Понятие корня

На этой странице вы узнаете:

• Что скрывают корни?
• В поисках отличий или как не запутаться в корнях?
• Как можно изменить запись корня или выражения с корнями?

Понятие корня

Без корня погибнет растение, а слово потеряет свой смысл. В математике корень —  очень важное понятие. Давайте разберемся, что же такое корень n-ой степени и какие действия с ним можно совершить.

Итак:

1. Взятие корня является обратным действием возведению в степень. 
2. Корнем n-ой степени числа х называют такое число, при возведении в степень n которого получается х.

 \(\sqrt[n]{x}=y\) ,  \(y^{n}=x\) , где 
n — степень корня, которая является натуральным числом
x – подкоренное выражение
y – результат вычисления

Что скрывают корни? У некоторых корней есть особые названия в зависимости от их степени. Если n = 2, такой корень называют квадратным корнем, часто его записывают без указания степени \(\sqrt{х}\). Если n = 3, корень называется кубическим и записывается следующим образом \(\sqrt[3]{x}\).

Теперь давайте разберем работу с четными и нечетными степенями, и чем она отличается.

Посмотрим на примеры:

1. \(\sqrt[3]{125} = 5\), потому что \(5^{3} = 125\)
2. \(\sqrt[3]{-125} = -5\), потому что \((-5)^{3} = -125\)
3. \(\sqrt[2]{-9} = ?\)

Допустим, ответ 3. Проверим: 3 * 3 = 9 – не подходит. 

Пробуем -3. Проверяем: (-3) * (-3) = 9, так как минус на минус дает плюс.

Получается, что \(\sqrt[2]{-9}\) не имеет смысла, так как степень – четная, а подкоренное выражение – отрицательное. Любое число в квадрате будет больше или равно нулю.

В поисках отличий или как не запутаться в корнях? При работе с четными и нечетными степенями корней важно помнить, что: — корень нечетной степени можно взять из любого числа — корень четной степени из отрицательных чисел не существует, его можно брать только из положительного числа.

Могут ли получиться разные результаты, если степень корня и подкоренное выражения одинаковые?
Да, такое возможно. Число, извлеченное из корня четной степени, может быть и положительным, и отрицательным, потому что любое число в четной степени будет больше или равно нулю. Такое число следует записывать в модульных скобках.

\(\sqrt[2]{9} = |3|\), потому что \(3^{2} = (-3)^{2} = 9\)

Зачем нужны модульные скобки можно прочитать в статье “Модуль”.

Свойства корней

Мы уже узнали, что такое корень. Теперь самое время узнать, как совершать логичные и правильные преобразования с ними.

Как можно изменить запись корня или выражения с корнями? Очень просто! Для преобразований корней существуют специальные правила, применяя которые можно изменить запись корня или выражения с корнями. Такие правила называются свойствами корней.

Основные свойства корней:

1. Степень числа а под корнем выносится в числитель, а степень корня в знаменатель.
   \[\Large\sqrt[n]{a^{k}} = a^{\frac{k}{n}}\]

2. Если под корнем находится число а в степени корня, то от корня можно избавиться, используя первое свойство корней (так как \(а^{\frac{n}{n}} = a^{1}\)), но нужно не забывать про четность степени.

3. Если степень корня нечетная, а подкоренное выражение отрицательное, можно вынести минус перед корнем, тогда под корнем останется положительное число.

\[\Large\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}, n – нечетно\]

4. Произведение чисел а и b в подкоренном выражении можно записать как произведение корней.

\[\Large\sqrt[n]{a * b} = \sqrt[n]{a} * \sqrt[n]{b}\]

5. Частное чисел а и b в подкоренном выражении можно записать как частное корней.

\[\Large\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\]

6. Если в подкоренном выражении находится ещё один корень, от такой вложенности можно избавиться путём перемножения степеней.

\[\Large\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n * m]{a}\]

7. Степень подкоренного выражения можно выносить из под корня, тогда корень будет возводиться в эту степень.

\[\Large\sqrt[n]{a^{m}} = (\sqrt[n]{a})^{m}\]

8. Если степень корня и степень подкоренного выражения имеют общий делитель k, тогда обе степени можно разделить на k, и значение выражения не изменится.

\[\Large\sqrt[n * k]{a^{m * k}} = \sqrt[n]{a^{m}}\]

Стоит отметить, что свойства работаю в обе стороны.

