Признаки квадрата

1. Ромб, у которого хотя бы один угол прямой.
2. Ромб, у которого все углы равны.
3. Ромб, у которого диагонали равны.
4. Четырехугольник, диагонали которого равны и перпендикулярны.

Свойства квадрата

1. Диагональ квадрата равна \(\sqrt{2}\) стороны квадрата. Это доказывается с помощью теоремы Пифагора.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. В нем AC — гипотенуза, обозначим ее как c. AB и BC — катеты, обозначим их через a и b соответственно. Но так как это квадрат, то a = b. Перейдем к самой теореме Пифагора:

\(c^2=a^2+a^2\)
\(c^2=2a^2\)
\(c=\sqrt{2a^2}\)
\(c=\sqrt{2a}\)

2. Диагонали делят квадрат на четыре равных треугольника.

Биссектрисой квадрата, как и у ромба, является диагональ.

Теперь рассмотрим формулы для нахождения площади квадрата.

1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

2. Площадь квадрата равна половине квадрата диагонали.

Правда ли «Черный квадрат» Малевича — квадрат? Спойлер: нет. На картине изображен черный четырехугольник, у которого ни одна из сторон не параллельна другой. Получается, что этот четырехугольник не квадрат.

Ну и в заключении этой темы решим пример.

Решим задание, которое может встретиться на ЕГЭ по профильной математике в задании №1.

Задание. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 2.

Решение. Мы уже разбирали, что площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали. Распишем это уравнение и подставим значение:

\(S=\frac{1}{2}AC^2\)
\(S=\frac{1}{2}(2)^2=2\)

Ответ: 2

На этом мы закончим наше изучение четырехугольников. Но не закончим подготовку к экзаменам! Встретимся с вами в статье «Действия с натуральными числами».

Фактчек

• Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
• Из интересного у ромба: все стороны равны, диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам, а также они являются биссектрисами. Еще у ромба равны и высоты.
• Квадрат – это четырехугольник, у которого все углы и стороны равны.
• Диагонали квадрата делят его на 4 равных треугольника.

Проверь себя

Задание 1.
Найдите площадь ромба, если его диагонали 6 и 10.

1. 30
2. 60
3. 15
4. 25

Задание 2.
Найдите площадь квадрата, если его диагональ 4.

1. 64
2. 32
3. 16
4. 8

Задание 3.
Какая фигура является гибридом квадрата, прямоугольника и ромба?

1. Треугольник
2. Окружность
3. Квадрат
4. Трапеция

Задание 4.
У четырехугольника стороны равны, но углы не равны 90°. Что это за фигура?

1. Квадрат
2. Ромб
3. Прямоугольник
4. Параллелограмм

Ответы: 1. – 1; 2. – 4; 3. – 3; 4. – 2.