Числовая прямая, числовые множества

На этой странице вы узнаете

• Как в математике появился 0?
• Как числовая прямая связана с историей?
• Можно ли возвести число в квадрат и получить отрицательное число?

А вы знали, что операции сложения или вычитания можно нарисовать? Умение складывать числа в уме является результатом навыка простого счета, которым мы занимаемся на уроках математики. Практикуясь, мы понимаем: чтобы сложить четыре ананаса и два ананаса, не нужно считать все шесть, ведь можно начать с четырех и посчитать после этого еще два. Именно для этого и придумали числовую прямую – от цифры 4 проводят линию, добавляя 2 и получая 6.

Числовая прямая

В математике есть такое понятие, как «числовая прямая», но что она из себя представляет и для чего она нужна? 

Представим, что нам нужно начертить отрезок длиной 5 сантиметров. Пользуясь линейкой, мы отмечаем начало нашего отрезка в точке 0, а далее каждый наш шаг вправо увеличивает наш отрезок на 1 сантиметр. Числовую прямую можно сравнить с линейкой, передвигаясь вправо, мы увеличиваем наше число на один, передвигаясь влево, мы уменьшаем число на один. Только линейка имеет начало и конец, а числовая прямая конца не имеет.

Числовая прямая – это прямая, которая имеет начальную точку, направление и единичный отрезок.

Начало отсчета принято обозначать точкой 0. Луч, который выходит вправо из начала отсчета, называется положительная полуось. Луч, который выходит влево из начала отсчета, называется отрицательная полуось. 

Как в математике появился 0? Мы часто слышим, что 0 – это ничего, но так ли это? Вокруг этого числа всегда было большое количество споров. Согласно историческим источникам 0 появился еще в четвертом веке до нашей эры, но им долго никто не пользовался, так как тогда в математике было не 10 цифр, а 60.  Но родиной нашего современного 0 считается Индия. Именно там в VI веке нашей эры математики присоединили его к девяти цифрам (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), которыми мы пользуемся до сих пор. Итогом этого решения стала возможность обозначать любые числа именно этими цифрами, несмотря на то, каким бы большим это число не было.

Числовая прямая – волшебная прямая. Она помогает увидеть все числа, кто кому является «соседом». Ее можно сравнить с мини-калькулятором, с помощью которого мы можем складывать числа, а также производить другие математические операции.

Часто мы слышим, что числовую прямую называют координатной прямой. Почему так? Каждое число, отмеченное на прямой, имеет свою координату, отсюда и второе название этой математической концепции. Введем новое определение.

Координата точки – число, которое показывает положение точки на числовой или координатной прямой.

Например, отметим на координатной прямой две точки М и С, тогда получим, что число 2 имеет координату М, а число 4 имеет координату С. Данное утверждение можно немного переформулировать, но суть останется: точка М имеет координату 2, а точка С – координату 4.

Давайте рассмотрим эту тему более детально на примере.

Задание. Известно, что на координатной прямой точка A удалена от начальной точки на 4 единичных отрезка вправо; точка B удалена от точки A на 5 единичных отрезков влево; точка C находится справа от точки A и расстояние между ними составляет 3 единичных отрезка. Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки A, B и C.

Решение.
Шаг 1. Начертим координатную прямую и отметим на ней точку А, которая удалена от начальной точки на 4 единичных отрезка. Из этого можно сделать вывод, что точка А имеет координату 4 в положительной полуоси.

Шаг 2. На этой же координатной прямой отметим точку В, которая удалена от точки А на 5 единичных отрезка влево, следовательно, от точки А с координатой 4 отмечаем 5 единичных отрезка влево. Получим точку В с координатой -1 в отрицательной полуоси.

Шаг 3. На этой же координатной прямой отметим точку С, которая удалено от точки А на 3 единичных отрезка вправо, следовательно, от точки А с координатой 4 отмечаем 3 единичных отрезка право. Получим точку С с координатой 7 в положительной полуоси.

Ответ:

Такие задания могут встретиться и на экзамене. Например, в ОГЭ в задании №7.

Задание. На числовой прямой отмечены точки С, М и Р. Установите соответствие между точками и координатами. В ответ запишите последовательность чисел.

