Первое начало термодинамики

На этой странице вы узнаете

• Что значит «вылететь, как пробка»?
• Ленивые газы существуют? Есть ли они среди нас?

Вы когда-нибудь задумывались над тем, что теплом можно управлять? Конечно, не как супергерой, а на уровне вполне обычного человека. В этой статье выражение «физика для чайников» может заиграть для вас новыми красками. 

Внутренняя энергия тела

Давайте вспомним закон сохранения энергии (ЗСЭ), который мы применяли в механике: «Энергия при любых физических взаимодействиях ниоткуда не берется и никуда не пропадает. Она лишь переходит из одного вида в другой». Это нестрогая формулировка закона, нам важна суть: энергия просто так не появляется и не пропадает. Хорошо, но может возникнуть пара вопросов к этому закону…

Пример 1. Представим, что за окном зима, и можно поиграть в хоккей. Кто-то ударил клюшкой по шайбе, — она скользит. Природа у нас не идеальна, поэтому шайба не будет скользить вечно: на нее подействует трение и остановит ее. Если вначале у шайбы была кинетическая энергия, то в какую она перешла потом, если потенциальной у нее нет (так как шайба находится на поверхности нулевой потенциальной энергии, именно поэтому ее нет)?

Пример 2.  Другая ситуация: мы на уроке химии, где перед нами лежит оборудование. Возьмем пробирку, нальем в нее воды и закроем пробкой. Нагреем на спиртовке. Видим, что вода переходит в пар, а пробка вылетает. Что дало энергию пробке? Откуда взялась у нее кинетическая энергия, если по ЗСЭ она не может появиться просто так? 

Нужно разобраться в чем дело. Не может же нас обмануть физика, она как супергерой стоит на страже порядка.

Теперь вспомним, что в молекулярно-кинетической теории (МКТ) имеются 3 основных положения:

1. Все вещества состоят из мельчайших частиц — молекул и атомов.
2. Эти частицы находятся в непрерывном движении.
3. Частицы взаимодействуют друг с другом с силами, имеющими электрическую природу.

Сейчас нас интересуют пункты 1 и 2. В любом веществе имеются такие маленькие частички, которые никак не усидят на месте, как маленькие дети. Если нагреть тело, то молекулы и атомы начнут двигаться еще быстрее. Это может помочь ответить на наши вопросы?.. Давайте разберемся!

Пример 3. В первой ситуации на шайбу действовало трение, которое способно нагревать тела. Мы этот нагрев не почувствуем, поскольку на улице холодно. Но трение можно же наблюдать где угодно. Например, канат на физкультуре. Когда рука проскользит по канату, ей становится горячо, — самое настоящее последствие трения.

Если рука нагрелась, то молекулы, образующие верхние слои кожи, оживились и стали двигаться быстрее. Напрашивается вывод: трение остановило движение человека по канату, при этом нагрев руку и усилив движение частиц кожи.

Во втором опыте мы сами нагревали пробирку, то есть приводили в усиленное движение частицы водяного пара. Видимо, частицы двигались настолько сильно, что буквально вытолкнули пробку из пробирки. 

Получается, есть какая-то еще энергия, помимо механической? Такая энергия, которая отвечает за поведение частиц в веществе? Да, такая энергия называется внутренней:

Внутренняя энергия тела (U) — сумма потенциальной энергии взаимодействия молекул тела друг с другом (но не с молекулами других тел) и кинетической энергии беспорядочного движения этих же частиц в веществе.

А теперь на человеческом языке: внутри вещества молекулы движутся, следовательно, имеют кинетическую энергию. Внутри вещества молекулы взаимодействуют друг с другом, значит, имеют потенциальную энергию. Их сумма — внутренняя энергия. Логично предположить, что когда мы нагреваем тела, их внутренняя энергия становится выше, поскольку усиливается движение частиц в веществе.

