Задачи на нахождение КПД тепловых машин с использованием графиков

На этой странице вы узнаете

• В чем прелесть фазовых переходов?
• Что лучше выбрать: Mercedes или BMW?
• Что такое гибрид, и причем здесь тепловой двигатель?

Люди научились летать в космос, покорять недра Земли и погружаться в глубины океана. Эти и другие достижения возможны благодаря способности извлекать максимум пользы из имеющихся ресурсов,а именно получать тепловую энергию различными доступными способами. Сегодня мы разберем задачи, которые заставят тепловые процессы играть на нашей стороне. 

Тепловые машины и их КПД

Рекомендация: перед тем как приступить к выполнению задач неплохо было бы повторить тему «Уравнение состояния идеального газа». Но ключевую теорию, на которой основано решение задач, сейчас разберем вместе.

В чем прелесть фазовых переходов? Вспомним, что фазовые переходы — это переход из одного агрегатного состояния в другое. При этом может выделяться большое количество теплоты. Именно благодаря этому они и стали такими полезными для нас. Например, в ядерных реакторах воду используют в качестве рабочего тела, то есть она нагревается вследствие получения энергии из ядерных реакций, доходит до температуры кипения, а затем под большим давлением уже в качестве водяного пара воздействует на ротор генератора, который вращается и дает нам электроэнергию! На этом основан принцип работы атомных электростанций. А самый простой пример фазового перехода — образование льда на лужах в морозные ноябрьские дни. Правда о выделении тепла здесь речи не идет.

Мы не почувствуем, как испарится капелька у нас на руке, потому что это не требует много тепла от нашего тела. Но мы можем наблюдать, как горят дрова в мангале, когда мы жарим шашлык, потому что выделяется огромное количество теплоты.

А зачем мы вообще рассматриваем эти фазовые переходы? Все дело в том, что именно фазовые переходы являются ключевым звеном во всех процессах, где нас просят посчитать КПД, от них нашему рабочему телу и подводится теплота нагревателя.

Человечество придумало такие устройства, которые могут переработать тепловую энергию в механическую.

Тепловые двигатели, или тепловые машины, — устройства, способные преобразовывать внутреннюю энергию в механическую. 

Их устройство довольно просто: они на входе получают какую-то энергию (в основном — энергию сгорания топлива), а затем часть этой теплоты расходуется на совершение работы механизмом. Например, в автомобилях часть энергии от сгоревшего бензина идет на движение. Схематично можно изобразить так:

Рабочее тело — то, что совершает работу — принимает от нагревателя количество теплоты Q₁, из которой A уходит на работу механизма. Остаток теплоты Q₂ рабочее тело отдает холодильнику, по сути — это потеря энергии.

Физика не была бы такой загадочной, если б все в ней было идеально. Как и в любом процессе или преобразовании, здесь возможны потери, зачастую очень большие. Поэтому «индикатором качества» машины является КПД, с которым мы уже сталкивались в механике:

Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины — это отношение полезной работы двигателя к энергии, полученной от нагревателя.

\(\eta = \frac{A}{Q_1}\) , где \(\eta\) —  КПД, \(A\) — работа газа (Дж), \(Q_1\) — количество теплоты, полученное от нагревателя (Дж).

Мы должны понимать, что КПД на практике никогда не получится больше 1, поскольку всегда будут тепловые потери. 

Полезную работу можно расписать как Q₁ — Q₂ (по закону сохранения энергии). Тогда формула примет вид:

\(\eta = \frac{Q_1 — Q_2}{Q_1} = 1 — \frac{Q_2}{Q_1}\)

Давайте попрактикуемся в применении данной формулы на задаче номер 9 из ЕГЭ.

Задание. Тепловая машина, КПД которой равен 60%, за цикл отдает холодильнику 100 Дж. Какое количество теплоты за цикл машина получает от нагревателя? (Ответ дайте в джоулях).

Решение:

Давайте сначала вспомним нашу формулу для КПД:

\(\eta = \frac{Q_1 — Q_2}{Q_1}\),

где \(Q_1\) — это теплота, которую тело получает от нагревателя, \(Q_2\) — теплота, которая подводится к холодильнику.

