Закон всемирного тяготения. Силы в природе

На этой странице вы узнаете

• Как можно вырваться с этой планеты?
• Где мы весим меньше всего?
• Почему нас всегда обманывали, и сколько мы весим на самом деле?

Было ли вам когда-нибудь интересно, почему мы не летаем? Или почему не можем подпрыгнуть на 10 этажей вверх? Если да, то вы пришли по адресу. Сейчас мы расскажем о непростых отношениях между Землей и человеком.

Природа сил. Гравитация. Закон всемирного тяготения

Любое движение тел определяется четырьмя фундаментальными взаимодействиями:

• Сильное взаимодействие обусловливается связью протонов и нейтронов в ядре атомов. Обнаруживается на расстояниях, сравнимых с размерами атома. 

• Слабое взаимодействие отвечает за процессы, протекающие с участием фундаментальных частиц на расстояниях, которые в 1000 раз меньше размера протона. Оба названных взаимодействия определяют параметры микромира.

• Электромагнитное взаимодействие – одно из фундаментальных взаимодействий, которое возникает при наличии электромагнитных полей. Действие электромагнитных сил перестает быть заметным с увеличением расстояния из-за большого количества разноименно заряженных частиц.

• Гравитационное взаимодействие – еще одно из фундаментальных взаимодействий, существующее между всеми телами, которые обладают массой. Оно наблюдается на сколь угодно большом отдалении объектов друг от друга. 

Электромагнитное и гравитационное взаимодействия, от которых зависит характер движения макроскопических объектов от молекулярного уровня до масштабов Вселенной, являются дальнодействующими. 

Что такое гравитация? 

Проведем аналогию. Представим гамак, в котором мы лежим и хотим съесть яблоко. Тут приходит SMS и чтобы ответить, мы кладем яблоко на край гамака, а оно скатывается к нам – ведь мы искривили поверхность гамака своим весом. Вот также большие массивные тела влияют на пространство и более мелкие объекты вокруг себя.

Это явление служит наглядной иллюстрацией гравитации.

В 17 веке Исаак Ньютон предположил, что все тела во Вселенной притягиваются друг к другу гравитационными силами, и впоследствии вывел свои знаменитые законы, которые составляют основу раздела «Динамика» в физике. Подробнее об этом вы можете узнать в статье «Движение под действием силы тяжести». 

Ньютон доказал, что все тела, на каком бы расстоянии друг от друга они ни находились, притягиваются друг к другу с определенной силой. Ведь и правда, Земля всегда притягивает нас к себе, где бы мы ни были. Мы не улетаем в космос после прыжка, а возвращаемся на ее поверхность. И благодаря этому же на орбите Земли вращаются искусственные спутники и один естественный – Луна.

Закон всемирного тяготения Исаак Ньютон записал в следующем виде:

Сила взаимного притяжения между двумя материальными точками прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами их масс.

Математически он выглядит так:

\(F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\), где  F — сила притяжения (Н); \(G=6,6710^{-11}\) — гравитационная постоянная (Нм²кг²); m1 — масса первого тела (кг); m2 — масса второго тела (кг); r — расстояние между телами (м).

Как мы видим, величина G очень маленькая. Поэтому сила притяжения значительно сказывается лишь в пределах мегамира: планет, вселенных и других массивных объектов.

Из Второго закона Ньютона вспомним формулу F=ma. Из кинематики — что все тела падают на Землю с ускорением свободного падения \(g=9,8\frac{м}{c^2}\). Подставим это ускорение в уравнение Второго закона Ньютона: F=mg. 

Данная формула является частным случаем силы притяжения: сила тяжести тела на поверхности Земли. Откуда взялось значение g? 

Приравняем силу тяжести тела массой m к силе притяжения этого же тела к Земле массой M на ее поверхности: 

\(mg=\frac{GMm}{R^2}⇔g=\frac{GM}{R^2}\), где M и R — масса и радиус Земли соответственно.

Если тело находится на какой-то высоте h от поверхности Земли, то ускорение свободного падения по определению принимает вид \(g=G\frac{M}{(R+h)^2}\), то есть с увеличением расстояния между центрами масс ускорение свободного падения уменьшается.