Тогда объяснение примеров с помощью ЗСЭ и определения внутренней энергии станет более понятным:

Пример 1: когда шайба скользит по льду, ее кинетическая энергия полностью переходит во внутреннюю энергию частиц этой шайбы.

Пример 2: внутренняя энергия водяного пара передалась пробке в виде кинетической энергии ее движения.

Пример 3: кинетическая энергия скользящего по канату человека перешла во внутреннюю энергию частиц кожи руки.

Теперь нужно научиться считать внутреннюю энергию газа, а также изменение этой внутренней энергии, то есть сейчас мы будем с вами выводить формулы, которые помогут нам в решении задач.

Внутренняя энергия одноатомного газа

Просто взять и рассчитать внутреннюю энергию по определению практически невозможно из-за огромного количества молекул в веществе. Поэтому нужно искать другой способ измерять ее, зная какие-то иные параметры.

Наиболее прост в данном случае по своим свойствам одноатомный газ:

Одноатомным называется газ, который состоит из отдельных атомов, а не молекул (например, аргон, неон, ксенон, гелий). 

Давайте попробуем вывести формулу внутренней энергии для одноатомного газа, по определению это кинетическая энергия движения частиц и потенциальная энергия их взаимодействия. Но мы рассматриваем идеальную модель газа, в соответствии с молекулярно-кинетической теорией молекулы в нем между собой не взаимодействуют. Поэтому потенциальную энергию мы убираем из формулы. 

U = E_кин + E_пот = E_кин, т.к. E_пот = 0.

Разберемся с кинетической:

\(E_{кин} = \frac{3}{2}kT\), где k — константа Больцмана, T — абсолютная температура газа.

Но это энергия лишь одной частички, а у нас их много, предположим N штук. Количество молекул выразим через N = \(\nu\)N_A, где \(\nu\) — количество вещества, N_A — постоянная Авогадро. Значит, суммарная кинетическая энергия частиц равна:

\(N * E_{кин} = \frac{3}{2}kT \nu N_A = \frac{3}{2}RT\).

Когда выводилось уравнение Менделеева-Клапейрона, там уже упоминалось произведение констант Больцмана и Авогадро, и вводилась новая постоянная R = kN_A — универсальная газовая постоянная (собственно, это здесь и применено). Эта энергия совпадает с внутренней энергией одноатомного газа:

\(U = \frac{3}{2} \nu RT\) , где U — внутренняя энергия одноатомного газа (Дж), \(\nu\)— количество вещества (моль); \(R=8,31\frac{Дж}{моль*К}\) — универсальная газовая постоянная; T — абсолютная температура газа (К).

Единица измерения U — Дж (Джо́уль). 

Из формулы видно, что внутренняя энергия одноатомного газа зависит от количества рассматриваемого вещества, но часто мы будем рассматривать такие ситуации, когда оно не меняется. 

То есть в общем случае можно сказать, что при постоянстве количества вещества, внутренняя энергия зависит только от абсолютной температуры газа.

Рассмотрим изменение внутренней энергии математически:

Пусть U₁ и U₂ — начальная и конечная внутренняя энергия и им соответствуют температуры T₁ и T₂. При условии, что количество вещества постоянно, получим:

\(\Delta U = \frac{3}{2} \nu RT_2 — \frac{3}{2} \nu RT_1 = \frac{3}{2} \nu R(T_2 — T_1)\), где \(\Delta U = U_2 — U_1\).

И что мы видим? Если конечная температура меньше начальной, то в скобке мы получим отрицательное число, и, следовательно, отрицательное изменение внутренней энергии. Поэтому для себя мы берем следующее очень важное правило: первый способ изменения внутренней энергии — теплопередача — передача тепла от более нагретого тела к менее нагретому.

То есть при нагревании тела температура увеличивается, а значит, увеличивается и внутренняя энергия. Соответственно, при охлаждении — уменьшается.