Решение. Первым шагом рассмотрим точку С на данной числовой прямой. Увидим, что точке С соответствует координата -4, то есть подходит вариант ответа под цифрой 5.

Вторым шагом рассмотрим точку М. Увидим, что точке М соответствует координата 1, то есть подходит вариант ответа под цифрой 4.

Третьим шагом рассмотрим точку Р. Увидим, что точке Р соответствует координата 10, то есть подходит вариант ответа под цифрой 2.

Таким образом, получаем С – 5, М – 4, Р – 2. Так как в ответ нас просят записать последовательность цифр, следовательно, буквы опускаем и получаем 542.

Ответ: 542

А чем координатная прямая отличается от координатного луча? Казалось бы, очень похожие понятия, но все же разница между ними есть, поэтому давайте разберемся подробнее.

Координатный луч – это часть числовой прямой, расположенная по одну сторону от начальной точки, лежащей на этой прямой.

Обращаясь к линейке, мы можем увидеть на ней определенные деления или единичные отрезки. На тахометре, который измеряет обороты двигателя и даже на градуснике есть определенные деления. Эти деления образуют шкалу, которая используется для измерения какой-то определенной величины. Например, шкала в градуснике показывает температуру тела, благодаря которой мы понимаем, здоровы мы или нет.

Шкала – ряд отметок или делений, расположенный в определенном порядке и характеризующий измеряемую величину.

Шкала имеет деления шкалы – это равные части, на которые поделена шкала, и начальную точку шкалы – точка отсчета, например, для градусника это 34 градуса. Но углубляясь в тему «шкала», не стоит забывать про понятие «цена деления», давайте обозначим, что это такое.

Цена деления – величина между двумя соседними отметками на шкале, например, 1 сантиметр или 1 градус. 

Это может быть и 10 сантиметров, смотря, какая цена деления. А как определить эту цену деления? Давайте рассмотрим определенный алгоритм, который поможет нам.

Алгоритм определения цены деления

Шаг 1. Нужно взять два любые значения на шкале. Лучше брать два соседних, которые обозначены цифрами.

Шаг 2. Найти разность между ними, то есть из большего значения вычесть меньшее значение.

Шаг 3. Посчитать количество делений, которые могут находиться между нашими выбранными значениями. Здесь для большего понимания можно вспомнить линейку, у которой между значениями сантиметров есть маленькие деления, обозначающие миллиметры.

Шаг 4. Результат, который был получен во втором шаге, нужно поделить на количество делений, полученных в третьем шаге. Это и будет цена деления нашей шкалы.

Пример. Найти цену деления данной линейки, используя алгоритм.

Шаг 1. Возьмем два соседних числа, например, 10 сантиметров и 20 сантиметров.

Шаг 2. Найдем разность между этими числами: 20 см — 10 см = 10 см.

Шаг 3. Считаем количество делений между этими числами, получаем 5 делений.

Шаг 4. Теперь нужно поделить результат второго шага на результат третьего шага: 10 см : 5 = 2 см, то есть цена деления данной линейки 2 сантиметра.

Как числовая прямая связана с историей? Числовую прямую можно сравнить со шкалой времени. За ноль, то есть за точку отсчета, принято считать рождение Христа (точка отсчета, которая воспринимается за основу у людей, пользующихся Григорианским календарем). Вправо от этой даты по положительной полуоси идут годы Нашей Эры, до бесконечности, потому что никто не знает конца нашего времени. Влево от этой даты и до бесконечности по отрицательной полуоси идут годы До Нашей Эры, так как когда началась история тоже никто не знает. Но при этом отсчет до нашей эры идет все равно слева направо, даже несмотря на то, что числа расставлены наоборот. Именно поэтому 800 г до н.э. был позже, чем 1000 г. до н.э.

В математике числовую прямую мы используем для решения уравнений и неравенств, при сложении и вычитании чисел, а также для изучения различных свойств тех или иных функций. Числовая прямая является основой для понимания пределов, непрерывности и дифференцируемости функций.То есть числовая прямая – очень важный инструмент.

А что можно сказать о том, какие именно числа мы можем отметить на числовой прямой? Это крайне важно, поэтому давайте разберемся в этом!

