Движение под действием силы тяжести

На этой странице вы узнаете

• Почему килограмм камней все-таки может быть тяжелее килограмма перьев?
• Правда ли, что Ньютону на голову упало яблоко?
• Если бы Гарри Поттер использовал баллистические формулы для своей метлы, как бы это повлияло на игру в квиддич?

Удивительное явление: человек привязан к Земле. То, как Земля нас «обнимает», не сравнится ни с одними другими объятиями. Мы связаны с нашей планетой. Благодаря этому, мы можем ходить по ней, а различные предметы стоят на своих местах. Да, как вы уже могли догадаться, сейчас мы поговорим о силе тяжести и о том, как она влияет на нашу жизнь.

Не менее удивительно то, как сила тяжести взаимодействует с движением. Это явление, благодаря которому все предметы на поверхности Земли стремятся к центру планеты, называется гравитацией. Гравитация не только обеспечивает наше «приклеивание» к земной поверхности, но и определяет, как тела двигаются вокруг друг друга.

Свободное падение тела

Для рассмотрения данного вида движения — движения под действием силы тяжести — нужно сначала разобраться, что же представляет из себя свободное падение тела.

Свободное падение — движение тела, которое происходит под действием силы тяжести без начальной скорости.

Этот тип движения характеризуется нулевой начальной скоростью и движением по вертикальной оси. Например, с какой-то высоты мы выпускаем из руки мячик. Этот мячик будет двигаться равноускоренно с ускорением свободного падения g = 9,81 м/с² .

При расчетах значение этого ускорения округляется до 10 м/с².

Мы выяснили, что свободное падение является равноускоренным, тогда мы можем воспользоваться уравнением равноускоренного движения: \(x = x_0 + V_0*t + \frac{a*t^2}{2}\).

Равноускоренное падение — это движение объекта под действием гравитационной силы, при котором ускорение остается постоянным.

Стоит только уточнить, что здесь движение происходит по вертикали, то есть по оси у, ускорение a = g, начальная скорость V₀ = 0: \(y = y_0 — \frac{g*t^2}{2}\) , где y₀ — начальная высота, на которой находится тело, \(y = 0\) — координата тела по вертикали в конечный момент времени. Тело падает, поэтому в конце эксперимента она будет на земле — на нулевом уровне. Знак минус в уравнении появляется из-за того, что ускорение g направлено против оси y. По рисунку y₀ – y = h — высота, с которой упало тело. 

Преобразуем наше уравнение:
\(y — y_0 = -\frac{g*t^2}{2} \Leftrightarrow -h = -\frac{g*t^2}{2} \Leftrightarrow h = \frac{g*t^2}{2}\). 

\(h = \frac{g*t^2}{2}\), где h — высота, с которой упало тело (м); g — ускорение свободного падения (м/с2); t — время (с).

Теперь мы можем найти время падения тела: \(t = \sqrt{\frac{2*h}{g}}\).

Скорость свободно падающего тела меняется по закону v_y = v₀ +a_y∙t ⇔ v_y = –g∙t. Знак минус показывает, что скорость тела будет направлена против оси y.

Равноускоренное движение без начальной скорости имеет ряд закономерностей, а именно:

1. При равноускоренном движении без начальной скорости скорость объекта увеличивается одинаково за одинаковые промежутки времени. То есть если за первую секунду скорость увеличилась на 5 м/с, то за вторую секунду она увеличится на те же 5 м/с, за третью — также на 5 м/с и так далее.

2. Перемещение объекта будет меняться прямо пропорционально времени. Если скорость увеличивается равномерно, то и перемещение тоже будет увеличиваться с постоянной скоростью. Иными словами, чем быстрее мы едем, тем большее расстояние преодолеваем за один промежуток времени.

3. Зависимость между временем и скоростью будет квадратичной. Это означает, что перемещение будет увеличиваться быстрее с каждой секундой. То есть чем дольше едем, тем больше скорость. 

4. Ускорение объекта будет постоянным и прямо пропорциональным его перемещению. Чем дальше объект движется, тем больше будет его ускорение. Например, если мы бросим камень с небоскреба, за первую секунду он пролетит меньшее расстояние, чем за десятую. 

Любую величину мы можем изобразить с помощью графиков! При свободном падении тела по вертикали графики зависимости от времени для проекции ускорения, проекции скорости и координаты имеют характерные формы.