Получается, что если мы сядем на идеальный воздушный шар и начнем подниматься с поверхности Земли, сила тяжести, действующая на все тела на этом воздушном шаре, будет постепенно уменьшаться. Это происходит из-за уменьшения g, то есть действие гравитационного поля Земли будет ослабевать. Зависимость эта будет обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами масс планеты и рассматриваемого тела. 

Например, на высоте, равной R, т.е. радиусу Земли (примерно 6400 км), сила тяжести будет в 4 раза меньше, чем на ее поверхности. На высоте 2R, двух земных радиусах, в 9 раз меньше и так далее.

Давайте немного попрактикуемся и сразу решим задачу на применение этой формулы. Такие могут встретиться в №4 ОГЭ.

Задание. Если увеличить массу одного небесного объекта в 12 раз, а массу второго уменьшить втрое, как изменится их сила тяготения?

Решение. Применим формулу \(F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\) для первого случая. По условию задачи: \(m’_1 = 12m_1, m’_2 = \frac{1}{3}m_2\). Подставим эти индексы для новой силы F’: \(F’=G\frac{m’_1m’_2}{r^2}=G\frac{12m_1*1/3m_2}{r^2}= G\frac{4m_1m_2}{r^2}=4G\frac{m_1m_2}{r^2}=4F\).

Ответ: 4

Космические скорости

По мере увеличения высоты подъема тела над поверхностью Земли оно рано или поздно окажется на орбите Земли. Той самой, по которой Юрий Гагарин совершил свой первый полет и где сейчас находятся тысячи космических станций.

По орбите Земли тела движутся с определенной скоростью, которая называется первой космической скоростью.

Первая космическая скорость — скорость, необходимая для преодоления тяготения планеты и выхода на круговую орбиту.

Почему это так? Чтобы ответить на данный вопрос, можно вспомнить фрагмент из сказки Валентина Катаева «Цветик-семицветик»: 

«…Лети, лети, лепесток,
Через запад на восток,
Через север, через юг,
Возвращайся, сделав круг…»

Чтобы реализовать задуманное автором, нужно приехать куда-нибудь в Индонезию в безветренную погоду. Через эту страну проходит линия экватора, что очень удобно, чтобы отправить в полет лепесток. Начнем бросать его перед собой. Сначала слабо, потом все сильнее и сильнее. Лепесток будет улетать все дальше, т.к. скорость броска будет увеличиваться. 

Так будет происходить, пока один из этих лепестков, сделав оборот вокруг Земли, не прилетит обратно. Вот та скорость, с которой нужно совершить бросок, чтобы он смог описать окружность вокруг Земли, и есть первая космическая скорость.

Чему она равна? По орбите планеты тела движутся по окружности, тогда на них действует центростремительное ускорение \(a=\frac{v²}{R}\). По сравнению с радиусом Земли ее орбита находится на высоте, пренебрежимо малой в данной формуле, поэтому справедливо уравнение \(R+h ≈ R\). Подставим это ускорение в формулу для ускорения свободного падения: \(\frac{v²}{R}=G\frac{M}{R²} ⇔ v²=G\frac{M}{R}\)

\(v_1=\sqrt{G\frac{M}{R}}≈7,9\) кмс, где  \(v_1\) — первая космическая скорость для Земли (м/с); \(G=6,6710^{-11}\) — гравитационная постоянная (\(\frac{Н*м²}{кг²}\)); M — масса Земли (кг); R — радиус Земли (м).

Как можно вырваться с этой планеты? Если вам все надоело и вы хотите сменить обстановку, тогда может помочь путешествие в космос. Есть лишь один нюанс: для этого вам придется набрать скорость 7,9 км/с. Именно эта скорость позволит вам выйти на орбиту Земли, как когда-то сделал Юрий Гагарин.

Но что, если хочется улететь еще дальше? Ближе к звездам. На этот случай у физиков уже готов ответ: нужно «добавить еще газу» и продолжать наращивать скорость до значения второй космической скорости. 

Вторая космическая скорость — скорость, необходимая для выхода с орбиты Земли и движения в Солнечной системе.

Тогда как ее можно найти?
Найти 2 космическую скорость можно по простой формуле: \(v_2=v_1\sqrt2 ≈ 11,2 \frac{км}{с}\).

