Умскул учебник стремится стать лучше! Если вы наткнулись на ошибку или неточность в нашем материале - просто сообщите нам, мы будем благодарны!
Математика

Свойства функций в задачах с параметрами

28.5.2022
107

На этой странице вы узнаете

  • Можно ли представить прогресс в виде монотонной функции? 
  • Где можно встретить идеальную симметрию?
  • Как сломать функцию? 

В восточных боевых искусствах спортсмены разбивают доски руками. А вот плотники для разрезания досок используют пилу, то есть вспомогательный инструмент. Так стоит ли нам справлять с параметрами голыми руками? Или проще взять специальный инструмент? Такая же дилемма может встать и в решении задач с параметром.

Монотонность функции

В математике пилу, разумеется, не используют. Зато мы можем использовать свойства функции, которые и будут нашей опорой при решении задач с параметром. Давайте попробуем собрать свой “ящик с инструментами”. 

Возможно, до детального знакомства с темой, вам захочется вспомнить «Определение и график функции». 

Многим из нас знакома монотонная и скучная работа. Например, удалять с телефона ненужные фотографии или стирать пометки из учебника, прежде чем вернуть его в школьную библиотеку. Приходится повторять одно и то же действие на протяжении всего цикла работы — это утомительно и однообразно.

Монотонная функция так же, как и работа, не меняет своих свойств на всем промежутке. 

Монотонная функция — функция, строго возрастающая или строго убывающая на промежутке.

Разберемся со “строгостью” функций.

Строго возрастающая функция на промежутке — функция, большему значению аргумента которой из промежутка соответствует большее значение функции. 

Иными словами: чем больше х, тем больше у

Строго убывающая функция на промежутке — функция, большему значению аргумента которой соответствует меньшее значение функции. 

Или чем больше х, тем меньше у

Можно ли представить прогресс в виде монотонной функции?

Идеальная картина: чем больше мы работаем, тем лучше наш результат. С каждым днем мы все растем, становимся лучше и избегаем ошибок. То есть наш прогресс — это монотонная функция. 

К сожалению, реальность несколько другая. Прогресс никогда не будет монотонной функцией, всегда будут взлеты и падения. Ошибки — неотъемлемая часть обучения, поэтому нельзя бояться неудач. Если представить прогресс человека в виде функции, то она постоянно будет менять промежутки возрастания на промежутки убывания и обратно. 

Что еще можно сказать про возрастание функции? Вспомним «Производную», а именно — ее знаки на промежутках возрастания и убывания функции: 

  • если производная положительна на некотором промежутке, то функция возрастает на этом промежутке;
  • если производная отрицательна на некотором промежутке, то функция убывает на этом промежутке. 

Свойства монотонной функции

Монотонные функции обладают своими свойствами, которые могут пригодиться при решении задач. 

Свойство 1. Монотонная функция принимает свое значение единственный раз. 

Это можно проследить по графику: для каждого значения у будет единственное значение х

Свойство 2. Если две функции f(x) и h(x) возрастают на промежутке, то функция y = f(x) + h(x) также будет возрастать. 

Это же свойство будет работать и с убыванием функции. 

Если две функции f(x) и h(x) убывают на промежутке, то функция

y = f(x) + h(x) также будет убывать. 

Свойство 3. Если функции f(x) и h(x) возрастают на промежутке, то функция y = f(x) * h(x) тоже будет возрастать при

f(x)\geq0 

и

h(x)\geq0 

Аналогично и с убыванием.  

Пример 1. При каких значениях параметра а любое решение уравнения 4x7 + 2x + a = 0 принадлежит отрезку [−1;1]. 

Решение. 

Шаг 1. Какой является эта функция: возрастающей или убывающей? Проверим это с помощью производной. 

(4x^7)`+(2x)`+a`=28x^6+2

Заметим, что поскольку  х стоит в четной степени, то какое бы число мы ни подставили в производную, оно будет положительно. Значит, эта функция строго возрастает. 

