Умскул учебник стремится стать лучше! Если вы наткнулись на ошибку или неточность в нашем материале - просто сообщите нам, мы будем благодарны!
Математика

Логарифмические уравнения и неравенства

1.5.2022
6520

На этой странице вы узнаете:

  • Кручу, верчу, запутать хочу. Что можно сделать с логарифмами, не навредив себе?
  • Как быстро избавиться от логарифмов c одинаковым основанием?
  • Как не попасть в аварию в погоне за результатом??

Математики иногда скучают?! 

Иначе как объяснить то, что для понимания этой пугающей многих учеников темы, нужно запомнить единственный факт:

Степень и логарифм —  разная запись одного и того же математического события.

Понятие логарифма

Логарифм отвечает на вопрос: “В какую степень возвести число a, чтобы получилось число b ?”

Например: log2 4 = 2, так как  22=4 . 

Вот и всё!

Если понятие “степень” всё ещё звучит устрашающе, мы написали статью “Действия с натуральными числами”.

Что же такое логарифм во вселенной математики?

Логарифм — это число, в которое нужно возвести основание a, чтобы получить число b.

Элементы логарифма:

Существуют такие понятия, как десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте их рассмотрим.

Десятичный логарифм – это логарифм числа по основанию 10. 

Записывается это следующим образом

В случае с десятичным алгоритмом перед нами стоит задача понять, в какую степень возвести 10, чтобы получить нужное нам число.

Натуральный логарифм – это логарифм по основанию е (e ≈ 2,7). 

Записывается это следующим образом

У натурального логарифма в основании стоит число e, которое называется числом Эйлера. Число e играет важную роль во многих разделах математики.

Нельзя обходить такую важную тему, как логарифмы, стороной. Они часто встречаются в заданиях 12 и 14 профильного ЕГЭ по математике. При умелом использовании их свойств можно упростить выражение или заменить запись логарифма на более удобную.

Свойства логарифмов

Основное логарифмическое тождество

Данное тождество следует из определения логарифма и используется для преобразований. 

Кручу, верчу, запутать хочу. Что можно сделать с логарифмами, не навредив себе?

У логарифмов есть свойства. Каждое из рассмотренных в таблице свойств можно использовать для преобразований.

Свойства логарифмов

Простейшие логарифмические уравнения

Как же решать логарифмические уравнения?

Логарифмическое уравнение нужно привести к виду loga f(x) = loga g(x). При решении таких уравнений нужно обязательно учитывать, что по определению аргумент логарифма всегда должен быть больше нуля, а основание больше нуля и не должно равняться единице.

Как быстро избавиться от логарифмов c одинаковым основанием?

Это можно сделать, приравняв аргументы и добавив условие на один из аргументов, так как аргументы логарифмов всегда больше нуля.

Например: 

Алгоритм решения логарифмического уравнения:

  1. Написать ОДЗ.
  2. Упростить выражения слева и справа от знака равенства, используя свойства логарифмов, если это возможно.
  3. Если основания логарифмов одинаковые избавиться от логарифмов, иначе, используя свойства логарифмов, привести к одинаковому основанию, а уже потом совершить эти действия.
  4. Решить уравнение и сравнить с ОДЗ, выписать в ответ корни.
Как не попасть в аварию в погоне за результатом?

Осторожно! Решая логарифмические уравнения, можно разогнаться слишком сильно и вылететь с дороги…

Чтобы такого не случилось, есть специальный ограничитель неправильных ответов – ОДЗ. Область допустимых значений – это те значения, которые может принимать x (или другая буква латинского алфавита) в выражении. Работая с логарифмами и избавляясь от них, всегда следи за показаниями ОДЗ, иначе в ответ попадут лишние корни.

Рассмотрим на примере:

  1. ОДЗ: 5x — 4 > 0, x + 8 > 0
  2. Если в обеих частях уравнения находится логарифм по одинаковому основанию, то можно скинуть логарифмы и записать равенство аргументов

5x — 4 = x + 8

  1. Теперь решим систему и получим

x = 3

  1. Подставим в ОДЗ и проверим, подходит ли корень, запишем ответ, х = 3.

Давайте рассмотрим ещё одно уравнение

  1. Добавим ОДЗ: х > 0, x — 4 > 0, 4x > 0, 4x ≠ 1
  2. По свойствам логарифма преобразуем правую часть уравнения
  1. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 2
  1. Скинем логарифмы

x — 4 = 2
x = 6

Проверим, подходит ли значение под ограничения, и запишем ответ, x = 6.

Простейшие логарифмические неравенства

Для решения логарифмических неравенств тоже можно избавляться от логарифмов.

Делается это уже известным способом, при этом нужно обращать внимание на основание логарифма.

Важно:
Если 0<a<1, тогда знак неравенства меняется на противоположный
Если a>1, тогда знак неравенства не меняется

Алгоритм решения логарифмического неравенства:

  1. Написать ОДЗ.
  2. Упростить выражения слева и справа от знака неравенства, используя свойства логарифмов, если это возможно.
  3. Если основания логарифмов одинаковые избавиться от логарифмов по схеме выше. Иначе, используя свойства логарифмов, привести к одинаковому основанию, а уже потом совершить эти действия.
  4. Решить неравенство, пересечь с ОДЗ, записать ответ.

Давайте рассмотрим решение неравенства на примере:

  1. Напишем ОДЗ и по свойству логарифма вынесем степень перед логарифмом

x2 > 0, x > 0 ⇔ x > 0

  1. Перенесем одно слагаемое влево и упростим 
  1. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 5
  1. Скинем логарифмы без изменения знака неравенства, так как основание больше единицы и учтём ОДЗ 

x ≥ 25

Запишем ответ [25; +∞).

Фактчек

  • Логарифм – это степень, в которую возводится основание логарифма, чтобы получить аргумент \(a^{x} = b \Leftrightarrow x = log_{a}\:b, при\: a > 0, a \neq 1, b > 0\);
  • Десятичный логарифм: lg a;
  • Натуральный логарифм: ln a;
  • Основное логарифмическое тождество: \(a^{log_{a}\: b} = b, при\: a > 0, a \neq 1, b > 0\);
  • Существуют специальные свойства логарифмов, благодаря которым можно совершать преобразования;
  • При решении уравнений и неравенств не забывать про ОДЗ на аргумент и основание логарифма: основание больше нуля и не равно единице, аргумент больше нуля;
  • В логарифмических неравенствах при переходе к неравенству аргументов логарифмов знак меняется на противоположный, если значение основания логарифма находится на промежутке от 0 до 1.

Проверь себя

Задание 1.
Решите уравнение

  1. 1 и -1
  2. 2 и -2
  3. 2
  4. -1

Задание 2.
Решите уравнение

  1. 16
  2. 12
  3. 1
  4. 8

Задание 3.
Решите уравнение

  1. 0 и 163
  2. 0 и 323
  3. 32
  4. 163

Задание 4.
Решите неравенство

  1. [-43;0)(0;4]
  2. (0;4]
  3. [-43;0)
  4. -43;4

Задание 5.
Решите неравенство

  1. (0;13] 
  2. (-13;13]
  3. -13;13
  4. -13;0

Ответы: 1. — 3; 2. — 1; 3. — 4; 4. — 1; 5. — 2

Понравилась статья? Оцени:
Читайте также:

Читать статьи — хорошо, а готовиться к экзаменам
в самой крупной онлайн-школе — еще эффективнее.

50 000
Количество
учеников
1510
Количество
стобальников
>15000
Сдали на 90+
баллов