Физики были бы не физики, если б не преобразовывали формулы для своих целей. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для 1 и 2 случая:

Что значит «вылететь, как пробка»? В буквальном смысле это значит: взять у водяного пара его внутреннюю энергию и превратить в свою кинетическую. Давайте разберемся, как происходит процесс, изображенный на картинке. У нас имеется трубка с гладкими стенками, которая с одной стороны запаяна, а с другой — заткнута пробкой, в трубке находится газ, который равномерно нагревают. Так как газ в трубке нагревают, объем остается постоянным, так как стенки нашей трубки нерастяжимы, то по уравнению Менделеева-Клапейрона pV=νRT при увеличении температуры у нас увеличивается и давление в сосуде. Давление будет увеличиваться до тех пор, пока сила давления F=pS, где S — площадь поверхности пробки, не хватит для того, чтобы пробка вылетела из сосуда. А чтобы ее хватило, нужно, чтобы она стала по модулю больше, чем сила давления со стороны атмосферы F₀, действующая на пробку. \(p_1V_1= \nu RT_1\) \(p_2V_2= \nu RT_2\), где \(p_1\) и \(p_2\)  — это давление газа в первом и втором случае соответственно (Па); \(V_1\) и \(V_2\) — объем газа в первом и втором случае соответственно (\(м^3\)); \(T_1\) и \(T_2\) — температура газа в первом и втором случае соответственно (К).

Можно подставить это в уравнение выше и получить:

\(\Delta U = \frac{3}{2}(p_2V_2 — p_1V_1)\), а формула для внутренней энергии \(U = \frac{3}{2}pV\).

Подобные уравнения достаточно часто попадаются в ЕГЭ, и многие ученики путаются и берут одно значение давления р, что приводит к ошибке. Важно всегда подробно расписывать уравнения для внутренней энергии.

С этой формулой нам было необходимо ознакомиться, поскольку ее применение сильно сократит время на решение задач. 

Любопытный читатель уже мог предвидеть, что раз был первый способ, то будет и второй. На самом деле, ничего нового для себя сейчас мы не откроем. В механике существует правило, что изменение энергии — это работа, совершенная в этом процессе. Но в механике мы не учитывали различные тепловые процессы, а в термодинамике это основная задача. Описанное применимо и к внутренней энергии, но строгое уравнение-связку мы рассмотрим чуть позже. Поэтому:

Второй способ изменения внутренней энергии — совершение газом или над газом работы.

Работа газа

Рассмотрим работу, совершаемую газом, в различных изопроцессах.

Для начала разберемся, что это за процессы такие вообще?

Изопроцессом называют такой термодинамический процесс, во время которого остается неизменным количество вещества газа и один из параметров, характеризующих газ в том или ином состоянии (температура, давление или объем).

Изобарный процесс. Вспомним, что это процесс, который происходит под постоянным давлением (p = const). То есть можем считать, что газ своими микрочастицами (молекулами) действует на стенки сосуда с одинаковой силой. Чтобы газ совершил работу, должно происходить какое-то движение. 

Тогда рассмотрим ситуацию так называемого изобарического расширения, когда газ расширяется при постоянном давлении, и поршень движется вверх под действием газа. Пусть в начальный момент газ занимал объем V₁, а после расширения объем  V₂, при этом начальная высота поршня  h₁, конечная —  h₂. Давление p постоянно и оно создает некоторую силу давления, которая заставляет поршень подниматься. 

Работу, которую совершил поршень, легко можно посчитать, используя определение механики:

\(A_{вн} = -F \Delta h = -F(h_2 — h_1)\), причем работа отрицательная, потому что над поршнем совершают работу, а не он сам. F — сила давления, которая выражается в виде F = pS, где S — площадь поперечного сечения поршня. Подставим это выражение в формулу работы и преобразуем его: 

A_вн = -pS(h₂ — h₁) = -p(Sh₂ — Sh₁) = -p(V₂ — V₁).

Но ведь вся работа, совершенная газом, пошла на работу поршня, поэтому работа газа будет равна A_вн, взятая с противоположным знаком. V₂ — V₁ обозначим за V и получим готовую формулу:

Работа газа при изобарном процессе равна произведению давления газа на изменение объема газа в этом процессе.

