Введение в кинематику. Относительность движения

На этой странице вы узнаете

• Почему вы движетесь быстрее, чем бегает Усейн Болт?
• Что будет, если очень долго идти и вернуться в начальную точку?
• Как выглядит траектория Луны вокруг Солнца?

Представим, что мы сели в поезд. Поездка дальняя, мы в уютном купе, уже положили на столик свою любимую книжку, шоколадку, ждем проводника, чтобы попросить стакан чаю, а пока смотрим в окно. Поезд тронулся… А нет! Это не наш поезд поехал, а соседний, причем в противоположную сторону. Ждем еще… Вот и наше время пришло, наш поезд наконец поехал. И видим мы, как замелькали деревья за окном, дома, фонари… Будто бы все они бегут от нас куда-то туда, назад. Стоп! Ведь не они бегут, а мы едем. 

В поезде нам кажется, что мы сидим неподвижно. Книжка на столе и стакан чая, который уже принес проводник, – тоже не двигаются. А вот если на поезд смотрит человек, стоящий на улице, он считает совсем по-другому! Относительно него поезд и все, находящееся в нем, движется!

Как же понять, какие предметы на самом деле движутся, а какие неподвижны? Попробуем вместе разобраться в нашей статье.

Движение и его относительность

Понятие движения очень «скользкое». Одно тело может двигаться и покоиться в один и тот же момент времени. Как трактовать его поведение, зависит от другого тела, относительно которого мы рассматриваем движение. Да, немного запутанно, но на примере мы сейчас все поймем.

Пример 1. Допустим, мы рассматриваем движение Артура. Если мы рассмотрим его движение, стоя у неподвижного дерева, то увидим, что Артур движется с некоторой скоростью.

Пример 2. Мы также рассматриваем движение Артура. Однако в этот раз его друг будет идти рядом с ним с такой же скоростью. Тогда относительно друга Артур будет неподвижен (хотя они оба движутся, относительно все того же дерева, например).

Теперь мы можем дать определение механическому движению:

Механическое движение — это такое движение, при котором изменяется положение тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

В общем-то, основная задача механики, как раздела физики, это описание механического движения. Но надо придумать, что для этого описания нам нужно.

Примеры, о которых мы только что говорили, являются иллюстрацией двух разных систем: 

• Первый пример: система «дерево-человек», в которой Артур движется относительно дерева.
• Второй пример: система «человек-человек», где Артур остается неподвижным относительно рядом идущего товарища.

И дерево, и друг Артура сейчас сыграли очень важную роль, они стали телом отсчета – предметом, который принимается неподвижным в какой-то данной задаче. 

Отлично, теперь мы знаем, что при описании движения важно определить относительно какого тела ориентироваться. Теперь надо бы понять, как это движение описывать количественно. На сколько метров отошел Артур от дерева за 10 секунд? А как эти 10 секунд отмерять? 

Система отсчета

Для ответа на первый вопрос введем понятие системы координат. Дать строгое определение этому термину трудновато. Давайте лучше выясним на примере, что это такое.

Допустим, вы хотите точно узнать, какое положение занимает тетрадь на вашем столе. Вот у вас есть линейка. На ней отмечен каждый сантиметр и, быть может, каждый миллиметр. Что вы сделаете? 

• Вы, конечно же, приложите начало линейки к боковому краю стола, а потом посмотрите, сколько делений располагается от края стола до вашей тетради. Если длины линейки хватит, то можно будет узнать точное число сантиметров. Но этого недостаточно. Ведь тетрадь может лежать на расстоянии, допустим, 15 см от бокового края стола, но в любом месте выше и ниже. 
• Значит, нужно еще измерить расстояние от нижнего края стола таким же способом. Вот, сопоставив эти два значения, мы с точностью можем сказать, где именно лежит тетрадь: 15 см от левого края стола и 13 см от нижнего.

В данном примере система координат имеет две оси: одна направлена вдоль бокового края стола, другая – вдоль нижнего. Числа, полученные по итогам измерений по двум осям, называются координатами.

А вот если мы поднимем тетрадь со стола, нам потребуется еще измерить высоту (на сколько мы ее подняли). Тут уже будет система координат с тремя осями.