Тогда отсюда можно вывести искомую теплоту нагревателя:

\(\eta Q_1 =Q_1-Q_2\)
\(\eta Q_1 — Q_1= -Q_2\)
\(Q_1=\frac{- Q_2}{\eta-1}=\frac{-100}{0,6-1}=250 Дж\).

Ответ: 250 Дж

КПД никогда не достигнет 100% (или 1), поскольку теплообмена с окружающей средой вряд ли удастся избежать. Возможно ли создать такой двигатель, КПД которого было бы приближено  к единице?

Цикл Карно

Мы знаем, что потери — это плохо, поэтому должны предотвращать их. Как это сделать? Нам ничего делать не нужно, за нас уже все сделал Сади Карно, французский физик, разработавший цикл, в котором машины достигают наивысшего КПД. Этот цикл носит его имя и состоит из двух изотерм и двух адиабат. Рассмотрим, как этот цикл выглядит в координатах p(V).

• Температура верхней изотермы 1-2 — температура нагревателя (так как теплота в данном процессе подводится).
• Температура нижней изотермы 3-4 — температура холодильника (так как теплота в данном процессе отводится).
• 2-3 и 4-1 — это адиабатические расширение и сжатие соответственно, в них газ не обменивается теплом с окружающей средой.

Цикл Карно — цикл идеальной тепловой машины, которая достигает наивысшего КПД. 

Формула, по которой можно рассчитать ее КПД выражается через температуры:

\(\eta = \frac{T_1 — T_2}{T_1} = 1 — \frac{T_2}{T_1}\), где  T1 — температура нагревателя,   T2 — температура холодильника.

Что лучше выбрать: Mercedes или BMW? Не то круто, что красиво, а то, что по Карно работает! Поэтому присматривайте такой автомобиль, у которого высокий КПД. Интересно, что максимальный уровень КПД двигателя внутреннего сгорания автомобилей на данный момент всего около 43%. По официальным заявлениям компания Nissan Motor с 2021 года испытывает прообраз двигателя нового поколения с планируемым КПД 50%.

При решении задач часто данные предлагаются в виде графика зависимости давления от объема идеального газа. Такая зависимость может быть использована при определении работы, выполненной газом.

Рассмотрим поведение газа при изобарном его расширении. Помним, что давление газа (р) остается постоянным, а объем линейно возрастает на величину \(\DeltaV=V_1-V_2\).

Работа газа при этом равна \(A=p\Delta V. На графике зависимости \(p(V)\) это произведение соответствует площади заштрихованной фигуры. Если расширить такой метод на иную зависимость, отличную от изобарного расширения, то площадь соответствующей фигуры позволит вновь определить работу газа: \(A=\frac{(p_2+p_1)(V_2-V_1)}{2}\).

При наличии диаграммы перехода газа, представляющей собой замкнутый цикл, работу, выполненную газом, можно рассчитать по площади, ограниченной графиком.

Этот метод значительно упрощает решение расчетных задач.  

Что такое гибрид, и при чем здесь тепловой двигатель? Тепловой двигатель, выбрасывая отработавшие газы, вместе с теплом увеличивает содержание вредных веществ в атмосфере. Значительно уменьшить выбросы можно, применяя иные виды двигателей. Например, электрический. К сожалению, технологии, доступные человечеству, не позволяют использовать электромобили на дальних расстояниях. Чтобы не оказаться в неприятной ситуации, когда электрическая энергия подошла к концу, а до ближайшей заправки ехать и ехать, придумали применение двух видов двигателей: электрического и двигателя внутреннего сгорания в одном автомобиле. Их назвали гибридами.

Приступим к задачам

Задачи на данную тему достаточно часто встречаются в задании 27 из КИМа ЕГЭ. Давайте разберем некоторые примеры.

Задание 1. Одноатомный газ совершает циклический процесс, как показано на рисунке. На участке 1–2 газ совершает работу A₁₂ = 1520 Дж. Участок 3–1 представляет собой адиабатный процесс. Количество теплоты, отданное газом за цикл холодильнику, равно |Q_хол| = 4780 Дж. Найдите работу газа |A₁₃| на адиабате, если количество вещества постоянно.

Решение:

Шаг 1. Первое, с чего лучше начинать задачи по термодинамике — исследование процессов. 

