Энергия. Закон сохранения энергии. Работа и мощность

На этой странице вы узнаете

• Почему автобус равен спорткару?
• Как энергия может дать нам способ для развлечения?
• Что такое лошадиные силы, и почему их вообще используют?

У всякого тела есть энергия. И у ветки дерева, которая выросла выше крыши дома, и у мотоциклиста, едущего с невероятно большой скоростью, — просто она всегда разная. Удивительно, что эта энергия может «трансформироваться» в другую энергию. Давайте узнаем, какой энергией обладают тела вокруг нас.

Работа сил

Сила может характеризоваться временем ее действия, что и показывает импульс силы. Но что делать, если сила не меняется с течением времени?

Для этого рассмотрим пространственную характеристику силы: это характеристика перемещения тела на определенное расстояние. 

Работа — пространственная характеристика силы, и это скалярная физическая величина, равная произведению силы, действующей на тело, его перемещения вдоль оси и косинуса угла между вектором перемещения и вектором силы. 

A=FScos\(\alpha\), где  A — работа (Дж); F — прикладываемая сила (Н); S — перемещение тела под действием силы (м); \(\alpha\) — угол между силой F и вектором перемещения (градусы).

Почему используется косинус в этой формуле?
Косинус угла появляется, чтобы показать, какая часть силы влияет на перемещение тела.

Как определить знак работы? Он определяется именно косинусом этого угла:

• Работа действующей силы отрицательна, если сила действует против вектора перемещения (тело движется вправо, а сила действует влево), в этом случае cos<0. 

Например, сила трения: она всегда направлена против движения тела, поэтому ее работа всегда будет отрицательной.

• Работа действующей силы положительна, если сила действует по вектору перемещения (тело движется вправо, и сила действует вправо), в этом случае cos>0.

Мы выяснили, что сила, действующая на движущееся тело, совершает работу.
Само тело также может выполнять работу. Но как эту работу увидеть?

Энергия характеризует способность тела выполнять работу. Если тело обладает энергией, то говорят, что оно может совершить работу. В процессе выполнения работы энергия тела уменьшается.

Интересно, что телу можно передать энергию, выполнив над ним работу.
По сути, понятия «работа» и «энергия» эквивалентны.

Но оказывается, что у энергии есть несколько видов. Рассмотрим их. 

Виды механической энергии

Механическая работа связана с видами механической энергии: кинетической и потенциальной.

Потенциальная энергия

Энергия, которой обладает тело вследствие взаимодействия с другими телами или взаимодействия отдельных частей тела, называется потенциальной.

Вспомним, что в любой момент времени на каждое тело действует сила тяжести, характеризующая взаимодействие с Землей. Чему равна ее работа? 

Сила тяжести всегда направлена к центру планеты, на которой находится тело. Это значит, что она совершает работу только вдоль линии перпендикуляра к поверхности. Другими словами, работа силы тяжести направлена только на изменение высоты тела над определенной поверхностью.

Предположим, что тело массой m находится на высоте h относительно нулевого уровня (где h=0). Если мы отпустим данное тело, то под действием силы тяжести оно упадет на поверхность, переместившись на расстояние h. Тогда сила тяжести совершает работу:

\(A=FScos\alpha=mg*h*cos 0 =mgh\)

Данную величину в физике называют потенциальной энергией взаимодействия тела с Землёй.

Потенциальная энергия в поле силы тяжести — скалярная величина, равная работе, которую бы совершила сила тяжести при падении тела на нулевой уровень.

Ep=mgh, где  Ep — потенциальная энергия в поле силы тяжести (Дж); m — масса тела (кг); g — ускорение свободного падения (м/с2); h — высота над нулевым уровнем, на которой находится тело (м).

Иными словами, это энергия притяжения тела относительно нулевого уровня. Заметим, что нулевой уровень можно выбрать самостоятельно, то есть данная энергия относительна: ее значение меняется в зависимости от начала отсчета.

Нередко в задачах для решения необходимо использовать потенциальную энергию деформированной пружины. Она вычисляется по формуле: 

\(E_p=\frac{k*x^2}{2}\), где  \(E_p\) — потенциальная энергия деформации пружины (Дж); \(k\) — жесткость пружины (Н/м); \(x\) — деформация пружины (м).

Связь потенциальной энергии и работы

Изменение потенциальной энергии возможно только в случае выполнения работы.

Например, пружина удерживает дверь от произвольного открытия. Для того чтобы открыть дверь, необходимо выполнить работу. Потенциальная энергия деформированной пружины увеличивается. Работа внешней силы привела к возрастанию потенциальной энергии упругой деформации.