Противоположные числа

Понятие противоположных чисел тесно связано с числовой прямой, поэтому обратимся к этой теме еще раз. Рассмотрим числовую прямую, на которой отмечено две точки:

точка Е с координатой -3 и точка F с координатой 3.

Эти две точки равноудалены от начала отсчета, но находятся в разных полуосях. Точка Е удалена на 3 единичных отрезка в отрицательной полуоси, а точка F удалена на 3 единичных отрезка в положительной полуоси. Именно такие числа и будут называться противоположными.

Противоположные числа – два числа, значение которых равно по модулю, но имеют противоположные знаки. 

Возможно, для большего понимания вам потребуется изучение понятия «‎модуль», который вы можете найти в нашей статье.

Примеры противоположных чисел:

Свойства противоположных чисел

Свойство 1. Для каждого числа существует только одно противоположное число, так как только одна точка будет симметрична исходной относительно нуля. Исключением будет 0, у которого нет противоположных чисел. 

Свойство 2. Противоположные числа имеют противоположные знаки, то есть первое число будет иметь знак «+», а второе «-». Но при этом модули противоположных чисел равны.

Свойство 3. Если число n является противоположным числу m, значит число m будет противоположным числу n. Данное свойство также называют свойством симметричности.

Свойство 4. Точки, которые будут соответствовать двум противоположным числам, всегда находятся на одинаковом расстоянии от начала координат на числовой прямой.

Свойство 5. Сумма противоположных чисел всегда равна 0: \(p + (-p) = 0\)

Таким образом, мы научились находить противоположные числа. Важно не путать противоположные числа с взаимно обратными числами. Чем они отличаются? Давайте углубимся в это подробнее.

Взаимно обратные числа

Математики уже нашли большое количество интересных фактов не только у простых чисел, но и у дробей. Если мы возьмем дробь \(\frac{2}{5}\) и перевернем ее, то есть поменяем местами числитель и знаменатель, то получим дробь \(\frac{5}{2}\). 

Таким образом, мы выяснили, что дробь \(\frac{2}{5}\) является обратной к дроби \(\frac{5}{2}\), это два взаимно обратных числа. А как это доказать? Давайте вычислим произведение этих дробей:

\(\frac{2}{5}*\frac{5}{2}=1\)

Если необходимо вспомнить, как правильно работать с дробями, то в этом вам может помочь наша статья «Дроби».

Таким образом, мы получили новое определение.

Взаимно обратные числа – числа, произведение которых дает 1.

Как найти обратное число?

— Числом, обратным 1, является само число 1.
— Для числа 0 обратного числа не существует.
— Обратным числу \(\frac{а}{b}\) является число \(\frac{b}{a}\).
— Если \(p\) – натуральное число, то обратным ему будет дробь \(\frac{1}{p}\).
— Чтобы найти обратное число для десятичной дроби или смешанной дроби, нужно сначала записать данное число в виде обыкновенной дроби, а затем эту дробь «‎перевернуть».

Пример. Найдите число, обратное \(6\frac{8}{9}\).

Решение. Для начала определим вид исходной дроби. \(6\frac{8}{9}\) – дробь смешанного типа, поэтому ее нужно записать в виде обыкновенной дроби:

\(6\frac{8}{9}=\frac{6*9 + 8}{9}=\frac{62}{9}\)

Далее нужно это дробь перевернуть, то есть поменять местами числитель и знаменатель: 

\(\frac{62}{9}\), где \(62\) – число в числителе, а \(9\) – число в знаменателе, перевернув дробь, получим: \(\frac{9}{62}\).

Ответ: \(\frac{9}{62}\)

Таким образом, мы научились находить взаимно обратные числа. Но это далеко не все числа, которые мы можем изобразить на числовой прямой, поэтому давайте разбираться дальше.

Действительные числа

Множество всех чисел, включая рациональные, иррациональные, натуральные и целые числа, образуют множество действительных чисел. Для этого понятия введено обозначение буквой R. Числовая прямая является геометрической моделью множества действительных чисел.

Возможно, вам захочется вспомнить, что такое рациональные или иррациональные числа. В этом поможет наша статья: «Действия с натуральными числами».

