Свойства функций в задачах с параметрами

На этой странице вы узнаете

• Можно ли представить прогресс в виде монотонной функции? 
• Где можно встретить идеальную симметрию?
• Как сломать функцию? 

В восточных боевых искусствах спортсмены разбивают доски руками. А вот плотники для разрезания досок используют пилу, то есть вспомогательный инструмент. Так стоит ли нам справлять с параметрами голыми руками? Или проще взять специальный инструмент? Такая же дилемма может встать и в решении задач с параметром.

Монотонность функции

В математике пилу, разумеется, не используют. Зато мы можем использовать свойства функции, которые и будут нашей опорой при решении задач с параметром. Давайте попробуем собрать свой “ящик с инструментами”. 

Возможно, до детального знакомства с темой, вам захочется вспомнить, что такое функция. В этом вам поможет наша статья «Определение и график функции».

Многим из нас знакома монотонная и скучная работа. Например, удалять с телефона ненужные фотографии или стирать пометки из учебника, прежде чем вернуть его в школьную библиотеку. Приходится повторять одно и то же действие на протяжении всего цикла работы — это утомительно и однообразно, но каждому человеку соответствует свой вид занятости, от которого он получает удовольствие.

Монотонная функция так же, как и работа, не меняет своих свойств на всем промежутке. А сама функция показывает зависимость одной переменной от другой, так же как человек зависим от своей работы.

Монотонная функция — функция, строго возрастающая или строго убывающая на промежутке.

Разберемся со “строгостью” функций.

Строго возрастающая функция на промежутке — функция, большему значению аргумента которой из промежутка соответствует большее значение функции. 

Иными словами: чем больше х, тем больше у. 

Строго убывающая функция на промежутке — функция, большему значению аргумента которой соответствует меньшее значение функции. 

Или чем больше х, тем меньше у. 

Что еще можно сказать про возрастание функции? Вспомним «Производную», а именно — ее знаки на промежутках возрастания и убывания функции: 

• если производная положительна на некотором промежутке, то функция возрастает на этом промежутке;

• если производная отрицательна на некотором промежутке, то функция убывает на этом промежутке. 

В жизни мы не раз сталкивались с ситуациями, когда родители могли предугадать, что мы скажем или как мы себя поведем в том или ином случае. В отношении функции и производной тоже самое. Производная, как родитель может рассказать, как поведет себя функция на определенном участке.

Крайне важной темой для решения задач, помимо знаков, является также свойства функции. Давай вместе разберемся, что это такое.

Свойства монотонной функции

Монотонные функции обладают своими свойствами, которые могут пригодиться при решении задач. 

Свойство 1. Монотонная функция принимает свое значение единственный раз. 

Это можно проследить по графику: для каждого значения у будет единственное значение х. 

Свойство 2. Если две функции f(x) и h(x) возрастают на промежутке, то функция y = f(x) + h(x) также будет возрастать. 

Это же свойство будет работать и с убыванием функции. 

Если две функции f(x) и h(x) убывают на промежутке, то функция

y = f(x) + h(x) также будет убывать. 

Свойство 3. Если функции f(x) и h(x) возрастают на промежутке, то функция y = f(x) * h(x) тоже будет возрастать при

f(x)\geq0 

и

h(x)\geq0 

Аналогично и с убыванием.  

Пример 1. При каких значениях параметра а любое решение уравнения 4x⁷ + 2x + a = 0 принадлежит отрезку [−1;1]. 

Решение. 

Шаг 1. Какой является эта функция: возрастающей или убывающей? Проверим это с помощью производной. 

(4x^7)`+(2x)`+a`=28x^6+2

Заметим, что поскольку  х стоит в четной степени, то какое бы число мы ни подставили в производную, оно будет положительно. Значит, эта функция строго возрастает. 

Шаг 2. Как определить, что решение уравнения будет лежать в заданном отрезке? Решением уравнения будет пересечение функции и оси х. То есть точка этого пересечения должна лежать между −1 и 1 включительно. 

На графике это будет выглядеть так: 

А вот такие случаи нам уже не подходят, поскольку решение уравнения будет лежать за пределами заданного промежутка. 

Шаг 3. При x = — 1 функция отрицательна, а при x = 1 функция будет положительна при любом положении в заданном промежутке. Следовательно, мы можем задать ее положение на графике с помощью значения функции при x = — 1 и x = 1. 

Шаг 4. Получаем два условия, которые должны выполниться одновременно, то есть систему. 

