Уравнение теплового баланса

На этой странице вы узнаете

• Что остынет быстрее: чай с сахаром или без?
• Может ли существовать отрицательная теплота?
• Почему батареи располагают под окном?

Возможно, вы встречали людей, у которых постоянно холодные руки. Задумывались ли вы когда-нибудь, почему так? Говорят, что эти люди привыкли делиться своим теплом с другими, поэтому они часто мерзнут. Это, конечно, не научное объяснение. Но про передачу тепла в физике прочитать можно в этой статье. 

Формула для количества теплоты и ее применение

Если мы вернемся домой зимним, студеным вечером и захотим погреться у батареи, будем ли мы воровать тепло у батареи? Как вообще это устроено? В каких случаях одни тела будут делиться теплом, а другие отбирать его? 

Давайте рассмотрим простой пример, и поможет нам в этом Светозар. Однажды Светозар решил провести будний вечер за чтением любимого фантастического романа и чашечкой чая. Он достал чашку, положил в нее заварку, налил кипятка. Чай, как всегда, оказался слишком горячим. Естественно, Светозар решил немного разбавить его холодной водой из графина. 

В голове у парня возник вопрос, который отвлек его от прочтения книги: «Когда я разбавляю чай водой, что происходит внутри кружки? Кто у кого забирает тепло: вода у чая или чай у воды?»

Роман забыт, а Светозар отправился на поиски ответа.

Что остынет быстрее: чай с сахаром или без? Раз речь зашла про чай, то давайте разберемся, какой чай остынет быстрее. При добавлении сахара в чай, теплота от чая начинает идти на то, чтобы нагреть сахар, а затем его расплавить. То есть в данном случае чай отдает тепло кружке (ложке), окружающей среде и сахару. В случае чая без сахара таких приемников теплоты становится меньше, а значит, чай остывает медленнее.

Вернемся к Светозару. Если бы он внимательно читал учебник по физике, то таких вопросов бы не возникло. Но к счастью, герой был настроен восполнить пробел в знаниях и решил воспользоваться формулой количества теплоты при нагревании или охлаждении тел.

Для начала вспомним, что вообще такое теплота? 

Теплота — это мера энергии, переходящей от одного тела к другому в процессе теплопередачи.

Формула для нее имеет следующий вид:

\(Q = mc\Delta t = mc(t_2-t_1)\), где Q – количество теплоты, которое получает тело (Дж); m – масса (кг); c – удельная теплоемкость вещества (табличная величина) \((\frac{Дж}{кг°С})\); \(t_2,t_1\) – конечная и начальная температуры соответственно (°С).

Здесь же вспомним формулы для вычисления теплоты при фазовых переходах — преобразованиях вещества из одного агрегатного состояния в другое:

Подробнее с этими и другими формулами можно ознакомиться в статье «Количество теплоты и фазовые переходы».

Опишем ход действий Светозара:

Шаг 1. Поскольку он уверен в необходимости формулы количества теплоты \(Q=mc\Delta t=mc(t_2-t_1)\), он сразу пробует ее применить. Но вдруг понимает, что из необходимых данных у него имеются только табличные.

Шаг 2. Он нашел на кухне термометр и измерил температуру воды в чайнике, воды в графине и смеси в стакане. Очень полезная информация!

Шаг 3. Он взял мерный стакан, которым мама обычно отмеряет продукты, когда готовит вкусняшки, – но сейчас речь идет о физике. Затем измерил начальный объем чая и объем воды, которую долил. Как уж он это сделал, оставим на его совести. Нам важно знать, что он умеет пользоваться формулой плотности и легко выведет оттуда массу жидкостей. 

Вспомним формулу для плотности вместе со Светозаром:

\(ρ=\frac{m}{V}\), где \(ρ\) — плотность тела (кг/м3); \(m\) — масса тела (кг); \(V\) — объем тела (м3)).

Исходя из этой формулы массу жидкостей можно рассчитать следующим способом: m=ρV. Плотность можно подсмотреть в справочных материалах, что для чая, что для воды она примерно равна ρ = 1000 кг/м³. 

Что ж, Светозар – умничка и готов проводить необходимые расчеты. Вот так типичная бытовая ситуация для Светозара переросла в настоящую школьную задачку по физике, аналогичные которой могут встретиться в заданиях №8 КИМ ЕГЭ и №23 КИМ ОГЭ:

Задача. На столе стоит стакан с чаем, температура которого 93°С. Его разбавляют водой, температура которой 23°С. По итогу разбавленный чай имеет температуру 63°С. Известно, что стакан с чаем имеет объем 350 мл, из них 200 мл занимает чай, 150 мл — вода. Найти количество теплоты, которое холодная вода забрала у чая, и количество теплоты, которое чай отдал воде. Теплообменом с окружающей средой и со стаканом пренебречь.

Примечание: будем считать, что Светозар правильно использовал мерный стакан и термометр, и все его данные достоверные.