Итак, чтобы знать положение тела относительно нуля в случае движения по прямой достаточно одной координаты. А вот если тело движется в пространстве, то необходимы три координаты. Совокупность значений всех координат однозначно задает положение тела в пространстве.

Система координат должна быть привязана к телу отсчета, то есть не должна двигаться относительно него. Иначе нам потребуется новое тело отсчета (дерево, друг и т.п.). 

Честно говоря, способов задать систему координат бесчисленное множество, но примерно с 7 класса школы мы знакомы с Декартовой прямоугольной системой координат. Она выглядит следующим образом, в зависимости от того, как тело движется:

Пусть нам интересно положение точки M. 

• Если мы имеем дело с одномерной системой, то достаточно знать одну координату по оси OX.
• Если же точка M находится на плоскости и у нас двумерная система координат, то на каждую ось от точки мы опускаем перпендикулярную линию и получаем уже две координаты точки – по оси OX и OY.
• Аналогично мы делаем в том случае, если точка находится в пространстве, тогда добавляется еще одна ось OZ и соответствующая ей координата на этой оси.

С координатами вроде как разобрались, но как нам определить промежуток времени? Ну это совсем просто, достаточно иметь под рукой часы, которым вы доверяете. В физических экспериментах чаще всего используется электронный секундомер. 

Вот и все, что нам нужно для описания механического движения, эта совокупность называется системой отсчета.

Система отсчета — это совокупность тела отсчета, системы координат и прибора для измерения времени.

Только что мы с вами рассмотрели основные понятия и определения для движения. Теперь мы можем более подробно изучить, как и куда движется тело.

Почему вы движетесь быстрее, чем бегает Усейн Болт? Если мы рассматриваем движение относительно земли, то, конечно, профессиональный атлет будет быстрее нас. Однако если мы рассмотрим нашу скорость относительно Солнца, то увидим, что движемся со скоростью 30 км/с. В этом случае можно утверждать, что мы движемся относительно Солнца быстрее, чем Усейн Болт бежит по стадиону. Конечно это будет немного некорректно, ведь мы будем находиться в другой системе отсчета, нежели Усейн Болт. Но, как мы можем видеть, разные системы отсчета дают совсем разные результаты скорости тел.

Движение материальной точки

Понятие материальной точки довольно простое, однако сначала мы разберем небольшой пример. Возьмем все того же Артура с рисунков выше.

Когда Артур выбирает новую кровать в магазине, он должен знать длину своего тела, чтобы он мог комфортно спать.

Относительно системы отсчета «Кровать» размеры Артура очень важны, поэтому должны точно учитываться (с его ростом 180 см ему бы явно не подошла кроватка размером 110 см х 60 см, разве что его младшему брату трех лет). 

После похода в магазин Артур поехал с друзьями отдохнуть на берег реки, там он прилег на траву. Сейчас его размерами можно пренебречь, так как земля, безусловно, примет его в свои объятия. Относительно системы отсчета «Земля» Артур слишком мал, поэтому его размерами можно пренебречь. В этом случае Артура можно считать материальной точкой.

Материальная точка — это модель тела, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.

При этом очень важным условием того, что тело можно принять за материальную точку, является поступательность движения.

Поступательное движение — движение, при котором все точки тела движутся в одном направлении с одинаковой скоростью.

Рассмотрим еще один пример. Артур едет на велосипеде. Посмотрим на вращающееся колесо. Если мы рассмотрим каждую точку на окружности (ободе колеса), то увидим, что скорость в каждой точке направлена по касательной к этой окружности. Это пример не поступательного движения, а вращательного. Про такой вид движения мы подробно говорим в статье «Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью».

А вот если Артур дома хочет переставить на новое место шкаф, в каждый момент времени скорость всех точек шкафа совпадает и по направлению, и по модулю. Это и будет поступательным движением.

Наверное, вы заметили, что мы стали говорить о направлении скорости. Действительно, скорость всегда направлена в определенную сторону.

Например, вы вышли из дома за покупками. Ваша скорость направлена в сторону магазина. Пусть это будет положительное направление.

Теперь вы возвращаетесь с магазина. Но вы уже движетесь в сторону дома, то есть в обратную сторону. Тогда это будет отрицательное направление.