Посмотрим на участок 1-2 графика: продолжение прямой проходит через начало координат, поэтому график функционально можно записать, как p = aV, где a — какое-то число, константа. Графиком является не изотерма, поскольку график изотермы в координатах p-V — гипербола. Из уравнения Менделеева-Клапейрона следует: \(\frac{pV}{T} = const\). Отсюда можно сделать вывод, что возрастает температура, так как растут давление и объем.  Температура и объем растут, значит, увеличивается и внутренняя энергия и объем соответственно.

Участок 2-3: процесс изохорный, поскольку объем постоянен, следовательно, работа газом не совершается. Рассмотрим закон Шарля: \(\frac{p}{T} = const\). Давление в этом процессе растет, тогда растет и температура, поскольку дробь не должна менять свое значение. Делаем вывод, что внутренняя энергия тоже увеличивается.

Участок 3-1: адиабата по условию, то есть количество теплоты в этом переходе равно нулю из определения адиабатного процесса. Работа газа отрицательна, так как его объем уменьшается. 

Оформим все данные в таблицу. 

Определим знаки Q, используя первый закон термодинамики: Q = ΔU + A.

Из этих данных сразу видно, что количество теплоты, отданное холодильнику — это количество теплоты в процессе 2-3.

Шаг 2. Первый закон термодинамики для процесса 1-2 запишется в виде: 

Q₁₂ = ΔU₁₂ + A₁₂. 

Работа A12 — площадь фигуры под графиком процесса, то есть площадь трапеции: 

\(A_{12} = \frac{p_0 + 2p_0}{2} * V_0 =\frac{3p_0V_0}{2}\). 

Запишем изменение внутренней энергии для этого процесса через давление и объем. Мы выводили эту формулу в статье «Первое начало термодинамики»:

\(\Delta U_{12} = \frac{3}{2}(2p_0 * 2V_0 — p_0V_0) = \frac{9p_0V_0}{2}\). 

Заметим, что это в 3 раза больше работы газа на этом участке: 

\(\Delta U_{12} = 3A_{12} \rightarrow Q_{12} = 4A_{12}\).

Шаг 3. Работа цикла — площадь фигуры, которую замыкает график, тогда. \(A = A₁₂ — |A₃₁|\). С другой стороны, работа цикла вычисляется как разность между энергиями нагревателя и холодильника: \(A = Q₁₂ — |Q₃₁|\).

 Сравним эти формулы:

\(Q₁₂ -|Q₃₁| = A₁₂ — |A₃₁|\),

подставим выражения из предыдущего пункта:

\(4A₁₂ — |Q₃₁| = A₁₂ — |A₃₁|\) \(\rightarrow\) \(|A₃₁| = -3A₁₂ + |Q₃₁| = -31520 + 4780 = 220\) Дж.

Ответ: 220

Задание 2. Найти КПД цикла для идеального одноатомного газа.

Решение:

Шаг 1. КПД цикла определим по формуле: \(\eta = \frac{A}{Q}\), где \(Q\) — количество теплоты от нагревателя, а \(А\) — работа газа за цикл. Найдем \(А\) как площадь замкнутой фигуры: \(A = (2p₁ — p₁)(3V₁ — V₁) = 2p₁V₁\).

Шаг 2. Найдем процесс, который соответствует получению тепла от нагревателя. Воспользуемся теми же приемами, что и в прошлой задаче:

Посмотрим на участок 1-2 графика: давление растет, объем не меняется. По закону Шарля \(\frac{p}{T} = const\) температура тоже растет. Работа газа равна 0 при изохорном процессе, а изменение внутренней энергии положительное.

2-3: давление не меняется, растет объем, а значит, работа газа положительна. По закону Гей-Люссака \(\frac{V}{T} = const\) температура тоже растет, растет и внутренняя энергия.

3-4: давление уменьшается, следовательно, и температура уменьшается. При этом процесс изохорный и работа газа равна 0.

4-1: давление не меняется, объем и температура уменьшаются — работа газа отрицательна и внутренняя энергия уменьшается.

Оформим данные в таблицу: 

Отметим, что  необходимое \(Q = Q₁₂ + Q₂₃\).