Оформим задачу в виде следующей таблицы:

Ответ: Количество теплоты, отданное чаем: \(Q_1= – 25200\) Дж.
Количество теплоты, полученное водой: \(Q_2= 25200\) Дж.

Теперь обсудим результаты опыта Светозара: почему получились два выражения, одинаковые по модулю, но разные по знаку?

Виды теплоты

В опыте Светозара, при разбавлении чая холодной водой, последняя нагревается. То есть ее конечная температура (\(t_2\)) больше начальной (\(t_1\)). И в соответствии с формулой:

\(Q = mc\Delta t = mc(t_2-t_1)\)

теплоту \(Q_2\) вода получает положительную.

Соответственно, чай при этом остывает, тогда в скобке формулы для \(Q_1\) из меньшего числа вычитается большее, поэтому результат вычисления получаем с отрицательным знаком.

Значит, числа получились противоположные по знаку из-за того, что одно из веществ остывает и отдает тепло, а другое этим же теплом нагревается — то есть его получает. 

Может ли существовать отрицательная теплота? Только что мы с вами объяснили невероятный феномен — отрицательная теплота. Но отрицательная она лишь с точки зрения математики, то есть это просто теплота, которая выделяется в окружающую среду, когда тело остывает. А положительная теплота — это теплота, которую тело получает из окружающей среды. Отрицательную еще можно назвать отданной. Обычно говорится, что тело именно отдает теплоту.

Уравнение теплового баланса

Со знаками разобрались, но почему значения одинаковые? В этом и есть суть теплового равновесия, которое описывается уравнением теплового баланса. 

Тепловое равновесие — это такое состояние системы тел, при котором в этой системе не происходит теплопередачи.

В нашем примере произошел теплообмен — жидкости обменивались теплом. В конечном счете система приняла стабильное состояние, когда теплообмена не происходит, и можно спокойно попивать чаек. А то, как происходило перераспределение тепла между веществами, описывает уравнение теплового баланса (УТБ):

\(Q_1+Q_2 + … + Q_n=0\), где \(Q_1, Q_2, … Q_n\) — теплота при фазовых переходах, а также при нагревании и охлаждении системы, измеряется в Джоулях (Дж).

Причем: та энергия, которую тело принимает, берется со знаком «+», а которая отдается телом, со знаком «–».

В нашем примере про чай Светозара теплота отводится от чая и подводится к воде до тех пор, пока не наступит тепловой баланс (температуры воды и чая сравняются). Уравнение теплового баланса в этом случае примет вид:

\(Q_чая+Q_воды =0\), где

\(Q_чая, Q_воды\) — теплоты чая и воды соответственно (Дж).

То есть в нашем примере про Светозара и его чай уравнение теплового баланса будет выглядеть следующим образом: -25200 + 25200 = 0.

По сути, УТБ — это закон сохранения энергии для процессов теплообмена в изолированных системах: сколько теплоты выделили одни тела, столько же и поглотили другие. 

Более подробно о законе сохранения энергии можно прочитать в статье «Энергия. Закон сохранения энергии. Работа и мощность».

Почему батареи располагают под окном? Как думаете, почему батареи зачастую расположены под окнами? Все потому, что при такой установке холодный воздух из окна сразу же опускается к батарее, так как он тяжелее, чем горячий (более подробно с данным явлением можно ознакомиться в этой статье). Далее он нагревается около батареи по принципу теплопередачи, а затем равномерно поднимается (так как он нагревается, становится легче) и прогревает все комнату!

И вот Светозар, удовлетворенный ответом на свой вопрос, берет в руки любимую книгу, садится поближе к теплой батарее и наслаждается отдыхом.

А мы давайте разберем еще одну задачку на УТБ, но более каверзную (также из №8 КИМ ЕГЭ и №23 КИМ ОГЭ).

Задача: в калориметре находится 1,5 кг льда. Определите его начальную температуру, если после добавления к нему воды массой 20 г, имеющей температуру 32°С, в калориметре установилось тепловое равновесие при температуре -2,7°С. Теплообменом с окружающей средой и калориметром можно пренебречь.

Замечание: все величины, помимо Q, с индексом «1» будут относиться ко льду, а с индексом «2» — к воде.

Ответ: \(t_1\approx -5,68°С\).

Разобравшись с видами теплоты и их знаками, мы можем перейти уже к более прикладной теме и узнать, насколько полезны те или иные тепловые машины.

КПД тепловых процессов

Вспомним, что такое КПД.

Коэффициент полезного действия (КПД) – это отношение работы, совершаемой рабочим телом, к количеству теплоты, полученному от нагревателя. 

Коэффициент полезного действия любого теплового двигателя меньше единицы и выражается в процентах, обозначается – η. 

Формула для него имеет вид:

\(η=\frac{А}{Q_н}*100%\), где \(A\) – работа, совершаемая рабочим телом (Дж), \(Q_н\) – это теплота, которая подводится от нагревателя к рабочему телу (Дж).