Шаг 2. Как определить, что решение уравнения будет лежать в заданном отрезке? Решением уравнения будет пересечение функции и оси х. То есть точка этого пересечения должна лежать между −1 и 1 включительно. 

На графике это будет выглядеть так: 

А вот такие случаи нам уже не подходят, поскольку решение уравнения будет лежать за пределами заданного промежутка. 

Шаг 3. При x = — 1 функция отрицательна, а при x = 1 функция будет положительна при любом положении в заданном промежутке. Следовательно, мы можем задать ее положение на графике с помощью значения функции при x = — 1 и x = 1. 

Шаг 4. Получаем два условия, которые должны выполниться одновременно, то есть систему. 

Шаг 5. Решаем первое неравенство системы: 

4*(-1)+2*(-1)+a\leq0
a\leq6

Решаем второе неравенство системы:

4*1+2*1+a\geq0
a\geq-6

Следовательно, условия будут выполняться при

a\in[-6;6]

Ответ:

a\in[-6;6]

Итак, в наш ящик с инструментами отправляется монотонность функции, ее возрастание и убывание. 

Четность функции 

Четной функцией называется такая функция, график которой симметричен относительно оси Оу. 

Для такой функции будет выполняться условие f(x) = f( — x). 

Где можно встретить идеальную симметрию?

В природе идеальная симметрия почти не встречается: даже на миллиметр, но одна сторона животного, растения или человека будет отличаться от другой. Идеальная симметрия встречается в математике, в четной функции.  Симметрия часто используется в искусстве и архитектуре для создания гармоничной композиции. Если посмотреть на планы и фасады некоторых храмов и дворцов, созданных много лет назад, то окажется, что части здания располагаются симметрично относительно оси. 

Четность функции — это точно не универсальный инструмент, как, например, молоток. Скорее это редкий ключ, который будет большую часть времени просто лежать в ящике, но пригодится в самый ответственный момент. 

Алгоритм применения четности функций при решении задач с параметром 

Четность можно применить, когда в функции стоят модули, четные степени, четные корни и другие условия, с которыми минус “не дружит”. 

Шаг 1. Перенести все слагаемые в одну сторону и ввести f(x). 

Шаг 2. Проверить функцию на четность. Для этого нужно удостовериться, что условие f(x) = f( — x) выполняется. 
Четная функция имеет четное количество корней, кроме случая
х = 0, когда корень всего один. 

Шаг 3. Подставить х = 0. 

Шаг 4. Рассмотреть данные значения в зависимости от условия задачи. 

Почему функция имеет четное количество корней, кроме случая х = 0? Возьмем зеркало и попробуем подвигать карандаш относительно него. При этом само зеркало будет осью у

На какое бы расстояние мы не отодвинули карандаш, в зеркале всегда будет его отражение. Следовательно, мы получим два карандаша. 

Но если мы приложим карандаш к самому зеркалу, то два карандаша объединятся в один. Условно мы можем сказать, что получили один карандаш. 

Такая же логика и с корнями четной функции: пока они не будут лежать на зеркале, то есть на оси у, их всегда будет два. 

Пример 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

\sqrt{a^2+x^2}=a^2-a-14-cos5x

имеет единственное решение. 

Решение. 

Шаг 1. Введем две функции: 

f(x)=\sqrt{a^2+x^2}
g(x)=a2-a-14-cos5x

Будем действовать согласно алгоритму. Первый шаг мы уже сделали. Теперь убедимся, что полученные функции четные. 

f(-x)=\sqrt{a^2+(-x^2)}=\sqrt{a^2+x^2} 

— функция четная. 

g(-x)=a^2-a-14-cos5(-x)=a^2-a-14-cos5x

— функция четная. 

Шаг 2. Поскольку функции четные, то при решении уравнения х будет появляться второе решение ( — x). Вспоминаем зеркало: уравнение будет иметь единственное решение только при x = 0. 