Шаг 3. Запишем первый закон термодинамики для процессов 1-2 и 2-3:

\(Q_{12} =\Delta U_{12} + A_{12} = \Delta U_{12} = \frac{3}{2}(2p_1V_1 -p_1V_1) = \frac{3}{2}p_1V_1\).
\(Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23}\), работу газа найдем как площадь под графиком:
\(A₂₃ = 2p₁(3V₁ — V₁) = 4p₁V₁\).
\(\Delta U_{12} = \frac{3}{2}(2p_1 * 3V_1 — 2p_1V_1) = 6p_1V_1\).
\(Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = 10p_1V_1\).

Шаг 4. Мы готовы считать КПД: \(\eta = \frac{A}{Q} = \frac{A}{Q_{12} + Q_{23}} = \frac{2p_1V_1}{\frac{3}{2}p_1V_1 + 10p_1V_1} = \frac{4}{23} \approx 0,17\).

Ответ: 17%

Теперь вас не должно настораживать наличие графиков в условиях задач на расчет КПД тепловых машин. Продолжить обучение решению задач экзамена вы можете в статьях «Применение законов Ньютона» и «Движение точки по окружности».

Термины

Адиабата — графическое представление процесса изменения состояния данной массы идеального газа, происходящего без передачи количества теплоты.

Гипербола — графическое представление обратной пропорциональной зависимости.

Закон сохранения энергии утверждает, что энергия не возникает и не исчезает, она только переходит из одного вида в другой.

Изобарный процесс  — процесс изменения состояния идеального газа, происходящий при неизменном объеме газа.

Изотерма  — графическое представление закона Бойля-Мариотта, описывающего изменение состояния данной массы идеального газа, происходящее при неизменной температуре.

Изохора — графическое представление закона Шарля, описывающего изменение состояния данной массы идеального газа, происходящее при неизменном его объеме.

Ротор генератора — подвижная часть генератора электрического тока.

Фактчек

• Тепловые двигатели — устройства, способные преобразовывать внутреннюю энергию в механическую. 
• Тепловая машина принимает тепло от нагревателя, отдает холодильнику, а рабочим телом совершает работу.
• Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины — это отношение полезной работы двигателя к энергии, полученной от нагревателя.
  \(\eta = \frac{A}{Q_1} = \frac{Q_1 — Q_2}{Q_1} = 1 — \frac{Q_2}{Q_1}\)  
• Цикл Карно — цикл с максимально возможным КПД: \(\eta = \frac{T_1 — T_2}{T_1} = 1 — \frac{T_2}{T_1}\)
• Не забываем, что работа считается, как площадь фигуры под графиком. Если цикл замкнут, то находим площадь фигуры, ограниченной графиком.

Проверь себя

Задание 1. 
1 моль идеального газа переходит из состояния 1 в состояние 2, а потом — в состояние 3 так, как это показано графике. Начальная температура газа равна T₀ = 350 К. Определите работу газа при переходе из состояния 2 в состояние 3, если k = 3, а n = 2.

1. 5672 Дж
2. 4731 Дж
3. 5817 Дж
4. 6393 Дж

Задание 2. 
1 моль идеального одноатомного газа совершает цикл, который изображен на pV-диаграмме и состоит из двух адиабат, изохоры, изобары. Модуль отношения изменения температуры газа при изобарном процессе ΔT₁₂ к изменению его температуры ΔT₃₄ при изохорном процессе равен 1,5. Определите КПД цикла.

1. 0,6
2. 0,5
3. 0,8
4. 1

Задание 3.
В топке паровой машины сгорело 50 кг каменного угля, удельная теплота сгорания которого равна 30 МДж/кг. При этом машиной была совершена полезная механическая работа 135 МДж. Чему равен КПД этой тепловой машины? Ответ дайте в процентах.

1. 6%
2. 100%
3. 22%
4. 9%

Задание 4.
С двумя молями одноатомного идеального газа совершают циклический процесс 1–2–3–1 (см. рис.). Чему равна работа, совершаемая газом на участке 1–2 в этом циклическом процессе?

1. 4444 Дж
2. 2891 Дж
3. 4986 Дж
4. 9355 Дж

Ответы:1 — 3; 2 — 1; 3 — 4; 4 — 3.