Движение по окружности

На этой странице вы узнаете

• Как движется кабина на колесе обозрения?
• Кто знает все твои секреты?
• Можно ли измерить линейную скорость по линейке?

Одним из видов движения является движение по окружности. По окружности движутся гоночные болиды, кабинки колеса обозрения и белье при отжиме в стиральной машине. Примеров можно привести бесконечное множество. Но знаете ли вы, что при любом движении по окружности, даже равномерном, тело обладает ускорением? Как такое может быть? Сейчас во всем разберемся.

Виды движения

Для начала давайте выясним, какие вообще бывают виды движения по типам траекторий.

В механике движение подразделяется на следующие виды:

• Поступательное.

Поступательное движение — движение, при котором траектории любых двух точек тела остаются параллельными и все точки тела относительно друг друга покоятся. 

Например: машина едет по прямой дороге. Все точки машины двигаются с одинаковой скоростью относительно дороги. 

• Вращательное.

Вращательное — движение, при котором все точки тела описывают окружности относительно одной и той же точки. 

Например: вращение колеса машины. Причем точки колеса, которые описывают разные окружности, обладают разными скоростями. В этом мы убедимся немного позднее.

Как движется кабина на колесе обозрения? В самом начале статьи мы сказали, что движение кабины на колесе обозрения является вращательным, что звучит логично. Но так ли это? Давайте разбираться. Если представить всю кабину в качестве материальной точки, то траектория ее движения будет выглядеть как на рисунке 1.  В таком виде это действительно вращательное движение. Но что, если мы рассмотрим любые две точки самой кабины, как, например, на рисунке 2? Тут можно заметить, что траектории движения точек остаются параллельными, а это верный признак поступательного движения.  Таким образом, мы выяснили, что кабина движется поступательно.

В статье «Прямолинейное движение» мы подробно разбирали поступательное движение, а теперь давайте разберемся, как описать вращательное движение.

Кинематика вращательного движения

Главная задача кинематики, как раздела механики, заключается в том, чтобы установить зависимости, характеризующие движение тела, от времени. Звучит не слишком понятно, но на примере все встанет на свои места.

Если движение по прямой характеризовалось расстоянием, которое успело пройти тело, то мы искали зависимость изменения координаты тела от времени – x(t). 

В случае вращательного движения становится удобнее работать с углами. 

Давайте введем такую величину, как угол поворота.

Угол поворота – угол между двумя положениями тела и центром окружности, по которой оно движется.

В физике углы принято измерять не в градусах, а в радианах. 

Радиан – угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу.

Наверняка вы слышали, что во всей окружности 360 градусов и это то же самое, что 2 радиан. Как это получается?

Если взять любую окружность, измерить ее длину (L), а потом разделить это значение на диаметр (D), то вы с хорошей точностью получите число = 3,1415926…

\(\frac{L}{D}=\pi\)

С помощью этого отношения удобно измерять углы, достаточно помнить, что во всей окружности 360° или 2 радиан. 

\(360^{\circ}=2\pi_{\text{рад}}\)

Тогда давайте составим простую пропорцию, которая поможет выражать нам угол в радианной мере через градусную. Запишем отношение угла, выраженного в градусах, к 180 градусам и приравняем это к отношению того же угла, выраженного в радианах, к пи радиан.

\(180^{\circ}=\pi_{\text{рад}}\)

\(\frac{\varphi^{\circ}}{180^{\circ}}=\frac{\varphi_{\text {рад}}}{\pi_{\text {рад}}}\)

Отсюда легко получить итоговую формулу.

\(\varphi_{\text{рад}}=\frac{\varphi^{\circ}\cdot\pi_{\text{рад}}}{180^{\circ}}\)

Чем плохи градусы? В физике почти у всех величин есть размерность. Например, расстояние измеряется в метрах, а время – в секундах. От изменения размерности меняется и числовое значение величины. Мы же знаем, что 60 секунд и 1 минута – это одно и то же, но числа ведь разные. Градусная мера угла является той самой размерностью, которая в будущем будет нам мешать. А вот радиан – это безразмерная величина, и поэтому более удобна. 

Кто знает все твои секреты?  Удивительно, где мы можем найти пароль от своей банковской карточки, номер телефона и даже дату рождения мамы. Это число Пи. Мы привыкли округлять значение этой константы до 3,14, однако, это – иррациональное число. Иначе говоря, его десятичная запись бесконечно длинная. В этом числе можно встретить все возможные комбинации цифр, которые только могут быть.