Если выпустить дверь, то пружина сжимается, её потенциальная энергия расходуется на работу по перемещению двери.

Интересно это описано в романе Ильфа и Петрова «Двенадцать стульев». 

О дверных пружинах в доме престарелых: «Все эти цилиндры, пружины и  противовесы  обладали  могучей силой. Двери захлопывались с такою же стремительностью, как дверцы мышеловок. От работы дверных механизмов дрожал весь дом. Старухи с печальным писком спасались от набрасывавшихся на них дверей, но убежать  удавалось не всегда. Двери настигали беглянок и толкали их в спину…».

Теорема о потенциальной энергии: работа, выполненная над телом, равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.

\(А_{потенц.} = -\Delta E_p\), где \(А\) —  работа потенциальной силы, \(\Delta E_p\) — изменение потенциальной энергии тела.

Очевидно, что при падении тела его потенциальная энергия уменьшается вследствие работы силы тяжести. Значит, работа приводит к падению потенциальной энергии. 

Потенциальной силой будем называть силу, работа которой не зависит от формы траектории. 

К потенциальным силам относится сила тяжести. Работа этой силы определяется только высотой над нулевым уровнем потенциальной энергии тела.

Теперь рассмотрим еще один вид энергии, а именно кинетическую.

Кинетическая энергия

Механическая энергия тела не всегда связана с взаимодействием. Если футбольный мяч ударить ногой, то он начинает движение. 

Неудачное попадание в окно! И стекло разлетается вдребезги. Как? Мяч способен выполнить работу? Он же просто двигался! 

Кинетическая энергия — энергия движения тела.

\(E_k=\frac{m*v^2}{2}\), где  \(E_k\) — кинетическая энергия (Дж); \(m\) — масса тела (кг); \(v\) — скорость тела (м/с).

Теорема о кинетической энергии гласит: работа, выполненная над телом, приводит к увеличению его кинетической энергии.

\(А =\Delta E_k\), где \(А\) — работа внешней силы, \(\Delta E_k\) — изменение кинетической энергии тела.

К примеру, при падении тела работа силы тяжести приводит к увеличению кинетической энергии тела.

Из кинематики мы знаем, что в различных системах отсчета скорость одного и того же тела может различаться. Следовательно, кинетическая энергия тоже является относительной.

Почему автобус равен спорткару? Если кинетические энергии тел одинаковы, то скорость и масса могут отличаться! Вспомним, что чем больше масса, тем меньше квадрат скорости. Оказывается, если подобрать нужное соотношение масс и скоростей для автобуса и спорткара, то они будут обладать одинаковой кинетической энергией. Автобус имеет большую массу, а спорткар — скорость.

Может ли тело обладать кинетической и потенциальной энергией одновременно? Что будет с величиной кинетической и потенциальной энергий в процессе движения тела?

Если тело поднимается вверх после броска, то его потенциальная энергия растет несмотря на притяжение Земли! Откуда берётся этот запас энергии?

Не много ли вопросов? Что об этом говорят физики?

Закон сохранения энергии

Выше мы выделили 2 вида механической энергии: потенциальную и кинетическую. В сумме они составляют полную механическую энергию тела \(W\):

\(W=E_k+E_p\)

Важнейшее значение в физике имеет закон сохранения полной механической энергии. 

Закон сохранения полной механической энергии: в замкнутой системе (в отсутствие стороннего воздействия) полная механическая энергия не меняется со временем. 

\(W=E_{k0}+E_{p0}=E_k+E_p\), где  \(W\) — полная механическая энергия (Дж); \(E_{k0}\) и \(E_{p0}\) — начальные кинетическая и потенциальная энергии соответственно (Дж); \(E_k\) и \(E_p\) — конечные кинетическая и потенциальная энергии соответственно (Дж).

Данный закон носит фундаментальный характер:

Энергия не может появиться или исчезнуть, она может лишь переходить в иной вид.

Превращение энергии при наличии силы трения

В реальной ситуации такие превращения механической энергии невозможны.

Например, капля дождя, достигая земной поверхности, должна иметь скорость порядка 200 м/с. Заметим, что кинетическая энергия капли при такой скорости настолько велика, что может привести к значительным разрушениям! Происходит ли это во время дождя?

Тут что-то не так! Рассматривая превращение энергии, мы отбросили сопротивление воздуха. 

Сила сопротивления воздуха при движении тела выполняет работу, приводя к изменению механической энергии тела. Обратим внимание, что общее значение механической энергии при наличии силы сопротивления в процессе движения уменьшается.

