Умскул учебник стремится стать лучше! Если вы наткнулись на ошибку или неточность в нашем материале - просто сообщите нам, мы будем благодарны!
Математика

Производная в задачах с параметром

12.5.2022
419

На этой странице вы узнаете

  • Как функция отражается в зеркале?
  • Как не запутаться в точках минимума и максимума при расстановке знаков на прямой?
  • Может ли касательная к функции пересекать ее в другой точке?

Что может рассказать о себе функция и как раскрыть ее секреты? Как узнать поведение функции, не видя ее график? Подробнее об этом в статье. 

Производная в задачах с параметром

С помощью производной можно многое сказать о функции: где она возрастает или убывает, какие точки экстремума у нее есть, можно даже найти касательную к функции. Поэтому перед прочтением статьи рекомендуем ознакомиться с понятиями «Производная» и «Исследование функции с помощью производной». 

Вспомним несколько важных фактов, которые относятся к производной:

  • производная положительна на участках возрастания функции;
  • производная отрицательна на участках убывания функции;
  • производная равна 0 в точках экстремума. 

Представим, что мы решили покататься на велосипеде по городу. Участки, на которых мы будем ехать в гору — это участки возрастания функции. Производная в них будет положительна: мы тратим много сил, чтобы подняться по склону вверх.

Остановимся на вершине, чтобы полюбоваться красивой панорамой. Это самая высокая точка горы— точка максимума, которая является экстремумом. 

Теперь спустимся с горы. Будем ли мы прикладывать силы? Нет, велосипед все сделает за нас. То есть производная отрицательна.

Скатившись с горы, мы попадем в самую низкую точку на рельефе, то есть в точку минимума. 

Чуть подробнее про точки минимума и максимума: 

  • В точке минимума производная функции меняет знак с минуса на плюс. 
  • В точке максимума производная функции меняет знак с плюса на минус. 

Рассмотрим, как эти знания могут пригодиться в решении задач с параметром. 

Как функция отражается в зеркале?

Отражением функции в зеркале будет ни что иное, как производная. Именно она с точностью описывает поведение функции, ее характер и внешность. 

Поскольку графики функции и производной несколько отличаются друг от друга, то это будет скорее отражение в кривом зеркале, чем в обычном. 

Пример 1. При каких значениях параметра а наименьшее значение функции f(x) = x3 — 48x — a равно -133 на отрезке [-5; -2]?

Решение. 

Шаг 1. Для начала найдем производную функции. 

f'(x) = 3x2 — 48 = 3(x2 — 16) = 3(x — 4)(x + 4)

Тогда точки экстремума будут равны x = 4 и x = -4. В этих точках производная функции будет менять знак на противоположный.

Шаг 2. Определим, какая из получившихся точек будет точкой максимума, а какая точкой минимума. 

Как не запутаться в точках минимума и максимума при расстановке знаков на прямой?

Можно показать стрелочками направление функции: на промежутках с минусом стрелочки смотрят вниз, а на положительных промежутках— вверх. Так мы условно показываем график функции, а значит, можем увидеть точки минимума и максимума визуально. 

В точке -4 производная функции меняет знак с минуса на плюс, а значит, это точка минимума. 

В точке 4 функция меняет знак с плюса на минус — это точка максимума. 

Нас интересует значение функции на определенном отрезке, а именно от -5 до -2. Если мы отметим этот участок на прямой, то в него войдет только точка минимума. 

На минутку вспомним нашу поездку на велосипеде. 

Допустим, мы едем по получившейся числовой прямой, включив в точке 5  фитнес-браслет для контроля пульса. От точки 5 о точки 4 будет спуск с горы, а  от точки 4 до 4 будет подъем в гору. 

Браслет был слабо заряжен, и в точке 2 он сел. Мы не успели подняться до вершины горы в точке 4 и спуститься с нее с включенным браслетом. 

Вопрос: через какую самую низкую точку на маршруте мы проехали, пока работал фитнес-браслет? Через точку минимума, то есть -4. 

Рассмотрим эти же рассуждения на языке математики: до точки -4 функция убывает, а от -4 до 4 возрастает, после точки 4 снова убывает. Если рассмотреть отрезок от -5 до -2, то от -5 до -4 функция убывает, от -4 до -2 функция возрастает. То есть в точке минимума функция точно будет принимать наименьшее значение. 

Шаг 3. Следовательно, fнаим = f(-4) = (-4)3 — 48 * (-4) — a = -64 + 192 — a = 128 — a

4. По условию наименьшее значение функции должно быть -133, откуда 128 — a = -133
a = 261

Ответ: 261

Касательная к графику

Касательная к графику — это прямая, которая имеет с графиком только одну общую точку.

Могут возникнуть вопросы: как задать касательную к графику с помощью уравнения? Как найти координаты точки касания? Как она связана с самой функцией? И на все эти вопросы дает ответ производная функции. 

Геометрический смысл производной: если провести касательную к функции в некоторой точке, то производная функции в этой точке будет равна тангенсу угла ее наклона. 

То есть если мы найдем производную в точке касания, то найдем и угол наклона касательной. 