На самом деле, это не предел – есть еще и третья космическая скорость, развив которую можно преодолеть притяжение Солнца и вырваться за пределы нашей солнечной системы. Но это уже другая история… А сейчас давайте вернемся к явлениям, которые можно встретить как в космосе, так и на Земле. 

Вес тела. Сила реакции опоры

Из предыдущей главы мы выяснили, что тела вблизи поверхности Земли притягиваются к ней с силой тяжести F=mg, которая всегда направлена к центру Земли. В пределах решения задач мы принимаем Землю за плоскость, поэтому сила тяжести будет направлена вертикально вниз.

Мы с детства привыкли говорить про вес тела. Например: «Я вешу целых 60 килограммов!» Так ли это? Оказывается, нам всю жизнь врали! С точки зрения физики это совершенно неверно. 

На самом деле, весы и правда измеряют вес тела, но показывают все же его массу. По сути, для каждого небесного тела нам придется сделать разные весы, ведь на разных планетах человек будет иметь разный вес.

Где мы весим меньше всего? На Луне у любого тела будет самый маленький вес по сравнению с другими небесными телами.

Вес тела — сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес.

Сила реакции опоры — сила, с которой опора действует на тело.

Эти две силы возникают в результате взаимодействия тела с опорой, поэтому по третьему закону Ньютона вес по модулю будет равен силе реакции опоры и противоположен по направлению.

Как найти силу реакции опоры? 

Обратимся к любимому Второму закону Ньютона: \(Σ \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}\).

На тело действуют только две силы – это сила реакции опоры и сила тяжести, поэтому получим: \(m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}=m\overrightarrow{a}\). Тело на весах покоится, так что \(|\overrightarrow{a}|=0\). 

Тогда \(m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}=0\). В проекции на вертикальную ось Y получим — \(mg+N=0\), отсюда \(N=mg\). 

Мы рассмотрели частный случай. Стоит помнить, что сила реакции опоры перпендикулярна поверхности. Далее мы рассмотрим более конкретный пример. 

Почему нас всегда обманывали, и сколько мы весим на самом деле? По Третьему закону Ньютона мы знаем, что при воздействии на опору с какой-то силой опора действует на тело с той же по модулю силой и противоположной по направлению. То есть \(\overrightarrow{P}=-\overrightarrow{N}⇔ |\overrightarrow{P}|=|\overrightarrow{N}|\), подставим N и получим \(P=mg\). Весы измеряют наш вес, то есть силу, по модулю равную силе тяжести (на неподвижном горизонтальном полу), но показывают величину в \(g = 10\) раз меньше. Эта величина – масса нашего тела. «В 10 раз меньше» звучит намного оптимистичнее, верно?

Давайте проверим теорию на практике. Такие задачи могут встретиться в номере 7 ЕГЭ.

Задание. Смартфон лежит на столе. Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их изменения во времени.

А) Сила тяжести смартфона
Б) Вес смартфона на стол

1. Приложена к смартфону и направлена вертикально вверх
2. Приложена к смартфону и направлена вертикально вниз
3. Приложена к столу и направлена вертикально вверх
4. Приложена к столу и направлена вертикально вниз

Решение.
А) Сила тяжести, действующая на тело, всегда приложена к его центру тяжести и направлена строго к центру Земли. Чаще всего это перпендикулярно вниз к поверхности, на которой находится тело. Поэтому правильный ответ будет под номером 2.
Б) Вес – это сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес. В нашем случае тело лежит на столе. Значит вес приложен к столу. Смартфон давит на стол, стремится его продавить вниз из-за Земного притяжения, действующего на него. Поэтому правильный ответ будет под номером 4.

Ответ: 24

Перегрузка. Невесомость. 

А космонавты на МКС тоже могут измерить свой вес с помощью весов? 

Чтобы ответить на этот вопрос, снова придется обратиться к физике.

Возьмем те же самые весы и поставим их в лифте Москва Сити, встанем на них и будем кататься с 1 на 59 этаж и обратно. Понаблюдаем за стрелкой весов – она будет все время меняться. 

1. Случай первый: лифт едет вверх с ускорением \(\overrightarrow{a}\)

Запишем второй закон Ньютона: \(Σ\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}\).