Шаг 5. Решаем первое неравенство системы: 

4*(-1)+2*(-1)+a\leq0

a\leq6

Решаем второе неравенство системы:

4*1+2*1+a\geq0

a\geq-6

Следовательно, условия будут выполняться при

a\in[-6;6]

Ответ:

a\in[-6;6]

Итак, в наш ящик с инструментами отправляется монотонность функции, ее возрастание и убывание. Еще одним инструментом для решения задач является четность функции. Сейчас мы узнаем, что это такое.

Четность функции 

Четной функцией называется такая функция, график которой симметричен относительно оси Оу. 

Для такой функции будет выполняться условие \(f(x) = f( — x)\). 

Четность функции — это точно не универсальный инструмент, как, например, молоток. Скорее это редкий ключ, который будет большую часть времени просто лежать в ящике, но пригодится в самый ответственный момент. 

Алгоритм применения четности функций при решении задач с параметром 

Четность можно применить, когда в функции стоят модули, четные степени, четные корни и другие условия, с которыми минус “не дружит”. 

Шаг 1. Перенести все слагаемые в одну сторону и ввести f(x). 

Шаг 2. Проверить функцию на четность. Для этого нужно удостовериться, что условие f(x) = f( — x) выполняется. 
Четная функция имеет четное количество корней, кроме случая х = 0, когда корень всего один. 

Шаг 3. Подставить х = 0. 

Шаг 4. Рассмотреть данные значения в зависимости от условия задачи. 

Почему функция имеет четное количество корней, кроме случая х = 0? Возьмем зеркало и попробуем подвигать карандаш относительно него. При этом само зеркало будет осью у. 

На какое бы расстояние мы не отодвинули карандаш, в зеркале всегда будет его отражение. Следовательно, мы получим два карандаша. 

Но если мы приложим карандаш к самому зеркалу, то два карандаша объединятся в один. Условно мы можем сказать, что получили один карандаш. 

Такая же логика и с корнями четной функции: пока они не будут лежать на зеркале, то есть на оси у, их всегда будет два. 

Такое задание может встретиться в ЕГЭ по профильной математике в №18. 

Задание. Найти все значения а, при которых уравнение \(\sqrt{x^4+(a-6)^4}=|x+a-6|+|x-a+6|\) имеет единственное решение.

Решение.
Шаг 1. Перенесем слагаемые в одну сторону.

\(\sqrt{x^4+(a-6)^4}-|x+a-6|+|x-a+6|=0\)

Шаг 2. Проверим функцию на четность и введем f(х).Найдем значение функции в точке \(-x\):

\(f(-x)=\sqrt{(-x)^4+(a-6)^4}-|-x+a-6|-|-x-a+6|\)
\(f(-x)=\sqrt{x^4+(a-6)^4}-|x-a+6|-|x+a-6|=f(x)\)
так как \((-x)^4=x^4\) и \(|-x|=|x|\)

Функция является четной, следовательно, единственным решением уравнения будет число \(х = 0\).

Шаг 3. Подставим в уравнение \(x=0\) и решим полученное уравнение относительно параметра а.

\(\sqrt{(a-6)^4}-|a-6|-|a-6|=0\)

Обозначим \(t=|a-6|\):

\(t^2-2t=0\)
\(t(t-2)=0\)
\(t=0\) или \(t=2\)

Обратная замена:

\(|a-6|=0\) или \(|a-6|=2\)
\(a=6, a=8, a=4\)

Мы получили три значения параметра, при которых один из корней исходного уравнения равен нулю.

Шаг 4. Рассмотрим три случая:
1) \(a=6\)
\(\sqrt{x^4+(6-6)^4}=|x+6-6|+|x-6+6|\)
\(\sqrt{x^4}-|x|-|x|=0\)
\(x^2-2|x|=0\)
\(|x|=0\) или \(|x|=2\) – больше одного корня

2) \(a=8\)
\(\sqrt{x^4+(8-6)^4}=|x+8-6|+|x-8+6|\)
\(\sqrt{x^4+16}-|x+2|-|x-2|=0\)

Теперь приравняем каждое подмодульное выражение к нулю:
\(x+2=0=>x=-2\)
\(x-2=0=>x=2\)

Рассмотрим три промежутка.
* \(x\leq -2\)
\(\sqrt{x^4 + 16} +(x+2)+(x-2)=0\)
\(\sqrt{x^4 + 16}=-2x\)
\(x^4+16=4x^2, x<-2\)
\(x^4-4x^2+16=0\) – нет решений 

* \(-2<x\leq 2\)
\(\sqrt{x^4 +16} -(x+2)+(x-2)=0\)
\(\sqrt{x^4 +16}=4\)
\(x=0\)

* \(x>2\)
\(\sqrt{x^4 +16}-(x+2)-(x-2)=0\)
\(\sqrt{x^4 +16}=2x\)
\(x^4 + 16 = 4х^2, x>2\)
\(x^4-4x^2+16=0\) – нет решений

Таким образом, если \(a=8\), то \(x=0\), уравнение имеет единственное решение.