Еще КПД можно вычислить по такой формуле:

\(η=(1-\frac{|Q_х|}{|Q_н|})100%\), где \(Q_X\)– это теплота, которая отводится от рабочего тела к холодильнику (она со знаком минус по умолчанию, так как отводится от рабочего тела, но в формуле она стоит под модулем) (Дж), \(Q_H\)– это теплота, которая подводится от нагревателя к рабочему телу (Дж).

Исходя из двух формул, написанных выше, выведем формулу для работы (A), для этого приравняем выражения для КПД:

\(\frac{А}{Q_н}*100% = (1-\frac{|Q_х|}{|Q_н|})*100%\),

\(\frac{А}{Q_н}= 1-\frac{|Q_х|}{|Q_н|}\), 

домножим обе части уравнения на \(Q_н\):

\(A=Q_н-|Q_х|\). 

Формула для работы пригодится нам в решении более сложных задач из КИМа (№27 ЕГЭ). В целом, работу в тепловых машинах совершает рабочее тело, к которому подводится теплота от нагревателя, часть этой теплоты еще уходит к холодильнику (теплота холодильника). Ее рассчитывают для того, чтобы найти КПД тепловых машин, о чем более подробно можно почитать в этой статье.

Давайте теперь попробуем закрепить применение этих формул на практике, тем более что задачи по этой теме встречаются в заданиях №9 КИМ ЕГЭ и №7 КИМ ОГЭ.
 
Задача. Тепловая машина с КПД 60% за цикл работы отдает холодильнику 100 Дж. Какое количество теплоты за цикл машина получает от нагревателя? (Ответ дайте в джоулях).

Решение.
По условию: \(η=60%, Q_х = 100\) Дж.
Вспомним формулу для КПД:

\(η=(1-\frac{|Q_х|}{|Q_н|})*100%\).

Отсюда можно вывести теплоту нагревателя:

\(Q_н=\frac{|Q_х|}{1-\frac{η}{100%}}=\frac{100}{1-\frac{60}{100}}=\frac{100}{1-0,6}=250\) Дж

Ответ: 250 Дж.

Мы познакомились с очень полезной и важной темой, ведь тепловые явления встречаются нам каждый день. Чтобы понимать происходящее вокруг, стоило разобраться в этой теме, не так ли? 

Термины

Агрегатное состояние — физическое состояние вещества, зависящее от соответствующего сочетания температуры и давления.

Изолированная система — это такая система тел, которая не обменивается теплом с окружающей средой.

Калориметр — это прибор для измерения количества теплоты. 

Конденсация — это фазовый переход вещества из газообразного состояния в жидкое.

Кристаллизация — это фазовый переход вещества из жидкого состояния в твердое.

Парообразование — это фазовый переход вещества из жидкого состояния в газообразное.

Плавление — это фазовый переход вещества из твердого состояния в жидкое.

Табличные данные — это данные, которые общедоступны каждому, являются постоянными и ими можно спокойно пользоваться. К примеру, таблица плотностей, удельная теплоемкость веществ, астрономические величины и др.

Теплообмен — это процесс передачи теплоты от более нагретых тел к менее нагретым.

Фазовый переход — переход вещества из одного агрегатного состояния в другое.

Фактчек

• Тепловое равновесие — это такое состояние системы тел, при котором в этой системе не происходит теплообмена.
• Тепловое равновесие можно описать с помощью уравнения теплового баланса (УТБ), которое имеет вид: \(Q_1+Q_2 + … + Q_n=0.\)
• Если тела остывают, то они отдают тепло, и считается, что величина Q отрицательная. Тогда в УТБ на соответствующем месте будет стоять знак «–».
• Если же тела нагреваются, то они получают тепло, и считается, что величина Q положительная. Тогда в УТБ на соответствующем месте будет стоять знак «+».
• КПД — это отношение работы, совершаемой рабочим телом, к количеству теплоты, полученному от нагревателя.

Проверь себя

Задание 1.
В каких случаях мы говорим, что количество теплоты при теплопередаче отрицательно?

1. Когда тело принимает тепло.
2. Когда тело отдает тепло.
3. Такого не может быть, мы так не говорим.
4. Когда тела находятся в тепловом равновесии.

Задание 2.
Какое(-ие) из следующих утверждений верно(-ы)?

1. Уравнение теплового баланса описывает переход к тепловому равновесию.
2. Уравнение теплового баланса — закон сохранения энергии при фазовых переходах изолированной системы, а также при ее нагревании и охлаждении.

1. Верно только 1.
2. Верно только 2.
3. Верны 1 и 2.
4. Неверны ни 1, ни 2.

Задание 3.
8 л воды, взятой при температуре 10℃, смешали с водой при температуре 95℃. Температура смеси получилась 70℃. Чему равна масса горячей воды? Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

1. 19,2 кг 
2. 20,4 кг 
3. 17,2 кг 
4. 14,6 кг  

Ответы:1 — 2; 2 — 3; 3 — 1.