График зависимости проекции ускорения от времени: на графике ускорение будет постоянным и равным ускорению свободного падения g. Таким образом, график будет горизонтальной прямой, параллельной оси времени. Ускорение будет поддерживаться на постоянном уровне на всем протяжении движения.

График зависимости проекции скорости от времени: начальная скорость v₀ будет увеличиваться на gt с течением времени из-за постоянного ускорения g. 

График зависимости координаты от времени: график будет являться параболой, так как вертикальное перемещение тела под действием ускорения свободного падения описывается уравнением \(s=v_0+\frac{g*t^2}{2}\). 

Парабола — симметричная относительно своей вершины фигура.  

В начальный момент времени координата s будет равна нулю. Затем парабола будет стремительно подниматься, демонстрируя увеличение высоты тела. Чем больше время, тем более крутым становится подъем графика.

Почему килограмм камней все-таки может быть тяжелее килограмма перьев? Из жизненного опыта мы понимаем, что камень с некоторой высоты упадет быстрее, чем перо. Но выше мы определили, что свободное падение тел описывается идентичными формулами, которые никак не зависят от параметров самих тел. Стоит отметить, что данные формулы справедливы для условий, которые приближены к идеальным. В данном случае идеальным условием будет являться то, что движение происходит в вакууме. И правда, в вакууме камень и перо упадут одновременно. А вот в обычных условиях на каждое тело действует сила сопротивления воздуха, которая влияет на характер движения каждого тела. Именно из-за этого килограмм камней упадет на землю быстрее, чем килограмм перьев.

Таким образом, свободное падение – это физическое явление, при котором тело движется под воздействием только силы тяжести. В данном случае оно не испытывает сопротивления среды или других внешних сил.

Свободное падение является фундаментальным понятием в физике и имеет широкое применение, включая изучение гравитации, динамики и механики. Оно позволяет анализировать движение тел при отсутствии воздействия других сил и является основой для понимания множества физических явлений и процессов.

Задания на свободное падение встречаются в ОГЭ под номером 4.

Задание. Камень начинает падать с высоты 80 метров с начальной скоростью, равной нулю. Через какое время он достигнет поверхности земли? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Варианты ответа:
1) 1.5 с
2) 2 с
3) 4 с
4) 3 с

Решение.
Для свободного падения без начальной скорости у нас есть закон движения: \(s=\frac{g*t^2}{2}\), где s — расстояние (высота), g — ускорение свободного падения (в рамках решения задачи приближенно 10 м/с² на Земле), t — время.

Подставим значения: s = 80 м и g = 10 м/с².

Решим уравнение относительно t:
\(80=\frac{10*t^2}{2}\)
Упростим:
80= 5·t²
16= t²
t = ± 4

Поскольку время не может принимать отрицательные значения, то вариант -4 не рассматривается, значит, камень долетит за 4 секунды, а это вариант ответа под номером 3.

Ответ: 3

Когда мы говорим о свободном падении, мы рассматриваем движение объектов под воздействием силы тяжести без каких-либо дополнительных воздействий. Это понятие стало основой для понимания того, как предметы двигаются вниз под влиянием гравитационной силы. Однако помимо скорости и времени падения, существует еще один важный аспект, который называется ускорением свободного падения. Рассмотрим, как это ускорение влияет на движение тел в процессе свободного падения и как оно связано с другими физическими концепциями.

Ускорение свободного падения

Мы упоминали понятие ускорения свободного падения. Но что это за величина? На основе определения ускорения и знаний о свободном падении мы можем ответить на этот вопрос.

Ускорение свободного падения — это величина, которая характеризует изменение скорости тела при его свободном падении.

Теперь, зная точное значение термина ускорение, дадим наше определение ускорению свободного падения.

Ускорение свободного падения — это величина, которая характеризует изменение скорости тела при его свободном падении.

Правда ли, что Ньютону на голову упало яблоко? Слышали историю о том, как великому ученому упало яблоко на голову? Именно тогда его голову и посетила мысль о притяжении тел друг к другу. Однако в этой истории есть небольшой нюанс: за следующие 60 лет он рассказал эту историю лишь двум людям. Зачем было скрывать удивительное потрясение? До сих пор неизвестно, является ли история про яблоко мифом или реальностью, но именно Ньютон сделал важнейшее умозаключение: На каждое тело, которое обладает определенной массой m, действует сила тяжести F = mg, с которой оно и притягивается к Земле.