3) \(a=4\) 

Получаем уравнение:
\(\sqrt{x^4 +(4-6)^4}-|x+4-6|-|x-4+6|=0\)
\(\sqrt{x^4 +16}-|x-2|-|x+2|=0\)

Уравнение такое же, как и в случае 2, поэтому \(a=4\) также подходит. 

Ответ: 4; 8

Попрактикуемся еще немного и решим другой пример!

2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

\sqrt{a^2+x^2}=a^2-a-14-cos5x

имеет единственное решение. 

Решение. 

Шаг 1. Введем две функции: 

f(x)=\sqrt{a^2+x^2}

g(x)=a2-a-14-cos5x

Если мы рассмотрим первую функцию \(f(x)=a^2+x^2\), то увидим, что она имеет корень и подкоренное выражение, которое, как мы знаем, должно быть неотрицательным. Следовательно, нужно обозначить ОДЗ:

a^2+x^2≥ 0

Заметим, что оба слагаемых всегда будут больше или равны 0. Сумма данных слагаемых может быть равна нулю, если сами слагаемые будут равны нулю. Значит решением данного неравенства будут любые значения для х, включая 0.

Далее будем действовать согласно алгоритму. Первый шаг мы уже сделали. Теперь убедимся, что полученные функции четные. 

f(-x)=\sqrt{a^2+(-x^2)}=\sqrt{a^2+x^2} 

— функция четная. 

g(-x)=a^2-a-14-cos5(-x)=a^2-a-14-cos5x

— функция четная. 

Шаг 2. Поскольку функции четные, то при решении уравнения х будет появляться второе решение ( — x). Вспоминаем зеркало: уравнение будет иметь единственное решение только при x = 0. 

Шаг 3. Подставим x = 0 в наше уравнение.

\sqrt{a^2+0^2} =a^2-a-14-cos5*0

\sqrt{a^2}=a^2-a-14-1

|a|=a^2-a-15

Подробнее про такое преобразование можно прочесть в статье «Модуль». 

a^2-a-|a|-15=0

Шаг 4. Раскроем модуль двумя способами. 

a\geq0

a^2-a-a-15=0

a^2-2a-15=0

D=4+60=64

a_{1}=\frac{-12+8}{2}=-2

a_{2}=\frac{2-8}{2}=-3

— этот корень отрицательный, а значит, он не подходит к условию раскрытия модуля. 

a<0

a^2-a+a-15=0

a^2-15=0

a^2=15

a=\pm\sqrt{15}

— в этом случае нам подходит только корень \(a=-\sqrt{15}\)

Шаг 5. Получаем корни

a=5

и

a=-\sqrt{15}

Проверим, что при них действительно получается решение x = 0. 

Шаг 6. a = 5 

\sqrt{5^2+x^2}=5^2-5-14-cos5x

\sqrt{x^2+25}=6-cos5x

— решение только при \(x=0\).

a=-\sqrt{15}

\sqrt{(-\sqrt{15})^2+x^2}=(-\sqrt{15})^2+\sqrt{15}-14-cos5x

\sqrt{-15+x^2}=1+\sqrt{15}-cos5x

— решение только при x=0. 

Следовательно, корни найдены верно. 

Ответ: 5, -√15

Таким образом, в наш ящик с инструментами отправляется и четность функции. Еще одним немаловажным инструментом для решения задач является само значение функции. Сейчас разберемся, что это такое.

Значение функции

В заданиях с параметрами могут встречаться области определений и значений функции, наибольшее и наименьшее значения. Подробнее про эти свойства в обычных функциях можно прочитать в статье «Исследование функции с помощью производной». 

Обычно эти свойства функции применяются в заданиях, где просят исследовать функцию, а не найти количество решений. Как их применять? Рассмотрим на примере. 

Пример 1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых функция f(x) = — x² + 4|a² -x|+ 6x имеет хотя бы одну точку минимума. 

Решение. Для начала немного упростим функцию и раскроем модуль. 

При

a^2-x\geq 0 => x\leq a^2 

f(x)=-x^2+4a^2-4x+6x=-x^2+2x+4a^2 

— мы получили квадратное уравнение. 