\(A = p \Delta V\) , где A — работа газа (Дж), p — давление газа в этом процессе (Па), \(\Delta\)V — изменение объема газа (м3).

Единица измерения A — Дж (Джоуль). 

Из этой формулы нам важны два следствия, которые в дальнейшем будем применять в задачах.

Следствие 1: 

При расширении газа, то есть увеличении его объема, работа газа положительна. Если же газ сжимается, то работа газа отрицательна.
В таком случае говорят, что над газом совершают работу внешние силы.

Следствие 2: геометрическая интерпретация работы газа.
Работа газа равна площади фигуры под графиком в координатах p—V.
Это знание нужно беречь как зеницу ока.

Действительно, если посмотреть на график, то длина прямоугольника — это величина \(V_2 — V_1 = \Delta V\), а ширина — давление p. Перемножив, получим \(p \Delta V\) — работа газа А.

Это следствие будет нашим помощником, когда будем рассматривать другие процессы.

Ленивые газы существуют? Есть ли они среди нас? Изохорный процесс происходит при постоянном объеме (V = const). То есть газ настолько ленивый, что не хочет ни расширяться, ни сжиматься. А что мы знаем про ленивых? Они не любят работать. Вот газ здесь тоже работу совершать не будет.

Если посмотрим на график в координатах p—V, то он представляет собой прямую линию, которая не имеет площади. Это еще одно пояснение, почему работа газа при изохорном процессе равна нулю. 

Изотермический процесс (температура постоянна, t = const). График представляет собой гиперболу, площадь под которой мы искать не умеем. 

Гении вышмата могут вывести эту формулу, но для наших целей и на экзамене она не нужна.

Первый закон термодинамики

Момент истины настал, мы пришли к кульминации — к первому закону термодинамики. В некоторых источниках может встречаться понятие «первое начало термодинамики».

Первый закон термодинамики — одно из важнейших фундаментальных знаний в молекулярной физике. Это своего рода закон сохранения энергии, который перенесли на тепловые процессы.

В классической формулировке первый закон термодинамики звучит так:

Количество теплоты, переданное теплоизолированной системе, расходуется на изменение внутренней энергии и на работу, совершенную системой над внешними силами. 

Q = \(\Delta\)U + A, где Q — количество вещества в данном процессе (Дж), \(\Delta\)U — изменение внутренней энергии (Дж), A — работа газа (Дж).

Если мы говорили, что работа, совершаемая над газом, — это работа внешних сил, то работа над внешними силами — работа газа.

Теперь нужно отработать применение этого закона на практике. В ЕГЭ эта тема может встретиться вам в задании 9. Рассмотрим пример.

Задача. Идеальный газ получил количество теплоты 300 Дж и совершил работу 100 Дж. Чему равно изменение внутренней энергии газа? Ответ дайте в джоулях.

Решение:

Согласно первому закону термодинамики, вся теплота, подведенная к газу, идет на изменение его внутренней энергии, а также на совершение газом работы против внешних сил: 

Q = \(\Delta\)U + A, где А — работа газа, \(\Delta\)U — изменение внутренней энергии газа, Q — теплота, подведенная к газу.

Отсюда мы можем вывести искомое изменение внутренней энергии газа:
\(\Delta\)U=Q — А, значит, \(\Delta\)U=300-100=200 Дж.

Ответ: 200 Дж

Давайте посмотрим, как будет вести себя наш новый гость в копилке формул, если он будет применяться к различным изопроцессам:

1. Изохорный процесс.

При изохорном процессе остается постоянным объем газа, то есть он не расширяется и не сжимается. В таком случае совершаемая им работа равна нулю, а закон примет вид: Q = \(\Delta\)U. Другими словами, при изохорном процессе количество теплоты, переданное системе, полностью расходуется на изменение внутренней энергии системы. 

2. Изотермический процесс.