Теперь у нас есть все, чтобы определить, что такое угловая скорость. 

Угловая скорость — скорость, характеризующая изменение угла поворота по окружности вращения.

\(\omega=\frac{Δφ}{Δt}\), где  \(\omega\) — угловая скорость (рад/с); \(Δφ\) — изменение угла относительно начального положения (рад); \(Δt\) — время, за которое меняется угол φ (с).

Может ли угловая скорость меняться? Конечно! Тогда у нас будет существовать угловое ускорение.

Угловое ускорение – величина, показывающая изменение угловой скорости с течением времени.

\(\beta = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}\) \(\beta\) — угловое ускорение (рад/\(с^2\)). \(\Delta \omega\) — изменение угловой скорости тела за промежуток времени \(\Delta t\) (рад/с). \(\Delta t\) — промежуток времени (c).

Величина	Обозначение	Основная единица измерения в СИ
Угловая скорость	\(\omega\)	рад/с или \(c^{-1}\) (радиан в секунду)
Угловое ускорение	\(\beta\)	рад/\(с^2\) или \(с^{-2}\) (радиан в секунду в квадрате)

Внимательно посмотрим на единицы измерения угловой скорости и ускорения. Вот зачем нам нужны радианы. Если бы мы углы измеряли в градусах, то не могли бы потом от них избавиться, а радиан – безразмерная величина, то есть просто число.

Равномерное и равноускоренное движение по окружности

В зависимости от углового ускорения у нас будут разные типы движения по окружности. В случае если угловое ускорение постоянно, то движение можно назвать равноускоренным движением по окружности. Причем:

• Если угловое ускорение больше нуля, то тело разгоняется.
• Если угловое ускорение меньше нуля, то тело замедляется.
• Если угловое ускорение равно нулю, то это уже не равноускоренное движение, а равномерное.

Помните формулы для прямолинейного равноускоренного движения? Если забыли, то прочитать можно в нашей статье «Ускорение материальной точки». В общем-то, для движения по окружности они не сильно изменились. Разве что вместо скорости и ускорения теперь фигурируют угловые скорость и ускорение.

\(\omega = \omega_0 + \beta t\) \(\varphi = \varphi_0 + \omega_0 t + \frac{\beta t^2}{2}\) \(\omega_0\) — начальная угловая скорость (рад/с). \(\varphi_0\) — начальный угол поворота, аналогично \\ начальной координате при прямолинейном движении (рад). \(\omega\) — угловая скорость (рад/с). \(\varphi\) — угол поворота (рад). \(\beta\) — угловое ускорение (рад/\(с^2\)). \(t\) — время (с).

Эти уравнения являются главными в кинематике движения по окружности. 

При равномерном движении по окружности угловая скорость тела постоянна. Но постоянна ли линейная скорость? Как они вообще связаны? 

Для ответа на эти вопросы нужно задуматься, за какое время тело проходит всю окружность.

Период вращения и частота

Очень важно понимать, когда тело будет возвращаться в исходную точку окружности и как часто это будет происходить. В случае равномерного движения это будет сделать не так уж и сложно.  Для этого давайте выведем следующие две величины. 

Воспользуемся формулой для времени при равномерном движении.

\(t=\frac{l}{v}\), где l — пройденное расстояние.

В данном случае за один полный оборот тело проходит расстояние, равное длине окружности \(l = 2πr\). Получим формулу периода \(T=\frac{2πr}{v}\). 

Период – величина, равная времени одного оборота при равномерном вращении.

\(T=\frac{2\pi r}{v}\) \(T\) — период (с). \(r\) — радиус окружности (м). \(v\) — линейная скорость (м/с).

Еще одна формула связи периода с количеством оборотов: \(T=\frac{t}{N}\), где \(t\) – общее время движения, а \(N\) – количество совершенных оборотов за этой время.

Отдельное место занимает такая величина, как частота.

Частота — количество оборотов за 1 секунду.

\(\nu = \frac{1}{T}\) \(\nu\) — частота (Гц или Герц). \(T\) -период (с).

Теперь мы готовы расписать связи угловых величин и линейных.

\(\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu\)

\(v = \frac{l}{t} = \frac{2\pi r}{T} = \omega r\)

Таким образом, при равномерном движении по окружности угловая скорость постоянна, а линейная зависит от радиуса этой окружности. 