А теперь представим, что вы идете в незнакомый магазин по GPS. Он вам показывает маршрут до магазина. То есть это будет ваша траектория.

Траектория — линия, по которой движется тело.

Дойдя до магазина, вы прошли путь длиной S = S₁ + S₂.

Путь — длина траектории (всегда S > 0).

Сам путь является просто числом и не имеет направления. 

Вы прошли некоторый путь S не по прямой, но от дома отдалились лишь на некоторое расстояние r. Это расстояние r, на которое вы в итоге переместились от дома, называется перемещением тела. Перемещение имеет направление. 

Перемещение — вектор, соединяющий начало и конец траектории.

Что будет, если очень долго идти и вернуться в начальную точку? Если вы будете идти достаточно долго и вернетесь в начальную точку, то ваше перемещение r будет равно 0, несмотря на все потраченные силы. Примером такого движения является ваша прогулка, после которой вы возвращаетесь домой.

Векторные величины

Только что мы с вами упомянули понятие вектора. Но что это такое?

Вектор — это направленный отрезок, соединяющий конец и начало чего-либо.

Как мы видим на рисунке ниже, векторные величины обозначаются буквой со стрелкой над ней. Примером векторных величин является перемещение и скорость.

Что очень важно, векторные величины необходимо уметь проецировать на координатные оси. Как это сделать? Для этого давайте опустим перпендикуляры от начала вектора до оси, проделаем то же самое с концом вектора. Полученный отрезок на оси и будет нашей проекцией вектора.

Возьмем обычную машину, которая едет вдоль дороги со скоростью V₀.

Как мы видим, направление вектора скорости совпадает с направлением оси координат, поэтому при проекции мы получим числовое значение с положительным знаком (просто модуль скорости). 

Разберем другой случай. Мы наблюдаем за Артуром, который играет в футбол и начинает движение от угла поля. Допустим, мы ввели систему координат XOY, которая связана с краями поля. Также пусть он движется со скоростью V₀ под углом α к нижнему краю поля, как показано на рисунке:

Как мы видим, в этом случае скорость направлена сразу по двум осям. Тогда необходимо спроецировать вектор скорости на каждую ось.

Для этого мы должны вспомнить геометрию. У нас получилось два одинаковых (зеркальных) прямоугольных треугольника с гипотенузой V₀. Чтобы получить нижний катет (то есть проекцию на ось Х), мы должны умножить V₀ на косинус прилежащего угла α. А чтобы найти правый катет, нужно умножить V₀ на синус прилежащего угла α. 

Тогда мы получим, что:

V_x = V₀ cosα
V_y = V₀ sinα

При этом скорость, разложенную на два вектора, можем представить следующим образом: 

Для векторных величин характерны следующие действия:

• Для получения векторного значения V₀ необходимо векторно сложить величины V_x и V_y:

\(\overrightarrow{V_0}=\overrightarrow{V_x}+\overrightarrow{V_y}\)

• Для получения модуля вектора величины (само значение), необходимо воспользоваться теоремой Пифагора. Тогда:

\(V_0^2=V_x^2+V_y^2\)

Складываются вектора совсем не так, как обычные числа из-за того, что вектор – это в первую очередь направление! Нам важно получить отрезок, который будет отражать одновременное направление двух других направлений (векторов, которые мы складываем), потому придется немного поднапрячься. Существует два правила сложения векторов: 

Правило треугольника.

Мы можем переносить вектора в пространстве, не меняя их длины и направления. Тогда для того, чтобы сложить вектор \(\overrightarrow{a}\) и вектор \(\overrightarrow{b}\) давайте соединим начало одного с концом другого. Потом проведем прямую, соединяющую другую пару «начало-конец» векторов. Таким образом, мы получим вектор с, который является суммой векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\).

Правило параллелограмма.

Можно сложить вектора и другим способом. Давайте соединим концы векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\). Затем дорисуем параллелограмм (не забываем, что параллелограмм это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны). После проведем в нем диагональ – это и будет вектором нашей суммы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\). 

Оба метода одинаково хороши, каким пользоваться вы можете выбрать сами. На вкус и цвет товарищей нет, как говорится. 

Важно! Если вам нужно сложить больше двух векторов, то вы должны складывать их по очереди. То есть всегда только пару векторов. 

