Физика

Уравнение состояния идеального газа

24.1.2023

2573

На этой странице вы узнаете

Чем Больцман выделяется на фоне всех других ученых?
Какую ситуацию не может описать модель идеального газа?
Ученых двое, а уравнение — одно. Как такое может быть?

Мы помним Менделеева как известного химика. Но на самом деле химия занимала всего около 10% его работ. Он занимался геологией, метеорологией, физикой и даже экономикой. Его таблица химических элементов является величайшим открытием в мире. Однако он изучал не только химические вещества, но и уравнения их состояния. Эти уравнения по сей день используются в науке. Давайте познакомимся с ними.

Уравнение состояния идеального газа

Вспомним основное уравнение МКТ \(p = \frac{1}{3}nm_0v^2\) и немного его преобразуем. Воспользуемся формулой кинетической энергии молекулы \(Е = \frac{m \bar{v^2}}{2} = \frac{3}{2}kT\), откуда \(m_0v^2 = 3kT\). Подставим это значение в самое первое уравнение:

\(p = \frac{1}{3}n * 3kT = nkT\).

Итак, мы вывели уравнение состояния идеального газа.

p = nkT, где

p — давление газа (Па);
n — концентрация молекул (м^-3);
k — постоянная Больцмана (Дж/К);
T — абсолютная температура (К).

Уравнение состояния идеального газа связывает воедино макроскопические параметры, которые характерны видимым человеческому глазу объектам (давление и температура), и один микроскопический параметр (концентрацию молекул).

Чем Больцман выделяется на фоне всех других ученых?

Знали ли вы, что Больцман — единственный ученый, на чьей могиле выбита одна из самых важных формул в физике. Даже Эйнштейн не удостоился таких почестей. Дело в том, что Больцман слишком сильно опередил свое время. Он связал энергию молекулы и температуру с помощью постоянной k.

Если присмотреться к фотографии, то можно заметить формулу: S = k * logW. Эта формула является статистическим определением энтропии. Но об этой формуле вы узнаете более подробно в ВУЗе.

Какой газ принимать идеальным при расчетах? Любой газ считается идеальным,если соблюдаются следующие два условия:

его давление составляет порядка одной атмосферы;
его температура соответствует комнатной.

Какую ситуацию не может описать модель идеального газа?

К сожалению, модель идеального газа не всесильна. Есть ситуация, при которой данная модель не подходит. В случае, когда газ сжимают с такой силой, что он переходит в другое агрегатное состояние, невозможно применить модель идеального газа.

К примеру, когда летом мы достаем из холодильника бутылку лимонада и на ней появляются запотевшие капли, то происходит процесс конденсации и газ переходит в жидкое состояние. В этом случае мы не сможем применить модель идеального газа для описания процесса.

Для того чтобы связать концентрацию молекул газа, его температуру и давление, был разработан объединенный газовый закон, совмещающий в себе результаты работ многих ученых и приведенный в современный вид Д.И. Менделеевым. Математическое выражение этого закона получило название «уравнение Клапейрона-Менделеева».

Уравнение Клапейрона — Менделеева

Преобразуем уравнение состояния, используя величины, которые можно измерить без косвенных вычислений. Распишем концентрацию:

\(n = \frac{N}{V}\), где N — количество частиц, V — объем газа.

Получим:

\(p = \frac{N}{V}kT \Leftrightarrow pV = NkT\).

Подобные преобразования мы могли сделать самостоятельно, но ученые Менделеев и Клапейрон решили пойти дальше.

Учтем, что молярная масса газа (можно вывести из формул количества вещества):

\(M = m_0* N_A\).

Разделим правую часть нашего уравнения на M и умножим на \(m_0*N_A\):

\(pV = \frac{m_0 * N_A}{M}NkT\), где
\(m_0* N = m\) — масса газа,
\(kN_A= 8,31\) Дж / (Моль\(*К\)) \(= R\) — универсальная газовая постоянная.

Тогда:

\(pV = \frac{m}{M}RT\)

Данное уравнение и является уравнением Клапейрона — Менделеева.

Уравнение Клапейрона — Менделеева связывает три макроскопических параметра газа: давление, массу и температуру.

\(pV = \frac{m}{M}RT\), где

p — давление газа (Па);
V — объем, занимаемый газом (м³);
m — масса газа (кг);
M — молярная масса (кг/моль);
R — универсальная газовая постоянная (Дж/ (Моль*К));
T — абсолютная температура (К).

Разберем некоторые примеры применения уравнения Клапейрона-Менделеева, которые встречаются во второй части ЕГЭ № 24.

Задание. В день включения отопления комната нагрелась с 10 до 25°C. При нормальном давлении объем комнаты составляет 40 м3. Необходимо вычислить, какая масса воздуха выйдет из комнаты, при изменении температуры. Ответ выразить в килограммах и округлить до сотых.

Решение. Для начала переведем все единицы измерения в систему СИ. Нормальное давление P будет равно \(10^5\) Па, \(R = 8, 31\) Дж/(моль*К), \(\mu=0,029\) кг/моль, \(T_1=10+273=283 К, T_2=25+273=298 К\).