Можно ли измерить линейную скорость по линейке? Да, но если тело движется по прямой линии. Тогда вы засечете с помощью секундомера время, за которое тело проходит участок линейки, и найдете скорость. Однако такой подход не сработает в том случае, когда тело движется по окружности, так как линейка не может точно измерить длину окружности.

Есть еще один способ найти скорость при равномерном движении тела по окружности, который работает всегда и везде. Рассмотрим окружность радиуса R. 

Пусть тело переместится на угол \(φ\). Тогда из прямоугольного треугольника мы можем найти перемещение по оси Х: \(x = Rcosφ\). Вспомним, что \(φ = ⍵t\). Тогда получится, что зависимость изменения координаты от времени имеет следующий вид: \(x = Rcos⍵t\). График этой зависимости выглядит так:

По этому графику можно найти радиус окружности R – это максимальное значение, которое принимает x, и период колебаний T – это расстояние между двумя точками с одинаковой координатой x. Зная эти величины, мы можем с легкостью найти модуль скорости по формуле: \(𝒱= ⍵R =\frac{2π}{T}R\).

Мы обсудили, как связаны угловые и линейные скорости при равномерном движении по окружности. А как обстоят дела с ускорениями? 

Нормальное и тангенциальное ускорение. Полное ускорение

Ускорение при равномерном движении по окружности

Мы знаем, что при равномерном прямолинейном движении ускорение равно нулю. Но если тело не движется прямо, а вращается по окружности, то что заставляет его менять направление движения? Оказывается, что изменение траектории тела возможно, только если у тела есть линейное ускорение, которое не стоит путать с угловым. Такое ускорение называется центростремительным или нормальным.

Центростремительное (нормальное) ускорение — ускорение, которое характеризует изменение скорости тела по направлению (при равномерном вращательном движении модуль скорости тела не изменяется, но постоянно меняется ее направление).

Существует основная формула для поиска центростремительного ускорения:

\(a_ц=\frac{V^2}{r}=\omega^2r\), где  \(a_ц (a_n)\) — центростремительное (нормальное) ускорение (м/с2); V — линейная скорость тела (м/с); — угловая скорость тела (рад/с); r — радиус окружности, по которой движется; тело (м).

Заметим, что при таком движении линейная скорость тела в каждый момент времени направлена по касательной к окружности. 

Часто центростремительное ускорение называют нормальным потому, что оно направлено по нормали траектории к центру окружности, то есть перпендикулярно касательной, проведенной в каждой точке траектории. 

Теперь давайте попрактикуемся.

Разберем задачу на вычисления и сопоставления из №5 ЕГЭ.

Задача. Колесо равномерно вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр. Как изменяется скорость V, центростремительное ускорение а_ц,, период обращения Т у точек колеса при их удалении от оси вращения? Определите характер изменения каждой величины: 1) увеличивается; 2) уменьшается; 3) не изменяется.

Решение. Если тело вращается, совершает один полный оборот, то все его точки вместе совершают этот оборот, так как они связаны друг с другом. Тогда у них одинаков период обращения Т. Соответственно, будет одинаковая частота \(v= 1/Т\), угловая скорость \(\omega= 2π/T\). Этот лайфхак нужно знать, можно применять в задачах сразу.

Линейная скорость связана с угловой как \(V =\omega r\). Так как угловая скорость постоянна, то максимальная скорость будет на краю колеса, так как будет максимальное расстояние от оси вращения. Центростремительное ускорение \(а_ц = 2*r\). При \(w = const\) и увеличивающемся r ускорение опять же будет расти.

Ответ: 113

Ускорение при неравномерном движении по окружности

Но что делать в том случае, если тело движется неравномерно по окружности? То есть его скорость изменяется не только по направлению, но и по значению. Тогда можно предположить, что существует еще какое-то ускорение, которое как раз и отвечает за это изменение скорости по модулю. Такое ускорение называется тангенциальным.

Тангенциальное ускорение – ускорение, которое характеризует изменение скорости тела по величине. Направлено оно по касательной к траектории движения.

К счастью, тангенциальное ускорение никак не относится к тангенсу.

Раз это ускорение отвечает за изменение скорости, то и высчитываться оно будет по формуле: 

\(a_\tau = \frac{\Delta V}{\Delta t}\) \(a_\tau\) — тангенциальное ускорение (\(м/с^2\)). \(\Delta V\) — изменение линейной скорости тела за промежуток времени \(\Delta t\) (м/с). \(\Delta t\) — промежуток времени (c).

Как раз тангенциальное ускорение связано с угловым аналогично линейной и угловой скоростям. 