Примечание: еще нужно понимать, когда в уравнениях мы ставим стрелочку над буквой, а когда нет. Всегда сначала мы пишем уравнение векторно. После мы должны спроецировать его (уравнение) на оси, то есть учесть направление (положительное или отрицательное). Только после этого мы можем «снимать» значки вектора и подставлять значения с учетом знака.

Теперь давайте попрактикуемся.

Задача наподобие такой может встретиться в №5 КИМ ОГЭ.

Задача.
Представлены два графика, отражающие зависимости проекций скорости материальной точки от времени. Найдите максимальную скорость материальной точки.

Решение.
Как мы помним, полная скорость тела вычисляется по формуле: \(V^2=V_x^2+V_y^2\).Если нам нужен не квадрат скорости, а сама скорость, то достаточно извлечь квадратный корень: \(V=\sqrt{V_x^2+V_y^2}\).

Следовательно, нам нужно найти максимальное значение этого выражения. Оно достигается тогда, когда каждое слагаемое максимально. 

Посмотрим на графики: проекция скорости по оси x максимальна в момент времени \(t=4с\) и равна \(V_{x_{max}}=12,5\) м/с. 

Аналогично на втором графике максимальная скорость также достигается в момент времени 4 секунды и составляет: \(V_{y_{max}}=10\) м/с. 

Тогда искомая максимальная скорость равна:

\(V_{max}=\sqrt{V_{x_{max}}^2+V_{y_{max}}^2}=\sqrt{(12,5 м/c)^2+(10 м/с)^2}=16 м/c\).

Ответ: 16 м/c.

Классический закон сложения скоростей

Мы с вами уже начинали немного говорить о том, что одно и то же тело может совсем по-разному двигаться относительно других тел. Этот принцип фундаментален в физике и называется относительность движения. 

Относительность движения влияет не только на скорость тела, но и на его траекторию. Вид траектории определяется тем, в какой системе отсчета мы смотрим на это движение. 

Система отсчета, которая среди остальных покоится, называется лабораторной. Для наших задач это будет система отсчета, связанная с Землей. Но только не в примере ниже.

Как выглядит траектория Луны вокруг Солнца? Мы знаем, что Луна движется вокруг Земли по окружности. Но как выглядит траектория луны относительно Солнца?  В системе отсчета Земли траектория движения Луны – окружность. Но в то же время в системе отсчета Солнца уже сама Земля движется по окружности.  Потому, если сразу рассматривать движение Луны в системе отсчета Солнца, то получается, что движение Луны вокруг Земли и Земли вокруг Солнца накладываются друг на друга. В итоге мы можем видеть траекторию Луны вокруг Земли – окружность, которая «размазана» по траектории Земли вокруг Солнца – тоже окружности. В том факте, что два движения будут накладываться друг на друга, можно убедиться формульно, что мы и сделаем уже почти сейчас.

Для описания явления относительности движения существует классический закон сложения скоростей. Он выглядит следующим образом: 

\(\overrightarrow{V_{абс}}=\overrightarrow{V_{отн}}+\overrightarrow{V_{пер}}\), где \(\overrightarrow{V_{абс}}\) – абсолютная скорость тела (м/с) \(\overrightarrow{V_{отн}}\) – относительная скорость тела (м/с) \(\overrightarrow{V_{пер}}\) – переносная скорость тела (м/с)

Откуда берутся такие непонятные названия у этих скоростей? Сейчас мы их расшифруем.

• Абсолютная скорость тела – это скорость тела в лабораторной системе отсчета.
• Относительная скорость тела – это скорость тела в системе отсчета, которая движется относительно лабораторной.
• Переносная скорость тела – это скорость движущейся системы отсчета относительно лабораторной.

Давайте теперь разберемся в сути этого закона на примере.

Пусть автомобиль и мотоцикл движутся по одной трассе. Артур едет на мотоцикле в том же направлении, что и машина:

Для наблюдателя в машине закон сложения скоростей будет выглядеть следующим образом:

\(V_{пер} = V_1\)
\(V_{абс} = V_2\)

В этом случае скорость Артура относительно машины будет:

\(V_{отн}=V_{абс} — V_{пер}=V_2-V_1\)

А если Артур будет ехать на мотоцикле в обратную сторону? 