Рассмотрим некоторую функцию и касательную к ней. Пусть их общая точка будет в х0, также возьмем произвольную точку в х

Заметим, что касательная к графику задана уравнением y = kx + b, где k — коэффициент наклона прямой, а следовательно, k = tg(BAC)

Найдем тангенс угла наклона:

\(tg(BAC) = \frac{BC}{AC} = \frac{y — y_0}{x — x_0}\). 

Пусть функция, к которой проведена касательная — это f(x). По геометрическому смыслу производной получаем:

\(f'(x_0) = \frac{y — y_0}{x — x_0}\)

Мы взяли точку х0, поскольку по геометрическому смыслу производной нам нужна именно точка касания, а не произвольная точка. 

Выразим у:

f'(x0) * (x — x0) = y — y0
y = y0 + f'(x0) * (x — x0)

Немного поменяем обозначения. Поскольку y и f(x) — это одно и то же, то получаем:

y = f(x0) + f'(x0) * (x — x0).

Мы получили уравнение касательной:

y = f(x0) + f'(x0) * (x — x0)

Допустим, нам дана произвольная прямая y = kx + b. Как понять, при каких коэффициентах она будет касательной к графику функции?

Для этого достаточно выполнение одной из двух систем:

Может ли касательная к функции пересекать ее в другой точке? 

Ранее мы встречались с касательной к «Окружности». У них много общего с касательной к графику, но есть одно отличие.
Касательная к окружности не может пересечь ее в другой точке, а вот касательная к функции может. 

Мы не зря говорим про касательную в точке. Поскольку функция может иметь сложный график, касательная, проведенная к одной точке, может пересечь функцию в другом месте. Пример на изображении ниже. 

Рассмотрим, где можно применить касательную к функции в задачах с параметром. 

Пример 2. Дана парабола y = x2 + ax — 9, касательная к ней проходит через точку (0; -34). При каких значениях параметра а значение функции в точке касания равно 10 при положительных значениях х

Решение. 

Шаг 1. Заметим, что дана парабола, ветви которой направлены вверх. 

Шаг 2. Пусть парабола и прямая касаются в точке (x0; y0). В уравнении касательной также есть значения х и у. В условии нам дана точка, через которую проходит касательная. Следовательно, y = -34, x = 0. 

Шаг 3. Найдем производную для функции, задающей параболу: y’ = 2x + a, тогда f'(x0) = 2x0 + a. 

Шаг 4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
y = f(x0) + f'(x0) * (x — x0)


\(-34 = x_0^2 + ax_0 — 9 + (2x_0 + a)(0 — x_0)\)
\(-34 = x_0^2 + ax_0 — 9 + 2x_0 * 0 — 2x_0^2 + a * 0 — ax_0\)
\(-34 = -x_0^2 — 9\)
\(x_0^2 — 25 = 0\)
(x0 — 5)(x0 + 5) = 0
x0 = 5 и x0 = -5

Поскольку по условию х0 должно быть положительно, получаем x0 = 5. 

Тогда абсцисса точки касания равна 5, откуда можем найти значение функции в точке касания:

y = x2 + ax — 9
y = 25 + 5a — 9
y = 16 + 5a

По условию, значение функции в точке касания равно 10, отсюда:

10 = 16 + 5a
5a = -6
a = -1,2

Ответ:  — 1,2

Фактчек

  • С помощью производной можно проанализировать функцию, а именно найти промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, наибольшее или наименьшее значение функции. 
  • Касательная к графику — прямая, которая имеет с графиком только одну общую точку. 
  • Касательная задается уравнением y = f(x0) + f'(x0) * (x — x0). 
  • Чтобы найти значения коэффициентов в уравнении прямой, при которых она будет касательной к графику, достаточно выполнение одной из двух систем:

Термины

Точки экстремума — точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на отрезке. 

Проверь себя

Задание 1.
В каких точках производная равна 0?

  1. В точках экстремума.
  2. В точках, где функция возрастает.
  3. В точках, где функция убывает.
  4. Производная не может быть равна 0.

Задание 2. 
Чему равна производная функции?

  1. Тангенсу касательной, проведенной к функции.
  2. Котангенсу касательной, проведенной к функции.
  3. Синусу касательной, проведенной к функции.
  4. Косинусу касательно, проведенной к функции. 

Задание 3.
Как выглядит уравнение касательной?

  1. y = f(x0) — f'(x0) * (x — x0)
  2. y = f(x) + f'(x0) * (x — x0)
  3. y = f(x0) + f'(x0) * (x — x0)
  4. y = f(x0) + f'(x0) *(x0 — x)

Задание 4.
Чему равен коэффициент наклона k в уравнении прямой y=kx+b?

  1. Первообразной функции.
  2. Производной функции.
  3. Синусу угла наклона касательной.
  4. Тангенсу угла наклона произвольной прямой. 

Ответы: 1.— 1 2.— 1 3.— 3 4.— 2

Понравилась статья? Оцени:
Читайте также:

Читать статьи — хорошо, а готовиться к экзаменам
в самой крупной онлайн-школе — еще эффективнее.

50 000
Количество
учеников
1510
Количество
стобальников
>15000
Сдали на 90+
баллов