\(a_{\tau} = \beta r\)

Эту связь вы можете попробовать получить сами, подставив выражения выше, а мы поделимся нашими результатами.

\(a_{\tau} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\Delta (\omega r)}{\Delta t} = \frac{\Delta \omega \cdot r}{\Delta t} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} \cdot r = \beta r\)

Давайте теперь рассмотрим движение тела по окружности и найдем каждое ускорение.

Как мы видим, нормальное ускорение направлено перпендикулярно траектории, а тангенциальное – вдоль. Тогда полное ускорение тела есть векторная сумма нормальной и тангенциальной составляющих. 

\(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a_n} + \overrightarrow{a_\tau}\)

Так как оба ускорения перпендикулярны друг другу, то вычислить полное ускорение тела можно по формуле: 

\(a = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2 }\)

Решим задачу 25 из второй части ЕГЭ.

Задача 2. Две шестерни соединены прочной цепью. Радиус первой шестерни равен R, радиус второй равен 2R. Угловая скорость вращения первой шестерни равна w = 2 рад/с. Чему равна угловая скорость вращения точки А, расположенной на расстоянии R от центра второй шестеренки?

Решение:
1. У двух соединенных вращающихся тел линейная скорость V крайних точек будет одинакова. Если это не так, то у крайних точек первой шестеренки скорость V₁, у крайних точек второй шестеренки – V₂. Это значит, что разные части цепи двигаются с разными скоростями, при этом цепь порвется. Но она цела, тогда V₁ = V₂.

2. Распишем линейные скорости по формуле V = wR, получим w₁R₁ = w₂R₂. В нашем случае wR = w₂*2R, тогда угловая скорость второй шестеренки w_₂ = w/2 = 2/2 = 1 (рад/с).

3. У всех точек одного вращающегося тела одна угловая скорость. Тогда у точки А угловая скорость тоже 1 рад/с. 

Ответ: 1 рад/с

Почему мы изучаем только прямолинейное движение и движение по окружности? Неужели других траекторий движения не бывает? Конечно, бывают! Тело может двигаться как угодно. Но нам совсем неважно, что за вид траектории у него будет: спираль, волна или хаотичное движение во все стороны. Одна из важнейших парадигм в физике, да и вообще в любой технической дисциплине, это «разделяй и властвуй». 

Какую бы произвольную траекторию тела мы бы ни представили, ее всегда можно разбить на участки прямолинейного движения и участки движения по дугам окружностей. Радиус такой окружности называется радиусом кривизны траектории. Выглядит это следующим образом.

Мы знаем, каким образом описать каждый участок траектории, значит, и задача для нас будет решаема. А чтобы любая задача по кинематике решалась на ура, загляните в наши статьи «Движение под действием силы тяжести» и «Прямолинейное движение». 

Термины

Иррациональное число – число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби.

Материальная точка – модель тела, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

Механика – раздел физики, изучающий движение тел и их взаимодействия.

Прямолинейное движение – движение, при котором траекторией тела является прямая.

Равномерное движение – движение, при котором модуль скорости тела постоянен.

Равноускоренное движение – движение, при котором модуль ускорения постоянен.

Траектория – воображаемая линия, вдоль которой движется тело.

Фактчек

• Любое движение тела можно разбить на комбинации поступательного и вращательного движений.
• Важнейшей характеристикой равномерного вращательного движения является период — наименьший промежуток времени, за который совершается 1 полный оборот по окружности.
• Вращательное движение обуславливается действием центростремительного ускорения, которое характеризует изменение скорости тела по направлению.
• При движении по окружности появляется угловая скорость, характеризующая изменение угла поворота по окружности. 
• Полное ускорение тела есть векторная сумма центростремительного и тангенциального ускорений.
• Существует отдельный тип задач в ЕГЭ на сцепленные тела, у которых равные линейные скорости.

Проверь себя

Задание 1.
Примером какого явления служит равномерное вращательное движение?

1. вращения
2. периодичности
3. кручения
4. ускорения

Задание 2.
Что характеризует центростремительное ускорение тела? 

1. период
2. равнодействующую сил
3. орбиту вращения
4. направление скорости

Задание 3.
Изменяется ли модуль скорости тела при равномерном движении по окружности?

1. да
2. нет
3. наверное
4. может быть, но не факт

Задание 4.
Какая равная величина у вращающихся сцепленных тел?

1. период
2. частота
3. угловая скорость
4. линейная скорость

Ответы:1. — 2; 2. — 2; 3. — 2; 4. — 4.