Примером множества действительных чисел могут послужить следующие числа:

\(7,2038, -24, \frac{2}{9}, -53\frac{12}{47}, -3,15, -19,75283584…,e,\pi , -\sqrt{10}, \sqrt[7]{6},cos(6)\)

То есть это все числа, которые мы рассматриваем в курсе школьной математики.

Возможно ли возвести число в квадрат и получить отрицательное число? В школьном курсе математики мы рассматриваем модель возведения любого числа в квадрат, при котором получается положительное число, например: \((-2)^2=4\) или \(3^2=9\). Действительные числа входят в состав комплексных чисел. Но что это за числа? При решении кубических уравнений, математик Кардано под знаком квадратного корня получал отрицательные числа. Именно тогда и появилась необходимость использования комплексных чисел. Комплексное число представляет собой число вида a+bi, где a и b – действительные числа, а i – мнимая часть. Для этих чисел должно выполняться равенство: \(i^2=-1\).  Таким образом, рассматривая комплексные числа, можно сказать, что мнимая часть при возведении в квадрат дает отрицательное число.

Как мы уже могли заметить, действительные числа могут быть и положительными, и отрицательными. Даже 0 является действительным числом. С помощью этого множества можно описать различные величины, значение которых непрерывно меняются через единичное значение (единичный отрезок) этой величины.

Факты, которые могут быть интересны

— Действительные числа полностью заполняют все пространство на координатной прямой, то есть заполняют все точки.

— Любой точке на числовой прямой соответствует единственное действительное число – координата этой точки. При этом каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой. То есть, между действительными числами и точками координатной прямой существует взаимно однозначное соответствие.

Теперь мы понимаем, что на координатной прямой можно изображать любые числа, но как правильно изобразить дроби? Предлагаем разобрать это немного подробнее.

Изображение дробей на координатном луче

Говоря о дробях, мы имеем в виду не целое число, а какую-то часть от этого числа. Более подробно в эту тему можно углубиться в статье «Дроби». Но уже можно сказать, что дроби могут быть обыкновенными и десятичными. Для обоих видов нужно правильно выбрать единичный отрезок на координатном луче. 

Давайте разберем, как определить координату обыкновенной дроби. Для начала представим дробь: \(\frac{n}{p}\), где n – числитель дроби, а р – знаменатель.

Для удобства единичный отрезок нужно поделить на р частей. Таким образом, получим новые единичные отрезки внутри нашего основного единичного отрезка, который будет равен \(\frac{1}{p}\). Далее нужно взять \(\frac{1}{p}\) и отложим от точки 0 на координатной прямой n раз. 

Точку, изображающую на координатном луче дробь \(\frac{n}{p}\), называют точкой с координатой \(\frac{n}{p}\). 

Пример. Точка А имеет координату \(\frac{1}{4}\), точка В имеет координату \(\frac{2}{4}\). Обозначьте эти точки на координатном луче.

Решение. Представим дробь \(\frac{1}{4}\) в виде \(\frac{n}{p}\), где \(n=1\), а \(p=4\). Разделим единичный отрезок на р частей, следовательно, на 4 части. Аналогичные действия проделаем с дробью \(\frac{2}{4}\), где \(n=2\), а \(p=4\).

Для точки А отмерим 1 единичный отрезок от начала координат, то есть 1 часть, а для точки В отмерим 2 единичных отрезка от начала координат. Таким образом, получим две точки на координатном луче.

Изображение обыкновенных дробей на числовой прямой может встретиться в задании №7 в ОГЭ. Давайте разберем один из таких примеров.

Задание. Точки K, L, M и N изображены на числовой прямой. Какая из точек соответствует значению \(\frac{87}{18}\)?
1. K
2. L
3. M
4. N

Решение. Дробь \(\frac{87}{18}\) является неправильной, поэтому переведем ее в смешанную:

\(8718=4\frac{15}{18}\).

Очевидно, что \(4<41518<5\).

Если выполнить деление столбиком с точностью до сотых, то получим:

\(4\frac{15}{18}=4,83\)

Число 4,83 ближе к 5, чем к 4. Таким образом, \(\frac{87}{18}\) соответствует точке N, которая указана под порядковым номером 4.