Теперь выведем формулу изменения массы на основе уравнения Клапейрона-Менделеева:

\(pV=\frac{m_1}{\mu}RT_1\) \(pV=\frac{m_2}{\mu}RT_2\) \(\Rightarrow\)
\(\Delta m=m_1-m_2= \frac{pV\mu}{R}(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})=\frac{10^5Па*40 м^3*0,029 кг/моль}{8,31 Дж/(мольК)}(\frac{1}{283}-\frac{1}{298})\approx 2,48 кг\)

Ответ: 2,48 кг

Из уравнения Клапейрона-Менделеева следует 3 закона, характеризующих изопроцессы, при которых один из параметров является постоянным, а другие определяются по пропорции.

Таким образом, мы можем убедиться в универсальности объединенного газового закона, который связывает параметры температуры, давления и объема, который, в свою очередь, можно выразить через массу и плотность. Такие закономерности позволяют говорить о важной роли изопроцессов в практическом применении законов.

Изопроцессы

Если мы посмотрим на формулу выше, то поймем, что в ней очень много переменных.

Представим выращивание арбузов. Их сладость зависит от грунта, климата, заботы о растении и так далее. Интересно, что если мы где-то уменьшим заботу о растении, но оно будет в более благоприятном климате, то его сладость останется неизменной.

В физике же исследователи анализируют поведение идеального газа, изменяя его макроскопические параметры, один из которых остается постоянным. Такие процессы, происходящие над газом, называют изопроцессами. Зачастую массу газа стараются сохранять постоянной. Тогда в уравнении остается лишь 3 переменных.

Изопроцесс — это процесс, в котором при неизменной массе вещества один из макроскопических параметров газа остается постоянным.

Существует 3 вида изопроцессов:

изотермический, при котором постоянной остается температура T;
изобарный, при котором постоянным остается давление p;
изохорный, при котором постоянным остается объем V.

Зная графические зависимости давления, температуры и объема друг от друга, становится возможным определение характера одного из этих параметров, если он не известен по условию задачи.

Рассмотрим более подробно, как это можно сделать.

Изотермический процесс

Закон Бойля — Мариотта: для газа постоянной массы при постоянной температуре произведение давления газа на его объем постоянно.

p₁V₁ = p₂V₂, где

p₁ — давление газа в состоянии 1 (Па);
V₁ — объем, занимаемый газом, в состоянии 1 (м³);
p₂ — давление газа в состоянии 2 (Па);
V₂ — объем, занимаемый газом, в состоянии 2 (м³).

Этот закон можно записать следующим образом: pV = const.

Следствием данного закона является то, что при T = const и m = const увеличение значения одного из параметров (p или V) приведет к уменьшению другого.

К каждому процессу рисуется график зависимости одной величины от другой. При этом координаты зачастую представлены в осях, связанных с микропараметрами: pV, pT, VT. Изотермический процесс на графиках выглядит так: в осях p(V) — гипербола (изотерма), в осях p(T) и V(T) — прямые, параллельные оси p и V соответственно.

Из закона Клапейрона — Менделеева \(pV = \frac{m}{M}RT\) следует, что при m = const произведение pV прямо пропорционально зависит от температуры T: чем больше температура T, тем дальше от начала графика находится изотерма в осях p(V).

Если с законом Бойля-Мариотта нет вопросов, то с авторством следующих двух законов существует целое поле для дискуссий. Это связано с тем, что история открытий газовых законов не однозначна и происходила в один промежуток времени. Поэтому закон Гей-Люссака часто называют законом Шарля и наоборот. Попробуем разобраться, в чем отличие.

Изобарный процесс

Закон Гей-Люссака: для газа постоянной массы при постоянном давлении отношение объема газа к его температуре постоянно.

\(\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\), где

V₁ — объем, занимаемый газом в состоянии 1 (м³);
T₁ — температура газа в состоянии 1 (К);
V₂ — объем, занимаемый газом в состоянии 2 (м³);
T₂ — температура газа в состоянии 2 (К).

Или кратко: \(\frac{V}{T} = const\).

Из этого закона следует, что увеличение значения одного из параметров (V или T) приводит к увеличению другого. График данного процесса в осях V(T) — прямая, выходящая из начала координат.

Определим, от чего зависит угол наклона графика в осях V(T). Из уравнения Клапейрона — Менделеева \(pV = \frac{m}{M}RT\) получим:

\(V = \frac{mRT}{Mp}\)

То есть при постоянной массе угол наклона графика обратно пропорционально зависит от давления p: чем больше давление, тем меньше угол наклона, и наоборот.

Графически эту закономерность можно представить в виде прямой в координатах P0T, которая будет называться изобарой и изображаться параллельно оси 0Т.

А какая закономерность может охарактеризовать газ с постоянной массой и объемом? Для этого необходимо применить закона Шарля, который также называют вторым законом Гей-Люссака.

Изохорный процесс

Закон Шарля: для газа постоянной массы при постоянном объеме отношение давления газа к его температуре постоянно.

