Параллелограмм
На этой странице вы узнаете
- Чем отличаются признаки от свойств?
- Сколько крыс у биссектрисы?
- Гибридом чего будет квадрат?
Когда мы видим изображение с множеством деталей, наш мозг автоматически раскладывает их на простые фигуры. Этот процесс занимает доли секунды. Разные геометрические фигуры вызывают у нас разные ощущения, эмоции и ассоциации.А что будет, если мы задержим взгляд на одной из них и разберем подробнее? Давайте сделаем так с параллелограммом.
Параллелограмм
Параллелограмм – это четырёхугольник, чьи стороны попарно параллельны и равны.

Параллелограмм мы видим достаточно часто.


Признаки параллелограмма
У параллелограмма есть три основных признака. Если для четырехугольника выполняется хотя бы один из признаков, такой четырехугольник можно называть параллелограммом.
Признаки параллелограмма:
- Две противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны.

- Противоположные стороны четырехугольника попарно равны.

- Диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Свойства параллелограмма
Чем отличаются признаки от свойств? Свойства нельзя путать с признаками, хоть они и очень похожи. Свойствами параллелограмма обладает фигура, уже являющаяся параллелограммом, тогда как признаки предназначены для выявления параллелограммов среди четырехугольников. |
Свойства параллелограмма:
- Противолежащие стороны равны.

- Противолежащие стороны параллельны.

- Противолежащие углы равны.

- Сумма всех углов 3600.

- Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

- Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 1800.

- Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.

- Диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника с одинаковой площадью.

- Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника

Биссектриса в параллелограмме
Можно ли провести биссектрису в параллелограмме? Да. Биссектриса параллелограмма – это луч, исходящий из вершины угла параллелограмма, делящий этот угол на два равных угла и пересекающий одну из сторон параллелограмма.

Сколько крыс у биссектрисы? Значение биссектрисы легко запомнить, используя фразу “Биссектриса – это крыса, она бегает по углам и делит угол пополам”. ![]() Так как у треугольника три угла – соответственно, и крыс-биссектрис тоже три. |
Два факта связанные с биссектрисой в параллелограмме:
- Биссектриса, проведенная из угла параллелограмма, отсекает от него равнобедренный треугольник.

- Биссектрисы углов, принадлежащих одной стороне параллелограмма, пересекаются под прямым углом.

Площадь параллелограмма
Есть три формулы площади параллелограмма, которые применяются в зависимости от известных величин
- Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

- Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними.

- Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

Прямоугольник
Как параллелограмм связан с прямоугольником?
Прямоугольник – это параллелограмм, углы которого по 900.
Данную фигуру часто называют частным случаем параллелограмма. Из этого следует, что для прямоугольника применимы те же признаки и свойства, что для параллелограмма, но и имеется ряд собственных.

В жизни прямоугольником можно назвать дверь, картину или фотографию:
Признаки прямоугольника
- Параллелограмм, имеющий хотя бы один прямой угол.

- Параллелограмм, все углы которого равны.

- Параллелограмм, диагонали которого равны.

- Четырехугольник, у которого три прямых угла.

Свойства прямоугольника
- Все углы прямые.

- Диагонали равны.

- Стороны прямоугольника одновременно являются и его высотами.
- Сумма квадратов двух прилежащих сторон равна квадрату диагонали.

Биссектриса и площадь прямоугольника
Биссектриса делит угол прямоугольника на два угла по 450 и пересекает одну из сторон прямоугольника.

Теперь рассмотрим два способа нахождения площади прямоугольника:
- Площадь прямоугольника равна произведению двух соседних сторон.

- Площадь прямоугольника равна половине произведения квадрата диагонали на синус угла между диагоналями.

Ромб
Пожалуй, это самая неустойчивая фигура.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Ромб можно увидеть на знаке машины “Митсубиси”, их там целых три.

А также в игровых наградах:

Также является частным случаем параллелограмма и обладает его признаками и свойствами, но имеет и собственные.
Всё о ромбе
Признаки ромба:
- Две смежные стороны параллелограмма равны.
- Диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом.
- Диагональ параллелограмма делит каждый угол пополам.
- Четырехугольник, у которого все стороны равны.
Свойства ромба:
- Все стороны равны.

- Диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам.

- Диагонали являются биссектрисами.

- Высоты в ромбе равны.

Как уже отмечено в свойствах ромба, биссектрисой ромба является диагональ.
Как найти площадь ромба?
Для нахождения площади ромба есть три разные формулы:
- Площадь ромба равна произведению стороны и высоты ромба.

- Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

- Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла ромба.

Квадрат
А вот квадрат, наоборот, достаточно устойчив.

Квадрат – это четырехугольник, у которого все углы и стороны равны.
Гибридом чего будет квадрат? Если внимательно посмотреть на определение, то можно заметить, что квадрат объединяет в себе и параллелограмм, и прямоугольник, и ромб. Нечто, сочетающее в себе разнородные элементы, называют гибридом. Квадрат будет иметь все признаки и свойства родительских фигур:параллелограмма, прямоугольника и ромба. |

Квадратом может быть крышка подарочной коробки или окно.


Рассмотрим признаки и свойства данной фигуры.
Всё о квадрате
Признаки квадрата:
- Ромб, у которого хотя бы один угол прямой.
- Ромб, у которого все углы равны.
- Ромб, у которого диагонали равны.
- Четырехугольник, диагонали которого равны и перпендикулярны.
Свойства квадрата:
- Диагональ квадрата равна 2 стороны квадрата.

- Диагонали делят квадрат на четыре равных треугольника.

Биссектрисой квадрата, как и у ромба, является диагональ.
Рассмотрим формулы для нахождения площади квадрата:
- Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

- Площадь квадрата равна половине квадрата диагонали.

Фактчек
- Параллелограмм – это четырёхугольник, чьи стороны попарно параллельны и равны.
- Прямоугольник – это параллелограмм, углы которого по 900 и диагонали которого равны.
- Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны, а также диагонали перпендикулярны друг другу
- Квадрат – это четырехугольник, у которого все углы и стороны равны. Квадрат является гибридом параллелограмма, прямоугольника и ромба.
Проверь себя
Задание 1.
Найдите площадь параллелограмма, если его стороны 5 и 8, а угол между ними 300
- 40
- 20
- 10
- 25
Задание 2.
Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ 12, а угол между диагоналями 600
- 83
- 6
- 63
- 4
Задание 3.
Найдите площадь ромба, если его диагонали 6 и 10
- 30
- 60
- 15
- 25
Задание 4.
У четырехугольника диагонали пересекаются под углом 300, а его стороны попарно параллельны и равны. Что это за фигура?
- Квадрат
- Ромб
- Прямоугольник
- Параллелограмм
Задание 5.
У четырехугольника две противоположные стороны параллельны и равны и есть один прямой угол. Что это за фигура?
- Квадрат
- Ромб
- Прямоугольник
- Параллелограмм
Ответы: 1. – 2; 2. – 3; 3. – 1; 4. – 4; 5. – 3