Ответ: 4

С обыкновенными дробями разобрались. А как определить координаты десятичных дробей? Давайте  разберемся на примере. Попробуем изобразить точку 0,58 на числовой прямой. 

Для начала поделим наш единичный отрезок на 10 равных частей. Или выберем такой отрезок, который будет легко поделить на 10 частей:

Отсчитываем от точки 0 пять частей и отмечаем точку 0,5:

Теперь разделим отрезок от 0,5 до 0,6 еще на 10 равных частей. Отсчитаем от 0,5 еще восемь сотых долей и отметим точку 0,58:

Изображение десятичных дробей, как и обыкновенных, на числовой прямой может встретиться в задании №7 в ОГЭ. Давайте разберем один из таких примеров.

Задание. На координатной прямой отмечены точки А, В и С. Установите соответствие между точками и их координатами. В ответ запишите последовательность чисел.

Решение. Точка А находится между числами –1 и –2. Ей подходит координата -1,5 под цифрой 2.

Точка В находится между числами 1 и 2. Ей подходит координата 1,5 под цифрой 4.

Точка С находится  между числами 3 и 4. Ей соответствует координата 3,2 под цифрой 5.

Таким образом, получаем А – 2, В – 4, С – 5. Так как в ответ нас просят записать последовательность цифр, следовательно, буквы опускаем и получаем 245.

Ответ: 245

Таким образом, мы научились изображать дроби на координатном луче. Но на координатном луче можно выполнять и сложение чисел, что сейчас и разберем подробнее.

Сложение чисел с помощью координатной прямой

В начале этой статьи мы уже затронули тему сложения чисел с помощью координатной прямой. Мы знаем, что если к числу a прибавить число n, то число a увеличится на n единиц. При этом, если мы к числу а прибавим число —n, то оно уменьшится на n единиц. А как это сделать на прямой? Все просто! Зная координату точки а, нам нужно отмерить n единичных отрезков вправо, если мы складываем числа, или влево, если мы вычитаем n из а.

Пример. Показать на координатной прямой значение выражения 7-6.

Решение. Представим выражение \(7-6\) в виде \(a-n\), где \(a=7\), а \(n=-6\). Также данное выражение можно представить следующим образом: \(а-n=a+(-n)\)

Для начала начертим координатную прямую и отметим на ней точку 7. Так как число n имеет отрицательный знак, мы отмеряем 6 единичных отрезков влево, начиная от точки 7. Получаем число 1.

В этой статье мы изучили понятие числовой прямой, а также научились работать с ней. Но что такое корень и как не запутаться в его свойствах? Ответы на эти и многие другие вопросы вы сможете найти в статье «Понятие корня». 

Фактчек

• Числовая прямая – это прямая, которая имеет начальную точку, направление и единичный отрезок.
• Координата точки – число, которое показывает положение точки на числовой или координатной прямой.
• Координатный луч – это часть числовой прямой, расположенная по одну сторону от начальной точки, лежащей на этой прямой.
• Шкала – ряд отметок или делений, расположенный в определенном порядке и характеризующий измеряемую величину.
• Взаимно обратные числа – числа, произведение которых дает 1.
• Противоположные числа – два числа, значение которых равно по модулю, но имеют противоположные знаки. 

Проверь себя

Задание 1.
Какое число будет взаимно обратным для числа \(\frac{7}{8}\)?

1. \(-\frac{8}{7}\)
2. \(\frac{8}{7}\)
3. \(-\frac{7}{8}\)
4. \(1\)

Задание 2.
Какое число будет противоположным для числа 72?

1. 73
2. 0
3. -72
4. 27

Задание 3.
Найдите цену деления данной шкалы:

1. 10 мл
2. 5 мл
3. 15 мл
4. 100 мл

Задание 4.
Что такое числовая прямая?

1. Прямая, которая имеет начальную точку, направление и единичный отрезок.
2. Прямая, которая касается окружности в двух точках.
3. Любая прямая на плоскости.
4. График квадратного уравнения

Ответы: 1. – 2; 2. – 3; 3. – 1; 4. – 1.