Шаг 3. Подставим x = 0 в наше уравнение.

\sqrt{a^2+0^2} =a^2-a-14-cos5*0
\sqrt{a^2}=a^2-a-14-1
|a|=a^2-a-15

Подробнее про такое преобразование можно прочесть в статье «Модуль». 

a^2-a-|a|-15=0

Шаг 4. Раскроем модуль двумя способами. 

a\geq0
a^2-a-a-15=0
a^2-2a-15=0
D=4+60=64
a_{1}=\frac{-12+8}{2}=-2
a_{2}=\frac{2-8}{2}=-3

— этот корень отрицательный, а значит, он не подходит к условию раскрытия модуля. 

a<0
a^2-a+a-15=0
a^2-15=0
a^2=15
a=\pm\sqrt{15}

— в этом случае нам подходит только корень

a=-\sqrt{15}

Шаг 5. Получаем корни

a=5

и

a=-\sqrt{15}

Проверим, что при них действительно получается решение x = 0. 

Шаг 6. a = 5 

\sqrt{5^2+x^2}=5^2-5-14-cos5x
\sqrt{x^2+25}=6-cos5x

— решение только при x=0.

a=-\sqrt{15}
\sqrt{(-\sqrt{15})^2+x^2}=(-\sqrt{15})^2+\sqrt{15}-14-cos5x
\sqrt{-15+x^2}=1+\sqrt{15}-cos5x

— решение только при x=0. 

Следовательно, корни найдены верно. 

Ответ: 5, -√15

В ящик с инструментами отправляется четность функции. 

Значение функции

В заданиях с параметрами могут встречаться области определений и значений функции, наибольшее и наименьшее значения. Подробнее про эти свойства в обычных функциях можно прочитать в статье «Исследование функции с помощью производной». 

Обычно эти свойства функции применяются в заданиях, где просят исследовать функцию, а не найти количество решений. Как их применять? Рассмотрим на примере. 

Пример 1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых функция f(x) = — x2 + 4|a2 -x|+ 6x имеет хотя бы одну точку минимума. 

Решение. Для начала немного упростим функцию и раскроем модуль. 

При

a^2-x\geq 0 => x\leq a^2 
f(x)=-x^2+4a^2-4x+6x=-x^2+2x+4a^2 

— мы получили квадратное уравнение. 

Оно задает параболу с ветвями, направленными вниз. Ее вершина будет в точке

x_{в}=-\frac{2}{-2}=1

При

a^2-x<0 => x>a^2
f(x)=-x^2-4a^2+4x+6x=-x^2+10x-4a^2 

— мы получили квадратное уравнение.

Оно задает параболу с ветвями, направленными вниз. Ее вершина будет в точке

x_{в}=-\frac{10}{-2}=5

На графике должно получиться две параболы, которые объединятся в одну фигуру, похожую на горы. Как эти горы могут располагаться относительно друг друга? 

Первая гора может быть выступом для второй горы. То есть одна гора плавно будет перетекать в другую.

Они могут находиться рядом друг с другом, а между ними будет перевал. 

Вторая гора может быть выступом в первой горе. 

Случай, когда горы находятся на разных материках планеты, мы не рассматриваем, поскольку они обязательно должны быть связаны между собой, иначе бы задавались разными функциями. 

Теперь мы можем построить примерные графики функций. При этом в значении a2  будет перелом, поскольку в этой точке происходит переход от первого случая раскрытия модуля ко второму. Эта точка будет называться точкой излома. 

Точка излома — точка, в которой одна функция переходит в другую из-за раскрытия модуля. 

Как сломать функцию?

Если в функции появляется модуль, ее график будет состоять из нескольких ветвей параболы или прямых. Это связано с тем, что при раскрытии модуля получается две разные функции, соответственно, они имеют разные графики.
Однако при построении графика всей функции, два графика объединяются в один. В точке их соединения, то есть точке излома, функция меняет свое направление. 