Итак, мы выяснили, что тела притягиваются к Земле из-за действия на них силы тяжести. Теперь мы можем перейти к изучению баллистического движения.

Баллистическое движение

Баллистика — раздел механики, изучающий движение тел в поле силы тяжести Земли.

Ярким примером данного типа движения является бросок тела под углом к горизонту.

Уравнение траектории тела, брошенного под углом к горизонту, описывает путь, по которому будет двигаться тело после его броска. Это уравнение позволяет нам предсказать, насколько высоко и далеко попадет тело, а также как будет меняться его положение во время полета.

Разберем ситуацию, когда мальчик бросает мяч под углом к горизонту. На рисунке изображена траектория полета мяча, который двигается в пространстве (после броска) лишь под действием силы тяжести. Давайте с помощью физики и математики разберем характер движения мяча.

Изобразим в координатных осях ХoY траекторию полета мяча. Мальчик при броске передает мячу начальную скорость V₀, которая направлена под углом α к горизонту.

Движение под углом к горизонту сложное, состоит из 2 типов движения:

• По горизонтали (Оси Х) движение равномерное. Равномерным оно будет из-за того, что ускорение свободного падения действует лишь по вертикали (Оси Y). Оно описывается уравнением равномерного движения x = x₀ + V_0xt, где x₀ = 0 (движение начинается из начала координат), t — время движения,  V_0x— проекция начальной скорости тела на ось Х. Из геометрии V_0x = V₀cosα. Тогда мы можем записать закон изменения горизонтальной координаты со временем при баллистическом движении:

x = V0 * cosα * t, где x — конечная координата (м); V0 — начальная скорость (скорость броска) (м/с); α — угол, под которым бросили тело (градусы); t — время (с).

• По вертикали (Оси Y) движение равноускоренное с постоянным ускорением g. Оно описывается уравнением равноускоренного движения \(y = y_0 + V_{0y}t + \frac{a_yt^2}{2}\), где y₀ = 0 (движение начинается из начала координат), a_y = –g — проекция ускорения свободного падения на ось Y (минус появляется из-за того, что ускорение направлено против оси), V_0y — проекция начальной скорости тела на ось y. Из геометрии V_0y = V₀sinα. Тогда уравнение принимает вид:

\(y = V_0 * sinα * t — \frac{gt^2}{2}\), где y — конечная координата (м); V0 — начальная скорость (скорость броска) (м/с); α — угол, под которым бросили тело (градусы); t — время (с); g — ускорение свободного падения (м/с2).

Это уравнение является квадратичной функцией, так как есть аргумент функции — время t во второй степени. Если выразить из х(t) время и подставить в y(t), то получится квадратичная зависимость у(х). Отсюда следует, что траекторией является парабола.

Похожую траекторию можно встретить не только в тех случаях, когда мы кидаем какой-то предмет под углом к горизонту. Обычные самолеты тоже сначала плавно набирают высоту, а после сразу плавно снижаются, то есть летят по параболе. 

Вертикальная составляющая скорости меняется со временем по закону равноускоренного движения \(v_y = V_0y + a_yt \Leftrightarrow V_y = V₀ * sinα — g * t\). 

Вернемся к нашему примеру с мячом. В определенный момент времени T мяч достигнет точки своего наивысшего подъема \(h_{max}\).Тогда его скорость будет направлена горизонтально (вправо, параллельно оси Х). Это означает, что в этот момент вертикальная составляющая скорости равна нулю, а сама скорость равна его горизонтальной составляющей, то есть Vy(T) = 0 и V(T) = V_x(T) = V_0x = V₀ * cosα (так как скорость по горизонтали постоянная). В этот момент скорость мяча будет минимальной за все его время полета.

Итак, в момент наивысшего подъема v_y(T)=0. Подставим это значение в уравнение скорости мяча по оси Y: 0 = V₀ * sinα — g * T \(\Leftrightarrow\) g * T = V₀ * sinα. 

\(T = \frac{V_0 * sinα}{g}\), где T — время подъема на максимальную высоту (с); V0 — начальная скорость (скорость броска) (м/с); α — угол, под которым бросили тело (градусы); g — ускорение свободного падения (м/с2).