\(\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}\), где

p₁ — давление газа в состоянии 1 (Па);
T₁ — температура газа в состоянии 1 (К);
p₂ — давление газа в состоянии 2 (Па);
T₂ — температура газа в состоянии 2 (К).

Или кратко: \(\frac{p}{T} = const\).

Из этого закона следует, что увеличение значения одного из параметров (p или T) приводит к увеличению другого.

График изохорного процесса (как и в предыдущем случае) в осях p(T) — прямая, выходящая из начала координат:

По аналогии с изобарным процессом угол наклона графика в осях p(T) обратно пропорционально зависит от объема V: чем больше давление, тем меньше угол наклона, и наоборот.

Рассмотрим другой пример применения уравнения Клапейрона-Менделеева для решения задания № 25 во второй части ЕГЭ.

Задание. В закрытом сосуде находится 5 моль кислорода. Объем сосуда – 15 л. Температура газа в нем равна 132 °C. Чему равно давление газа в сосуде? Ответ выразите в килопаскалях (кПа) и округлите до целых.

Решение. Для начала переведем все единицы измерения в систему СИ. \(R = 8,31 Дж/(моль*К), V=15*10^{-3}м^3, T = 132 + 273 = 405 К\).

Теперь выведем формулу давления на основе уравнения Клапейрона-Менделеева:

\(PV=RT \Rightarrow P=\frac{\upsilon RT}{V}=\frac{5*8,31*405}{15*10^{-3}}=1121,85 *10^3Па\approx 1122 кПа\)

Ответ: 1122 кПа

Замечание. В физике, как всегда, много схожих формул и графиков. Иногда их довольно сложно запомнить. Но если не запоминать графики, а научиться их выводить, то все станет на порядок легче.

Если мы запишем уравнение Клапейрона — Менделеева и будем выносить постоянное значение (p, V или T) в правую часть, то далее мы спокойно можем получить уравнение вида y = const * x и нарисовать необходимый график. Физику проще понять, чем вызубрить.

Ученых двое, а уравнение — одно. Как такое может быть?

Как и многие законы, уравнение состояния идеального газа \(pV = \frac{m}{M}RT\) было выведено общими усилиями нескольких физиков. Правильно говорить уравнение Клапейрона–Менделеева, так как именно Клапейрон объединил все газовые законы в 1 закономерность, а Менделеев вывел известную для вас формулу для 1 моля вещества.

Итак, мы с вами разобрались, какое состояние газа считается идеальным и как правильно применять эту информацию при решении задач. Познакомились с универсальным уравнением Клапейрона-Менделеева и научились находить неизвестные величины по графикам изопроцессов. А как эти знания пригодятся нам для определения количества теплоты и фазовых переходов, можно узнать в этой статье.

Термины

Макроскопические параметры – физические величины, характеризующие состояние тела без учета их молекулярного строения (V, P,T).

Микроскопические параметры – индивидуальные характеристики тела, описывающие поведение молекул, из которых оно образовано (концентрацию молекул).

Молярная масса – физическая величина, характеризующая 1 моль вещества.
Конденсация – физический процесс, при котором пар превращается в жидкость, выделяя определенную энергию.

Фактчек

Уравнение состояния идеального газа связывает макроскопические и один микроскопический параметр газа.
Уравнение Клапейрона — Менделеева связывает три макроскопических параметра газа.
Изопроцесс — это процесс, при котором при неизменной массе вещества один из макроскопических параметров газа остается постоянным.
Идеальный газ – это газ, соответствующий двум критериям: давление порядка одной атмосферы и комнатная температура.
Из уравнения Клапейрона-Менделеева следует 3 закона, характеризующих изопроцессы: изобарный – закон Гей-Люссака, изотермический – закон Бойля-Мариотта и изохорный – закон Шарля.
В случае, если один из параметров температуры, давления или объема неизвестен, возможно его найти, зная графики зависимостей изопроцессов.

Проверь себя

Задание 1.
Что показывает уравнение состояния идеального газа?

Газ идеальный
Газ неидеальный
Связывает макро- и микроскопические параметры газа
Показывает макроскопические параметры газа

Задание 2.
Что связывает уравнение Менделеева-Клайперона?

Макроскопические параметры газа
Макро- и микроскопические параметры газа
Идеальный и неидеальный газы
Три макроскопических параметра газа

Задание 3.
Какие параметры называются макроскопическими?

Которые характеризуют тело, как единое целое
Которые характеризуют тело, состоящее из мелких частиц
Которые характеризуют частицы тела
Параметры мельчайших частиц

Задание 4.
Что такое изопроцесс?

Изменение двух параметров газа при неизменных массе и одном другом параметре
Изменение всех параметров газа
Увеличение значения параметра газа
Изменение одного параметра газа

Задание 5.
Как называется изопроцесс, при котором увеличивается объем и давление газа?

Изотермический
Изохорный
Изобарный
Это не изопроцесс

Ответы: 1. – 3; 2. – 4; 3. – 1; 4. – 1; 5. – 4.

Уравнение состояния идеального газа Физика

Понравилась статья? Оцени: