Умскул учебник стремится стать лучше! Если вы наткнулись на ошибку или неточность в нашем материале - просто сообщите нам, мы будем благодарны!
Физика

Задачи на нахождение КПД тепловых машин с использованием графиков

11.5.2022
769

На этой странице вы узнаете

  • В чем прелесть фазовых переходов?
  • Что лучше выбрать: Mercedes или BMW?

Люди научились летать в космос, покорять недра Земли и погружаться в глубины океана. Эти и другие достижения возможны благодаря способности извлекать максимум пользы из имеющихся ресурсов. Сегодня мы разберем задачи, которые заставят тепловые процессы играть на нашей стороне. 

Тепловые машины и их КПД

Рекомендация: перед тем как приступить к выполнению задач неплохо было бы повторить тему «Уравнение состояния идеального газа» . Но ключевую теорию, на которой основано решение задач, сейчас разберем вместе.

В чем прелесть фазовых переходов?

Вспомним, что фазовые переходы — это переход из одного агрегатного состояния в другое. Они могут выделять большое количество теплоты.

Мы не почувствуем, как испарится капелька у нас на руке, потому что это требует мало тепла от нашего тела. Но мы можем наблюдать, как горят дрова в мангале, когда мы жарим шашлык, потому что выделяется огромное количество теплоты. Стоит задаться вопросом: и что? Много энергии — хорошо, но что с ней делать?

Человечество придумало такие устройства, которые могут переработать тепловую энергию в механическую.

Тепловые двигатели, или тепловые машины, — устройства, способные преобразовывать внутреннюю энергию в механическую. 

Их устройство довольно просто: они на входе получают какую-то энергию (в основном — энергию сгорания топлива), а затем часть этой теплоты расходуется на совершение работы механизмом. Например, в машинах часть энергии от сгоревшего бензина идет на движение автомобиля. Схематично можно изобразить так:

Рабочее тело — то, что совершает работу — принимает от нагревателя количество теплоты Q1, из которой A уходит на работу механизма. Остаток теплоты Q2 рабочее тело отдает холодильнику, по сути — это потеря энергии.

Физика не была бы такой заманчивой, если б все в ней было идеально. Как и в любом процессе или преобразовании, здесь возможны потери, зачастую очень большие. Поэтому “индикатором качества” машины является КПД, с которым мы уже сталкивались в механике:

Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины — это отношение полезной работы двигателя к энергии, полученной от нагревателя.

\(\eta = \frac{A}{Q_1}\) , где

\(\eta\) —  КПД,
A — работа газа (Дж),
Q1 — количество теплоты, полученное от нагревателя (Дж).

Мы должны понимать, что КПД на практике никогда не получится больше 1, поскольку всегда будут тепловые потери. 

Полезную работу можно расписать как Q1 — Q2 (по закону сохранения энергии). Тогда формула примет вид:

\(\eta = \frac{Q_1 — Q_2}{Q_1} = 1 — \frac{Q_2}{Q_1}\)

Цикл Карно

Мы знаем, что потери — это плохо, поэтому должны предотвращать их. Как это сделать? Нам ничего делать не нужно, за нас уже сделал Сади Карно, французский физик, разработавший цикл, в котором машины достигают наивысшего КПД. Этот цикл носит его имя и состоит из двух изотерм и двух адиабат. 

1-2 изотермическое расширение
2-3 адиабатическое расширение
3-4 изотермическое скажите
4-1 адиабатическое сжатие
  • Температура верхней изотермы 1-2 — температура нагревателя; 
  • Температура нижней 3-4 — температура холодильника.

Цикл Карно — цикл идеальной тепловой машины, которая достигает наивысшего КПД. 

Формулу, по которой можно рассчитать ее КПД выражается через температуры:

\(\eta = \frac{T_1 — T_2}{T_1} = 1 — \frac{T_2}{T_1}\), где 

T1 — температура нагревателя,  
T2 — температура холодильника.
Что лучше выбрать: Mercedes или BMW?

Не то круто, что красиво, а то, что по Карно работает! Поэтому присматривайте такой автомобиль, у которого высокий КПД.

Приступим к задачам

Задание 27.1. Одноатомный газ совершает циклический процесс, как показано на рисунке. На участке 1–2 газ совершает работу A12 = 1520 Дж. Участок 3–1 представляет собой адиабатный процесс. Количество теплоты, отданное газом за цикл холодильнику, равно |Qхол| = 4780 Дж. Найдите работу газа |A13| на адиабате, если количество вещества постоянно.

Решение:

  1. Первое, с чего лучше начинать задачи по термодинамике — исследование процессов. 

1-2: продолжение прямой проходит через начало координат, поэтому график функционально можно записать, как p = aV, где a — какое-то число, константа. Графиком является не изотерма, поскольку график изотермы в координатах p-V — гипербола. Из уравнения Менделеева-Клапейрона следует: \(\frac{pV}{T} = const\). Отсюда можно сделать вывод, что возрастает температура, так как растут давление и объем.  Температура и объем растут, значит, увеличивается и внутренняя энергия и объем соответственно.

2-3: процесс изохорный, поскольку объем постоянен, следовательно, работа газом не совершается. Рассмотрим закон Шарля: \(\frac{p}{T} = const\). Давление в этом процессе растет, тогда растет и температура, поскольку дробь не должна менять свое значение. Делаем вывод, что внутренняя энергия тоже увеличивается.

3-1: адиабата по условию, то есть количество теплоты в этом переходе равно нулю из определения адиабатного процесса. Работа газа отрицательна, так как газ уменьшает объем. 

