Равносильность уравнений (знак ⬄)

Равносильность, следствие

Если корни двух уравнений одинаковые или уравнения не имеют корней, тогда эти уравнения являются равносильными

Для обозначения равносильности применяют знак ⬄

Записывается это таким образом:  

Если решения f(x) = g(x) и p(x) = h(x) совпадают, тогда f(x) = g(x) ⬄ p(x) = h(x)

Если решения первого уравнения являются решениями второго уравнения, тогда второе уравнение является следствием первого уравнение, причем множество решений второго уравнения может содержать корни, не являющиеся решениями первого уравнения, такие посторонние корни следует исключать проверкой

Если все решения f(x) = g(x) находятся в множестве решений p(x) = h(x), тогда p(x) = h(x) следствие уравнения f(x) = g(x) 

Важно! Следствие не является равносильным переходом, так как может содержать посторонние корни

Теоремы для равносильных уравнений

1. Если один из членов уравнения перенести в другую часть уравнения с противоположным знаком, тогда получится равносильное уравнение 

f(x) — g(x) = 0 ⬄ f(x) = g(x)

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одну и ту же неравную нулю величину, тогда получится равносильное уравнение

f(x) = g(x) ⬄ f(x) * a = g(x) * a

Аналогично и с умножением или делением на выражение p(x), если p(x) имеет смысл на всей области допустимых значений f(x) и g(x)

f(x) = g(x) ⬄ f(x) * p(x) = g(x) * p(x)

3. Если дробное выражение равно нулю, тогда это можно составить равносильную систему, где числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю

frac{fleft(xright)}{gleft(xright)}  ⬄ f(x)=0 g(x)neq0 

4. Если произведение двух выражений равно нулю, тогда или первое выражение будет равно нулю, или второе, такая запись равносильна исходной

f(x)*g(x)=0 ⬄ frac{fleft(xright)=0}{gleft(xright)=0}  

5. Если возвести обе части уравнения в степень n, где n – нечетное, тогда такое уравнение будет равносильным исходному

fleft(xright)=gleft(xright) ⬄ {fleft(xright)}^n={gleft(xright)}^n

А если n – четное, и обе части уравнения неотрицательные, тогда после возведения уравнения в степень n получится равносильное уравнение

fleft(xright)geq0, gleft(xright)geq0,fleft(xright)=gleft(xright) ⬄ 

⬄  {fleft(xright)}^n={gleft(xright)}^n

6. Если некоторое число в степени f(x) равно этому же числу в степени g(x), тогда можно приравнять степени, это будет равносильным уравнением

a^{fleft(xright)} = a^{fleft(xright)} ⬄  f(x)=g(x)

Практика применения

Рассмотрим равносильное уравнение на примере

left(x+4right)^3 =  left(2+2xright)^3⬄ x+4=2+2x

Применили теорему под номером 5 для записи равносильного уравнения, у получившегося уравнения есть только один корень х = 2, и он соответствует корню изначального уравнения

Рассмотрим еще один пример уравнения

left(4x-1right)astleft(5+xright)=0

Данное уравнение равносильно такой записи по теореме под номером 4

4x-1=0  или 5+x=0

Уравнения имеют корни 1/4 и -5, значит корнями исходного уравнения являются 1/4 и -5.

Фактчек

• Равносильным переходом называют переход от одного уравнения к другому, если множество их корней совпадает.

• Следствием называют переход от первого уравнения ко второму, причем множество корней второго уравнения может содержать не только корни первого уравнения, но и посторонние корни. Следствие не является равносильным переходом.
• Существуют специальные теоремы, с помощью которых можно осуществлять равносильные переходы в уравнениях, они были подробно рассмотрены во втором блоке

Проверь себя

Найдите корни уравнений используя равносильность уравнений:

Задание 1

	(x-2)(x^4+2x^3+4) = (2x+1)(x^4+2x^3+4)

1. 4
2. -3
3. -1
4. 8

Задание 2

3^{2x}=3^{15+3x-8}

1. 1
2. 12
3. -7
4. -2

Задание 3

	6x + 4 = 2x - 8

1. -1
2. 3
3. 5
4. -3

Ответы: 1. — 2; 2. — 3; 3. — 4.