Распишем равнодействующую сил и, так как \(|\overrightarrow{a}| ≠ 0\), имеем: \(m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}=m\overrightarrow{a}\).

В проекции на вертикальную ось Y получим: — \(mg+N=ma\). Отсюда \(N=mg+ma=m(g+a)\). 

Проанализируем получившуюся формулу. В этот раз сила реакции опоры будет зависеть от ускорения, с которым поднимается лифт. И чем больше будет a , тем больше будет N. 

На самом деле это ощущается нашим телом во время движения. Когда лифт резко стартует вверх, нас как будто прижимает к полу. Получается, что увеличивается сила давления на пол, значит, по 3 закону Ньютона увеличивается сила реакции опоры.

Говорят, что в этом случае человек в лифте испытывает перегрузку. 

Перегрузка – это физическая величина, показывающая отношение веса тела в данной точке к силе тяжести, действующей на него в этой же точке. 

Перегрузка = \(\frac{Р}{mg} =\frac{m(g+a)}{mg}=\frac{g+a}{g}\).

2. Случай второй: лифт едет вниз с ускорением \(\overrightarrow{a}\)

Запишем второй закон Ньютона: \(Σ\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}\).

Распишем равнодействующую сил и, так как \(|\overrightarrow{a}| ≠ 0\), имеем: \(m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}=m\overrightarrow{a}\).

В проекции на вертикальную ось Y получим: \(mg+N=-ma\), отсюда \(N=mg-ma=m(g-a)\). 

Проанализируем получившуюся формулу. В этот раз сила реакции опоры тоже будет зависеть от ускорения, с которым опускается лифт. И чем больше будет \(\overrightarrow{a}\) , тем меньше будет \(\overrightarrow{N}\). 

Это тоже ощущается нашим телом во время движения. Когда лифт резко начинает двигаться вниз, первые секунды нам кажется, будто мы немного зависаем в воздухе, не поспевая за ним. Получается, что уменьшается сила давления на пол, значит, уменьшается сила реакции опоры. 

А если лифт будет двигаться с ускорением g , то есть находиться в свободном падении, то уравнение для силы реакции опоры примет следующий вид: \(N=m(g-a)=m(g-g) = 0\). Значит, и \(P=N=0\).

Явление, когда вес тела равен нулю, называется невесомостью. 

Именно в таком состоянии и находятся космонавты на МКС — их вес равен нулю, давление на напольные весы они оказывать не могут, поэтому и взвеситься у них тоже не получится. Для этого придется вернуться на Землю.

Сила реакции опоры и наклонная плоскость

Когда мы стоим на весах, вес тела и сила реакции опоры численно равны силе тяжести, но нельзя брать это за правило. Приведем пример, когда сила реакции опоры, а следовательно, и вес тела численно не равны силе тяжести тела.

Например, шайба катится вниз по наклонной плоскости с ускорением \(\overrightarrow{a}\). По Второму закону Ньютона: \(m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}=m\overrightarrow{a}\)
В проекции на ось y: \(-mg* cos{\alpha}+N=0\)
Тогда \(N=mg*cos{\alpha}\) и \(P=N=mg*cos{\alpha}\)
В неподвижной комнате на горизонтальном полу эта шайба бы имела вес P=mg, который больше, чем на наклонной плоскости. 

Одно и то же тело имеет разный вес в различных условиях, так что силу реакции опоры и вес тела в задачах необходимо выводить в зависимости от условий данной задачи. 

Алгоритм для нахождения силы реакции опоры для тела, находящегося на наклонной плоскости, приведен ниже.

Чтобы найти силу реакции опоры для наклонной плоскости, нужно:
Шаг 1. Сделать рисунок и расписать все силы, которые действуют на тело.

Шаг 2. Записать 2 закон Ньютона: \(m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}=m\overrightarrow{a}\)
Шаг 3. Выбрать ось, которая будет направлена в ту же сторону, что и \(N\), и расписать 2 Закон Ньютона в проекции на эту ось: \(-mgcos+N=0\)
Шаг 4. Выразить \(N\):\(N=mg*cos{\alpha}\)
Шаг 5. По 3 закону Ньютона приравнять вес и силу реакции опоры: \(P=N=mg*cos{\alpha}\)

На этом все. Поздравляем, вы великолепны!