Оформим все данные в таблицу. 

Определим знаки Q, используя первый закон термодинамики: Q = ΔU + A.

Из этих данных сразу видно, что количество теплоты, отданное холодильнику — это количество теплоты в процессе 2-3.

  1. Первый закон термодинамики для процесса 1-2 запишется в виде: 

Q12 = ΔU12 + A12

Работа A12 — площадь фигуры под графиком процесса, то есть площадь трапеции: 

\(A_{12} = \frac{p_0 + 2p_0}{2} * V0 =\frac{3p_0V_0}{2}\). 

Запишем изменение внутренней энергии для этого процесса через давление и объем. Мы выводили эту формулу в статье «Первое начало термодинамики»:

\(\Delta U_{12} = \frac{3}{2}(2p_0 * 2V_0 — p_0V_0) = \frac{9p_0V_0}{2}\). 

Заметим, что это в 3 раза больше работы газа на этом участке: 

\(\Delta U_{12} = 3A_{12} \rightarrow Q_{12} = 4A_{12}\).

  1. Работа цикла — площадь фигуры, которую замыкает график,тогда . A = A12 — |A31|. С другой стороны, работа цикла вычисляется как разность между энергиями нагревателя и холодильника: A = Q12 — |Q31|.

 Сравним эти формулы:

Q12 -|Q31| = A12 — |A31|,

подставим выражения из предыдущего пункта:

4A12 — |Q31| = A12 — |A31| \(\rightarrow\) |A31| = -3A12 + |Q31| = -31520 + 4780 = 220 Дж.

Задание 27.2. Найти КПД цикла для идеального одноатомного газа.

Решение

  1. КПД цикла определим по формуле: \(\eta = \frac{A}{Q}\), где Q — количество теплоты от нагревателя, а А — работа газа за цикл. Найдем А как площадь замкнутой фигуры: A = (2p1 — p1)(3V1 — V1) = 2p1V1.
  2. Найдем процесс, который соответствует получению тепла от нагревателя. Воспользуемся теми же приемами, что и в прошлой задаче:

1-2: давление растет, объем не меняется. По закону Шарля \(\frac{p}{T} = const\) температура тоже растет. Работа газа равна 0 при изохорном процессе, а изменение внутренней энергии положительное.

2-3: давление не меняется, растет объем, а значит, работа газа положительна. По закону Гей-Люссака \(\frac{V}{T} = const\) температура тоже растет, растет и внутренняя энергия.

3-4: давление уменьшается, следовательно, и температура уменьшается. При этом процесс изохорный и работа газа равна 0.

4-1: давление не меняется, объем и температура уменьшаются — работа газа отрицательна и внутренняя энергия уменьшается.

Оформим данные в таблицу: 

Отметим, что  необходимое Q = Q12 + Q23.

  1. Запишем первый закон термодинамики для процессов 1-2 и 2-3:

\(Q_{12} = U_{12} + A_{12} = \Delta U_{12} = \frac{3}{2}(2p_1V_1 -p_1V_1) = \frac{3}{2}p_1V_1\).
\(Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23}\), работу газа найдем как площадь под графиком: A23 = 2p1(3V1 — V1) = 4p1V1.
\(\Delta U_{12} = \frac{3}{2}(2p_1 * 3V_1 — 2p_1V_1) = 6p_1V_1\).
\(Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = 10p_1V_1\).

  1. Мы готовы считать КПД: \(\eta = \frac{A}{Q} = \frac{A}{Q_{12} + Q_{23}} = \frac{2p_1V_1}{\frac{3}{2}p_1V_1 + 10p_1V_1} = \frac{4}{23} \approx 0,17\).

Фактчек

  • Тепловые двигатели — устройства, способные преобразовывать внутреннюю энергию в механическую. 
  • Тепловая машина принимает тепло от нагревателя, отдает холодильнику, а рабочим телом совершает работу.
  • Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины — это отношение полезной работы двигателя к энергии, полученной от нагревателя.
    \(\eta = \frac{A}{Q_1} = \frac{Q_1 — Q_2}{Q_1} = 1 — \frac{Q_2}{Q_1}\)  
  • Цикл Карно — цикл с максимально возможным КПД: \(\eta = \frac{T_1 — T_2}{T_1} = 1 — \frac{T_2}{T_1}\)
  • Не забываем, что работа считается, как площадь фигуры под графиком.

Проверь себя

Задание 1. 
1 моль идеального газа переходит из состояния 1 в состояние 2, а потом — в состояние 3 так, как это показано графике. Начальная температура газа равна T0 = 350 К. Определите работу газа при переходе из состояния 2 в состояние 3, если k = 3, а n = 2.

  1. 5672
  2. 4731
  3. 5817
  4. 6393

Задание 2. 
1 моль идеального одноатомного газа совершает цикл, который изображен на pV-диаграмме и состоит из двух адиабат, изохоры, изобары. Модуль отношения изменения температуры газа при изобарном процессе ΔT12 к изменению его температуры ΔT34 при изохорном процессе равен 1,5. Определите КПД цикла.

  1. 0,6
  2. 0,5
  3. 0,8
  4. 1

Ответы: 1 — 3 Дж; 2 — 1.

Понравилась статья? Оцени:
Читайте также:

Читать статьи — хорошо, а готовиться к экзаменам
в самой крупной онлайн-школе — еще эффективнее.

50 000
Количество
учеников
1510
Количество
стобальников
>15000
Сдали на 90+
баллов