Подставим это время в формулу координаты мяча по оси Y, то есть так мы найдем максимальную высоту подъема:

\(h_{max} = y(T) = V_0 * sinα * T — \frac{gT^2}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(h_{max} = V_0 * sinα * \frac{V_0 * sinα}{g} — \frac{g(\frac{V_0 * sinα}{g})^2}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(h_{max} = \frac{V_0^2 * sin^2α}{g} — \frac{g \frac{V_0^2 * sin^2α}{g}^2}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(h_{max} = \frac{V_0^2 * sin^2α}{g} — \frac{V_0^2 * sin^2α}{2g}\) \(\Leftrightarrow\) \(h_{max} = \frac{2 * V_0^2 * sin^2α}{2g} — \frac{V_0^2 * sin^2α}{2}\)

\(h_{max}= \frac{V_0^2 * sin^2α}{2g}\), где hmax — максимальная высота подъема (м); V0 — начальная скорость (скорость броска) (м/с); α — угол, под которым бросили тело (градусы); g — ускорение свободного падения (м/с2).

Заметим, что время подъема тела на максимальную высоту равно времени падения на Землю с этой высоты. Тогда общее время полета мяча: \(T_{общ}=2T=\frac{2∙V_0∙sinα}{g}\). Подставим это время в уравнение движения мяча по оси X и тем самым найдем дальность полета мяча: 

\(L=x(T_{общ})=V_0∙cosα∙T_{общ}⇔L=V_0∙cosα∙\frac{2∙V_0∙sinα}{g}\)

\(L=\frac{V²0∙sin(2α)}{g}\), где  \(L\) — максимальная дальность полета (м); \(V_0\) — начальная скорость (скорость броска) (м/с); \(α\) — угол, под которым бросили тело (градусы); \(g\) — ускорение свободного падения (м/с2).

Движение под углом к горизонту имеет как свои параметры, так и их проекции в системе координат. Рассмотрим их подробнее.

Система координат — это способ организации и описания положения точек в пространстве или на плоскости. Она состоит из осей (вертикальной, горизонтальной и, при необходимости, дополнительных) и начальной точки, называемой началом координат. Система координат позволяет задавать точки числами (координатами) и таким образом определять их местоположение в пространстве или на плоскости.

График зависимости проекции ускорения от времени. Когда тело брошено под углом, вертикальное ускорение остается постоянным и равным ускорению свободного падения g. 

График зависимости проекции скорости от времени. На графике проекции скорости от времени для движения по горизонтальной оси Ох мы увидим прямую линию, которая будет постоянной и неизменной во времени. Это связано с тем, что в горизонтальном направлении нет сил, влияющих на скорость, поэтому проекция скорости остается постоянной.

При движении по вертикальной оси Оу график проекции скорости будет представлять наклонную вниз прямую. 

График зависимости координаты от времени. Перемещение по вертикальной оси у меняется с течением времени по параболе из-за ускорения свободного падения, а перемещение по горизонтальной оси x изменяется линейно, так как скорость остается постоянной. 

Тема баллистики встречается в ЕГЭ под номером 5.

Задание. Маленький шарик падает сверху на наклонную плоскость и упруго соударяется с ней. Угол наклона плоскости к горизонту равен 45°. На какое расстояние по горизонтали перемещается шарик между первым и вторым ударами о плоскость? Скорость шарика непосредственно перед первым ударом направлена вертикально вниз и равна 1 м/с.

Решение. В контексте экзаменационных задач примем ускорение свободного падения g за 10 м/с².

Далее разобьем движение шарика на вертикальную и горизонтальную составляющие. 

Сначала определим вертикальную составляющую начальной скорости \(u_{0y}\) и горизонтальную составляющую \(u_{0x}\).

Вертикальная составляющая начальной скорости равна скорости удара, так как направлена вертикально вниз:

\(u_{0y} = u_0⋅sin(α)=1⋅sin(45∘)≈0,707\) м/с

Горизонтальная составляющая начальной скорости равна 0, так как начальная горизонтальная скорость отсутствует:

\(u_{0x} = u_0⋅cos(α)=1⋅cos(45∘)≈0,707\) м/с

Так как горизонтальное движение происходит с постоянной скоростью, расстояние, на которое шарик перемещается между первым и вторым ударами, можно найти, используя уравнение: \(s=​u_{0x}⋅t\).