Например:

\[\Large\sqrt[n]{a^{k}} = a^{\frac{k}{n}} \Longleftrightarrow a^{\frac{k}{n}} = \sqrt[n]{a^{k}}\]

Практика преобразований

Теперь давайте рассмотрим применение свойств корней на практике.

Пример:  \(\sqrt[3]{-216}\)

1 способ:

\[\large\sqrt[3]{-216} = -\sqrt[3]{6^{3}} = -6\]

В этом выражении сначала выносим минус перед корнем (свойство под номером 3), а после избавляемся от корня нечетной степени (свойство под номером 2).

Чтобы прийти к этому результату, можно было использовать и другие преобразования.

2 способ:

\[\large\sqrt[3]{-216} = (-216)^{\frac{1}{3}} = (-6)^{3*\frac{1}{3}} = -6\]

В этом варианте сначала воспользуемся свойством под номером 1, чтобы уйти от знака корня, далее число -216 представим в виде числа в степени 3, после чего перемножаем степени по свойству степеней и  получаем -6.

Давайте рассмотрим другой пример.

Пример: \(\sqrt{9+16}\)

\[\large\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\]

В данном случае ни одно из свойств корней не подходит, поэтому складываем слагаемые подкоренного выражения и уже после находим результат.

Важно: Нельзя путать сумму в подкоренном выражении с произведением в подкоренном выражении, потому что свойство корней есть только для произведения, то есть \(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\), аналогично и с разностью \(\sqrt{a — b} \neq \sqrt{a} — \sqrt{b}\).

Так же есть распространённая ситуация, когда нужно вынести множитель из-под знака корня.

Пример: \(\sqrt[4]{80}\)

\[\large\sqrt[4]{80} = \sqrt[4]{2 * 2 * 2 * 2 * 5} = \sqrt[4]{2^{4}} * \sqrt[4]{5} = 2\sqrt[4]{5}\]

Сначала 80 нужно разложить на множители. Далее используем свойство под номером 4 и раскладываем произведение подкоренного выражения на произведение корней, а после к первому множителю применяем свойство под номером 2 и избавляемся от корня.

Фактчек

• Взятие корня – это противоположное действие возведению в степень.
• Корень нечетной степени берётся из любого числа, а корень четной только из положительных чисел.
• Извлеченное из корня четной степени число записывается в модульных скобках.
• Существую специальные правила работы с корнями, они называются свойствами корней.
• Преобразования корней на практике могут состоять из нескольких действий.

Термины

Натуральные числа – это числа, используемые при счете предметов (например: 1, 2, 3, 4, …)

Проверь себя

Задание 1.
Чему равно данное выражение \(\sqrt[15]{3^{12}}\) ?

1. \(\sqrt[3]{3^{4}}\)
2. \(3^{\frac{4}{5}}\)
3. \(3^{\frac{15}{12}}\)
4. \(\sqrt[15]{1^{4}}\)

Задание 2.
Чему равно данное выражение \(\sqrt[4]{625}\)?

1. 5
2. \(\sqrt{15}\)
3. \(\sqrt{5}\)
4. |5|

Задание 3.
Чему равно данное выражение \(\sqrt[5]{\sqrt[2]{1}}\) ?

1. 1
2. \(\sqrt[7]{1}\)
3. 10
4. 7

Задание 4.
Чему равно данное выражение \(\sqrt[5]{2^{3} * 7^{5}} * \sqrt[5]{4}\) ?

1. 9
2. 12
3. 14
4. 1

Задание 5.
Чему равно данное выражение \(\sqrt{13^{2} — 5^{2}}\) ?

1. 144
2. 4
3. 12
4. 8

Ответы: 1. — 2; 2. — 4; 3. — 1; 4. — 3; 5. — 3