При изотермическом процессе остается постоянной температура системы, то есть ее внутренняя энергия не меняется. Таким образом, по первому закону термодинамики вся теплота, сообщенная газу, пойдет полностью на совершение им работы: Q = A.

3. Изобарный процесс.

При изобарном процессе не меняется давление системы тел. Это не влечет за собой изменения формулы закона, а значит, применяем ее как есть: Q = \(\Delta\)U + A.

Но минуточку, мы рассмотрели ситуации, когда внутреннюю энергию и работу газа можно было «занулить». А существует ли такой процесс или состояние, когда можно из формулы убрать Q? 

Адиабатным называется процесс, который происходит без теплообмена с окружающей средой.  

Другими словами, это процесс, при котором изменение внутренней энергии системы происходит за счет совершаемой работы: Q = 0 \(\rightarrow\) \(\Delta\)U = -A. 
Причем это будет работа внешних сил, противоположная работе газа. 

Важно: адиабатический процесс не является изопроцессом. Это отдельный процесс, который не влечет за собой постоянство давления, объема или температуры.

И все же, вопрос остался пока открытым: как же можно управлять теплом? Из первого закона термодинамики, можем сказать, что нужно создать такие условия для системы тел, при которых у нее будет наибольшая совершенная работа и большое изменение внутренней энергии.

Термины

Изопроцессы — процессы, при которых один из макроскопических параметров (давление, объем, температура) остается постоянным.

Фактчек

• Внутренняя энергия тела — суммарная потенциальная энергия взаимодействия молекул тела друг с другом (но не с молекулами других тел) и кинетическая энергия беспорядочного движения этих же частиц в веществе.
•  Формула по определению: \(U = \frac{3}{2} \nu RT\) или \(U = \frac{3}{2}pV\), а формула изменения этой энергии: \(\Delta U = \frac{3}{2} \nu R(T_2 — T_1) = \frac{3}{2}(p_2V_2 — p_1V_1)\). Примечание: формула справедлива для идеального одноатомного газа.
• Изменить внутреннюю энергию можно теплопередачей и совершением над телом работы.
• Работу газа можно найти как площадь фигуры под графиком в координатах p—V.
• Работа газа при изобарном процессе: A = p\(\Delta\)V.
• Работа газа при изохорном процессе равна 0.
• Работа газа при изотермическом процессе: все сложно.
• Первый закон термодинамики: количество теплоты, переданное теплоизолированной системе, расходуется на изменение внутренней энергии и на работу, совершенную системой над внешними силами. 
• Адиабатным называется процесс, который происходит без теплообмена с окружающей средой.

Проверь себя

Задание 1. 
В каких случаях работа газа равна нулю?

1. Когда газ не меняет свой объем.
2. Когда газ расширяется.
3. Когда газ сжимается.
4. Когда сосуд с газом перемещают с одного стола на другой.

Задание 2. 
Какое(-ие) из следующих утверждений верно(-ы)?

• Адиабатный процесс — пример изопроцесса.
• Адиабатный процесс происходит в отсутствии теплообмена.

1. Верно только 1.
2. Верно только 2.
3. Верны и 1 и 2.
4. Неверны ни 1, ни 2.

Задание 3. 
В каких случаях можно утверждать, что изменение внутренней энергии газа отрицательно?

Задание 4.  
На рисунке показан график изменения состояния газа. Его внутренняя энергия увеличилась на 9 Дж. Какое количество теплоты получил газ в процессе 1—2, если его масса оставалась неизменна? 

1. 8
2. 9
3. 6
4. 4

Задание 5. 
На рисунке представлены два процесса, проводимые одновременно с разными газами. Первый газ расширялся по процессу 1—2, а второй по процессу 3—4. Найдите разность между работой газа 1 и работой газа 2, если их массы в ходе процессов постоянны.

1. 0
2. 1
3. 4
4. 2

Ответы: 1 — 1; 2 — 2; 3 — когда газ понижает свою температуру (T₂ < T₁); 4 — 2; 5 — 1.