Теперь остается найти время, которое требуется шарику, чтобы вернуться обратно к плоскости. Это можно сделать, используя вертикальную составляющую начальной скорости и ускорение свободного падения:

\(u_{0y}​=g⋅t\)
\(t=\frac{u_{oy}}{g}\)

Подставим это значение времени в уравнение для расстояния:

\(s = u0xt = 0,707u0yg\)

Теперь вычислим численное значение:

\(s ≈ 0,707⋅\frac{0.707}{10}≈0,05\) м

Маленький шарик перемещается на расстояние около 0,05 метров между первым и вторым ударами о плоскость.

Ответ: 0,05

Баллистическое движение – это траектория движения объекта под действием силы тяжести и без влияния других сил сопротивления. Оно является одним из ключевых понятий в физике, в особенности при изучении движения тел внутри атмосферы или в космическом пространстве. 

Однако, в реальных условиях, ответы на задачи, связанные с баллистическим движением, не всегда получаются целыми числами. Это связано с тем, что в реальных ситуациях возможно присутствие дополнительных сил, влияющих на движение объекта. Также при моделировании или решении задач могут применяться упрощения, которые требуют округления результата в зависимости от условий задачи. В целом, баллистическое движение является сложной физической задачей, требующей точных расчетов и учета различных факторов. Все это делает изучение и применение баллистического движения интересным и не всегда тривиальным процессом.

Если бы Гарри Поттер использовал баллистические формулы для своей метлы, как бы это повлияло на игру в квиддич? Если бы Гарри Поттер применил баллистические формулы для своей метлы в игре в квиддич, это означало бы, что он использовал бы законы баллистического движения для управления траекторией полета метлы и своим перемещением в пространстве. В квиддиче Гарри мог бы изменять углы наклона и начальные скорости для того, чтобы максимально быстро пролететь через кольца на пути и достичь золотого снитча. Таким образом, он мог бы использовать физические законы, чтобы достичь победы в игре.

Очень важно знать все вышеприведенные формулы. Однако не все из них есть в кодификаторе ЕГЭ. Таким образом, если вам на экзамене попадется задача во второй части на баллистическое движение, то вам придется выводить многие формулы самостоятельно. В первой же части можно спокойно пользоваться упомянутыми в этой статье формулами.

Понимание концепций свободного падения, ускорения свободного падения и баллистического движения не только расширяет наши знания в физике, но и находит широкое применение в различных областях, включая астрономию, механику и военную технику. Все эти явления и законы природы предоставляют нам увлекательный взгляд на то, как функционирует наш мир.

Уже готовы открывать новые горизонты в мире физики? Тогда приглашаем вас углубиться в изучение законов Ньютона, которые являются основой механики.

Фактчек

• Все тела, независимо от своей массы, притягиваются к Земле с одинаковым ускорением — ускорением свободного падения.
• Ускорение свободного падения — ускорение, придаваемое телу силой тяжести при исключении из рассмотрения других сил.
• При равноускоренном движении без начальной скорости скорость будет увеличиваться равномерно со временем.
• Проекция скорости изменяется линейно, увеличиваясь на g м/с каждую секунду.
• Баллистическое движение — движение тела в пространстве под действием внешних сил, в данном случае речь идет только о силе тяжести.
• Горизонтальная скорость не меняется, оставаясь равной начальной горизонтальной скорости.
• Вертикальная координата при броске под углом изменяется по параболе, а горизонтальная — линейно.
• Все формулы для описания движения под углом к горизонту необходимо выводить, так как их нет в кодификаторе.

Проверь себя

Задание 1. 
В вакууме падает перо и кирпич без начальных скоростей. Что упадет быстрее?

1. перо
2. кирпич
3. они не упадут, вакуум же
4. одновременно

Задание 2.
Главное условие свободного падения…

1. падение происходит в вакууме
2. тело падает без начальной скорости
3. тело падает с определенной начальной скоростью 
4. тело находится на свободе
5. на тело действует сила тяжести

Задание 3.
Какую траекторию описывает тело при броске под углом к горизонту?

1. прямую
2. окружность 
3. гиперболу
4. параболу

Задание 4.
Почему при броске под углом к горизонту в верхней точке скорость направлена горизонтально?

1. В какой-то момент времени t уравнение скорости по вертикали зануляется.
2. В верхней точке подъема тело останавливается.
3. Скорость тела становится равной нулю.
4. Горизонтальная и вертикальная проекции скорости становятся равными друг другу.

Ответы: 1. — 4; 2. — 5; 3. — 4; 4. — 1.