Оно задает параболу с ветвями, направленными вниз. Ее вершина будет в точке

x_{в}=-\frac{2}{-2}=1

При

a^2-x<0 => x>a^2

f(x)=-x^2-4a^2+4x+6x=-x^2+10x-4a^2 

— мы получили квадратное уравнение.

Оно задает параболу с ветвями, направленными вниз. Ее вершина будет в точке

x_{в}=-\frac{10}{-2}=5

На графике должно получиться две параболы, которые объединятся в одну фигуру, похожую на горы. Как эти горы могут располагаться относительно друг друга? 

Первая гора может быть выступом для второй горы. То есть одна гора плавно будет перетекать в другую.

Они могут находиться рядом друг с другом, а между ними будет перевал. 

Вторая гора может быть выступом в первой горе. 

Случай, когда горы находятся на разных материках планеты, мы не рассматриваем, поскольку они обязательно должны быть связаны между собой, иначе бы задавались разными функциями. 

Теперь мы можем построить примерные графики функций. При этом в значении a2  будет перелом, поскольку в этой точке происходит переход от первого случая раскрытия модуля ко второму. Эта точка будет называться точкой излома. 

Точка излома — точка, в которой одна функция переходит в другую из-за раскрытия модуля. 

Заметим, что точка минимума — точка, где функция перестает убывать и начинает возрастать — есть только во втором случае, когда каждая “гора” имеет вершину, а точка a² лежит между ними. 

Следовательно, получаем неравенство 1 < a² < 5. Разобьем его на системы из двух неравенств:

Решим первое неравенство системы: 

a^2-5<0

(a-\sqrt{5})(a+\sqrt{5})<0

a\in(-\sqrt{5};\sqrt{5})

Решим второе неравенство системы: 

a^2-1>0

(a-1)(a+1)>0

a\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)

Осталось найти ответ для системы. 

Отсюда

a\in(-\sqrt{5};-1)\cup(1;\sqrt{5})

Ответ:

a\in(-\sqrt{5};-1)\cup(1;\sqrt{5})

Для удобства решения таких заданий мы можем вывести алгоритм.

Вот мы и собрали инструменты для решения параметров с помощью свойств функций. В наш ящик вошли:

• монотонность функции;
• возрастание и убывание функции;
• четность функции и ее симметрия;
• область определения и область значений функций;
• наибольшее и наименьшее значение функции и точки экстремума. 

Таким образом, мы разобрали основные свойства функций в задачах с параметром. Теперь мы можем гордиться собой, ведь проделали такую большую работу! 

Как функция отражается в зеркале? Как не запутаться в точках минимума и максимума при расстановке знаков на прямой? Ответы на эти вопросы и многие другие вы сможете найти в статье Производная в задачах с параметром.

Фактчек

• Монотонная функция — функция, строго возрастающая или строго убывающая на промежутке. Если при решении задач с параметром доказать, что функция монотонно возрастает или монотонно убывает, можно применить свойство производных. Это же свойство можно применить и для доказательства монотонности функции. 
• Производная положительна на промежутках возрастания функции и отрицательна на промежутках убывания. 
• Четной функцией называется такая функция, график которой симметричен относительно оси \(Оу\). Для такой функции будет выполняться условие \(f(x)=f(-x)\). Это же условие можно применять для доказательства четности функции. 
• В четной функции всегда будет два решения, кроме случая \(х = 0\). При \(х = 0\) у функции будет единственное решение. 
• Точка излома — точка, в которой одна функция переходит в другую из-за раскрытия модуля. Зная точки излома, можно проанализировать поведение функции. 

Проверь себя

Задание 1. 

На заданном промежутке функция монотонно возрастает. Чему будет равна производная функции на этом промежутке? 

1. Производная функции будет отрицательна.
2. Производная функции будет положительна.
3. Производная функции будет равна 0.
4. Невозможно определить производную, не зная функцию. 

Задание 2. 

Выберите верные утверждения для убывающей функции.

1. Чем больше значение х, тем больше значение у.
2. Чем больше значение х, тем меньше значение у.
3. Производная функции положительна.
4. Производная функции отрицательна. 

Задание 3. 

Дана четная функция. Сколько будет решений при х = 0?

1. Четыре решения.
2. Два решения.
3. Одно решение.
4. Решений не будет. 

Задание 4. 

Что такое точка излома? 

1. Точка, в которой одна функция переходит в другую из-за раскрытия модуля.
2. Любая точка на функции, в которой график меняет свое направление.
3. Точки экстремума.
4. Асимптоты функции. 

Ответы: 1. — 2 2. — 24 3. — 3 4. — 1.