Итак, мы с вами разобрались в том, что такое гравитация и какими силами описывается это явление. Узнали, что такое сила реакции опоры и вес и почему по модулю они равны. Рассмотрели явления невесомости и перегрузки. 

Кстати, вес может быть равен не только силе реакции опоры, но и силе натяжения нити. А что это такое, вы можете узнать в следующей статье «Сила электромагнитного взаимодействия в механике».

Термины

Атом – мельчайшая частица вещества, сохраняющая все его химические свойства. Из атомов состоят молекулы, а из молекул состоит вещество, т.е. все, что имеет массу. Атом можно поделить на нейтроны, протоны и электроны.

Второй закон Ньютона – один из трех основных законов динамики, описывающий связь силы, действующей на тело с ускорением, которое оно получает вследствие действия этой силы. Описывается он формулой: \(F=ma\), где F – это сила или равнодействующая всех сил, действующих на тело, m – масса тела, а – ускорение.

Нейтрон – частица, входящая в состав атома, не имеющая заряда, то есть ее заряд равен нулю. Масса протона равна \(m = 1,67·10^{-27}\) кг.

Проекция вектора на ось – это скалярная величина (число), равная длине вектора, полученной в результате проведения перпендикуляров от конца вектора на эту ось.

Протон – положительно заряженная частица, входящая в состав ядра атома. Его заряд равен по модулю заряду электрона, но взят с положительным знаком \(q = +1,6·10^{-19}\) Кл. Масса электрона тоже очень маленькая \(m = 1,67·10^{-27}\) кг.

Третий Закон Ньютона – один из трех основных законов динамики, который говорит о том, что силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по модулю, но направлены в противоположные стороны.

Фундаментальные частицы – это частицы, из которых состоит вещество и которые уже нельзя разделить на части каким-либо образом. Когда-то атом тоже считался такой частицей, потом такими частицами были протон, нейтрон и электрон. Сейчас примерами таких частиц могут быть лептоны или кварки. Если вам интересна эта тема, то можете ознакомиться со статьей «Основы ядерной физики: строение ядра, ядерные силы».

Фактчек

• Силы гравитационного взаимодействия действуют на сколь угодно далеких расстояниях.
• Все тела притягиваются друг к другу, наиболее значительно силы притяжения выражены у космических тел.
• Сила притяжения Земли уменьшается при подъеме на высоту h от ее поверхности.
• Для движения по орбите Земли и в пределах Солнечной системы рассчитаны необходимые скорости. Для того чтобы преодолеть Земное притяжение и выйти на ее орбиту, телу нужно развить первую космическую скорость, равную 7,9 км/с, а чтобы вырваться с орбиты Земли и стать спутником Солнца, нужно разогнаться до значения второй космической скорости — 11,2 км/с.
• Вес и масса – это разные понятия. Вес — это сила, измеряется в Ньютонах и зависит от силы реакции опоры и условий, в которых находится тело. Если тело с системой отсчета, например лифта, движется с ускорением — вес может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от направления этого ускорения.
• Сила реакции опоры по модулю равна весу и вычисляется из Второго закона Ньютона.
• Невесомость — это состояние тела, когда его вес равен нулю.
• Перегрузка — это физическая величина, которую можно найти по формуле: \(\frac{Р}{mg}=\frac{g+a}{g}\).

Проверь себя

Задание 1.
Какие взаимодействия присущи макроскопическим объектам?

1. Электромагнитное и сильное.
2. Сильное и слабое.
3. Электромагнитное и гравитационное.
4. Слабое и гравитационное.

Задание 2.
Какая скорость необходима телу для движения по орбите Земли?

1. большая
2. внеземная
3. первая космическая
4. вторая космическая

Задание 3.
Что показывают весы?

1. массу
2. вес
3. тяжесть
4. упитанность

Задание 4.
Чему равен вес?

1. Массе.
2. По модулю силе реакции опоры, которую не нужно вычислять в каждой задаче.
3. По модулю силе реакции опоры, которую нужно вычислять в каждой задаче.
4. Силе тяжести.

Ответы: 1. — 3; 2. — 2; 3. — 3; 4. — 1; 5. — 3.