Заметим, что точка минимума — точка, где функция перестает убывать и начинает возрастать — есть только во втором случае, когда каждая “гора” имеет вершину, а точка a2 лежит между ними. 

Следовательно, получаем неравенство 1 < a2 < 5. Разобьем его на системы из двух неравенств:

Решим первое неравенство системы: 

a^2-5<0
(a-\sqrt{5})(a+\sqrt{5})<0
a\in(-\sqrt{5};\sqrt{5})

Решим второе неравенство системы: 

a^2-1>0
(a-1)(a+1)>0
a\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)

Осталось найти ответ для системы. 

Отсюда

a\in(-\sqrt{5};-1)\cup(1;\sqrt{5})

Ответ:

a\in(-\sqrt{5};-1)\cup(1;\sqrt{5})

Для удобства решения таких заданий мы можем вывести алгоритм.

Алгоритм решения для задач на значение функции 

Шаг 1. Раскрыть модули. 

Шаг 2. Рассмотреть полученные функции и проанализировать их. Например, если получаются параболы, то нужно определить направление ветвей и положение ветвей. 

Шаг 3. Проанализировать точку излома: найти все случаи, где она может находиться в зависимости от значений параметра. 

Шаг 4. Найти значения параметра для каждого подходящего случая. 

Вот мы и собрали инструменты для решения параметров с помощью свойств функций. В наш ящик вошли:

  • монотонность функции;
  • возрастание и убывание функции;
  • четность функции и ее симметрия;
  • область определения и область значений функций;
  • наибольшее и наименьшее значение функции и точки экстремума. 

Фактчек

  • Монотонная функция — функция, строго возрастающая или строго убывающая на промежутке. Если при решении задач с параметром доказать, что функция монотонно возрастает или монотонно убывает, можно применить свойство производных. Это же свойство можно применить и для доказательства монотонности функции. 
  • Производная положительна на промежутках возрастания функции и отрицательна на промежутках убывания. 
  • Четной функцией называется такая функция, график которой симметричен относительно оси Оу. Для такой функции будет выполняться условие f(x)=f(-x). Это же условие можно применять для доказательства четности функции. 
  • В четной функции всегда будет два решения, кроме случая х = 0. При х = 0 у функции будет единственное решение. 
  • Точка излома — точка, в которой одна функция переходит в другую из-за раскрытия модуля. Зная точки излома, можно проанализировать поведение функции. 

Проверь себя

Задание 1. 

На заданном промежутке функция монотонно возрастает. Чему будет равна производная функции на этом промежутке? 

  1. Производная функции будет отрицательна.
  2. Производная функции будет положительна.
  3. Производная функции будет равна 0.
  4. Невозможно определить производную, не зная функцию. 

Задание 2. 

Выберите верные утверждения для убывающей функции.

  1. Чем больше значение х, тем больше значение у.
  2. Чем больше значение х, тем меньше значение у.
  3. Производная функции положительна.
  4. Производная функции отрицательна. 

Задание 3. 

Дана четная функция. Сколько будет решений при х = 0?

  1. Четыре решения.
  2. Два решения.
  3. Одно решение.
  4. Решений не будет. 

Задание 4. 

Что такое точка излома? 

  1. Точка, в которой одна функция переходит в другую из-за раскрытия модуля.
  2. Любая точка на функции, в которой график меняет свое направление.
  3. Точки экстремума.
  4. Асимптоты функции. 

Ответы: 1. — 2 2. — 24 3. — 3 4. — 1.

Понравилась статья? Оцени:
Читайте также:

Читать статьи — хорошо, а готовиться к экзаменам
в самой крупной онлайн-школе — еще эффективнее.

50 000
Количество
учеников
1510
Количество
стобальников
>15000
Сдали на 90+
баллов