В этом случае:

\(V_{пер} = V_1\)
\(V_{абс} = -V_2\)

И тогда:

\(V_{отн}=V_{абс} -V_{пер}=-V_1-V_2\)

Отрицательное значение говорит о том, что вектор скорости будет направлен против оси OX.

Теперь настало время попрактиковаться. 

Ниже представлена задача из номера 5 КИМ ОГЭ.

Задача.
Скорость пловца относительно воды 3 м/с. Скорость течения 2 м/с. Определите скорость пловца относительно берега, если пловец плывет по течению реки.

Решение.
Давайте нарисуем рисунок.

Так как скорость пловца относительно течения (\(V_{отн}= 3 м/с\) по условию) больше нуля, то пловец и течение движутся в одну сторону. Скорость течения \(V_{теч}= 2 м/с\) по условию. 

Давайте разберемся, какая скорость абсолютная, а какая – относительная, и в какой системе отсчета мы находимся.

Так как в условии сказали про скорость пловца относительно воды, то мы находимся в системе отсчета, связанной с течением воды. Найти нам нужно скорость пловца относительно берега, то есть в лабораторной системе отсчета.

Тогда вспоминаем закон сложения скоростей: \(\overrightarrow{V_{абс}} =\overrightarrow{V_{отн}}+\overrightarrow{V_{пер}}\).

Вспомним, что \(V_{отн}\) нам дана по условию. \(V_{теч} = V_{пер}\), а найти нам надо \(V_{абс}\).

Теперь спроецируем наше уравнение на ось Ox: \(V_{абс} =V_{отн}+V_{пер}\).

Здесь все скорости положительны, ведь направлены вдоль оси Ox.

Осталось лишь подставить числа: \(V_{абс}=3 м/с + 2 м/с = 5 м/с\).

Ответ: \(5 м/с\).

Сегодня мы с вами начали изучать один из важнейших разделов физики и познакомились с понятиями, которые будут нас «преследовать» на протяжении всего обучения.

В статье «Прямолинейное движение» мы более подробно остановимся на особенностях движения. Там вы узнаете, как найти скорость тела, зная пройденное расстояние, чем отличается ускоренное и равномерное движение и так далее. 

Фактчек

• При механическом движении меняется положение тела относительно других тел.
• Система отсчета состоит из тела отсчета, системы координат и прибора для измерения времени.
• Не каждое тело может быть материальной точкой, ведь не всегда мы можем пренебречь его размерами в какой-то задаче.
• При поступательном движении все точки тела движутся в одном направлении и с одинаковой скоростью.
• Линия, вдоль которой движется тело, называется траекторией.
• Длина траектории — это путь (всегда S > 0).
• Вектор, соединяющий начало и конец траектории, называется перемещением.
• Вектором называется направленный отрезок, соединяющий конец и начало движения.
• Классический закон сложения скоростей: \(\overrightarrow{V_{абс}} =\overrightarrow{V_{отн}}+\overrightarrow{V_{пер}}\).

Проверь себя

Задание 1.
Ставится ли над буквой S, которая обозначает длину траектории, векторная стрелочка?

1. да, ставится
2. нет, не ставится
3. зависит от задачи
4. по настроению

Задание 2.
Как выглядит классический закон сложения скоростей в векторном виде?

1. \(\overrightarrow{V_0}\) = \(\overrightarrow{V_x}\) + \(\overrightarrow{V_y}\)
2. \(V_0^2\) = \(V_x^2\) + \(V_y^2\)
3. \(\overrightarrow{V_{абс}}\) = \(\overrightarrow{V_{отн}}\) + \(\overrightarrow{V_{пер}}\)
4. \(\overrightarrow{V_{отн}}\) = \(\overrightarrow{V_2}\) — \(\overrightarrow{V_1}\)

Задание 3.
Пусть S — длина траектории, а r — перемещение. Выберите верное утверждение:

1. S = r
2. S ≤ r
3. S ≥ r
4. S \(\neq\) r

Задание 4.
Можно ли считать самолет, который заезжает в ангар, за материальную точку? 

1. да, можно
2. нет, нельзя 
3. если только маленький 
4. смотря, утро это или вечер

Ответы: 1. — 2; 2. — 3; 3. — 3; 4. — 2.