Закон изменения полной механической энергии

Однако мы ни в коем случае не претендуем на роль разрушителей физических теорий. Закон сохранения и превращения энергии справедлив и в этом случае! Просто часть механической энергии переходит в иные формы. 

Например, в процессе трения происходит нагревание тела. Вспомните метеориты. Космические тела, попадая в атмосферу Земли, сгорают в её верхних слоях. Мы же наблюдаем восхитительное явление — звёздный дождь!

Сформулируем закон изменения полной механической энергии:

Изменение полной механической энергии тела равно работе всех непотенциальных сил, приложенных к телу.

\(А_{всех непотенц.сил} =\Delta(E_k+E_p)\), где \(А_{всех непотенц.сил}\) — работа всех непотенциальных сил, \(\Delta (E_k+E_p)\) — изменение полной механической энергии.

Давайте применим закон изменения полной механической энергии при решении задач. Такие задания могут встретиться в ЕГЭ № 3.

Задание.Камешек массой m = 100 г падает с высоты h = 10 м без начальной скорости. Какова его кинетическая энергия в момент перед ударом о землю, если потеря энергии за счёт сопротивления воздуха составила Q = 4 Дж?(Ответ дайте в джоулях.) Ускорение свободного падения принять равным
g =10 м/с².

Решение. В задаче есть указание на потерю энергии вследствие сопротивления воздуха.

Применим закон изменения полной механической энергии:

\(mgh = E_k+Q\),

где \(E_k\) — кинетическая энергия камня у поверхности земли.

Откуда имеем:

\(E_k=mgh -Q\).

Получим:

\(E_k=0,1*10*10 -4=6\) (Дж).

Ответ: \(6\) 

Проводить анализ изменения энергии удобно при помощи графиков зависимости этих величин от времени.

Рассмотрим эти графики.

Графики зависимости кинетической, потенциальной и полной механической энергии от времени

Учтем, что движение тела в вертикальном направлении при условии отсутствия сил сопротивления является равноускоренным.

Рассмотрим зависимость механической энергии тела от времени при условии, что тело бросили вертикально вверх с начальной скоростью \(v_0\). Тело, поднявшись на максимальную высоту, развернется и начнет движение вниз с тем же по модулю ускорением — ускорением свободного падения (g).

С учетом вводных имеем:

\(E_k=\frac{m(v_0-gt)^2}{2}\), \(E_p=mg(v_0t-\frac{gt^2}{2})\), где \(E_k\)— кинетическая энергия тела массой m, \(E_p\) — его потенциальная энергия.

Графически эту зависимость можно отразить следующим образом:

Очевидно, что полная механическая энергия системы не изменяется.

Предлагаем посмотреть на задания ЕГЭ/ОГЭ, в которых эта зависимость используется. Это может быть № 3 ЕГЭ.

Задание. Камень массой 200 г брошен с поверхности земли вертикально вверх. На рисунке представлена зависимость кинетической энергии камня от времени. Определите максимальную высоту, на которую поднимется камень. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, то можно применить закон сохранения полной механической энергии:

\(\Delta (E_k+E_p)=0\)

Примем уровень земли нулевым уровнем потенциальной энергии камня. В момент броска потенциальная энергия равна нулю. На максимальной высоте кинетическая энергия камня равна нулю.

Имеем, что \(E_{k1}=E_{p2}\), где \(E_{k1}= 60\) Дж — максимальное значение кинетической энергии камня, \(E_{p2}= mgh\) — максимальное значение потенциальной энергии камня на искомой высоте \(h\).

Получим:  

\(E_{k1}= mgh\).

Откуда имеем:

\(h=\frac{E_{k1}}{mg}=\frac{60}{0,2*10}=30 (м)\).

Ответ: 30

Как энергия может дать нам способ для развлечения? Американские горки работают отчасти за счет сохранения энергии. На максимальной высоте горки вагончики обладают максимальной потенциальной энергией, а на самой нижней — максимальной кинетической. И так, от участка до участка, энергия перегоняется из одного состояния в другое. Правда, часть энергии теряется из-за трения и сопротивления воздуха, но об этом как-нибудь в другой раз.

Интересно, что скорость, с которой энергия меняется (то есть выполняется работа), может быть разной.

Чтобы выкопать котлован будущего дома, можно пригласить бригаду копателей. Они будут с упорством, достойным уважения, вручную кидать землю в течение нескольких недель. Если же пригласить экскаватор, работа будет выполнена значительно быстрее.

В нашем примере намного эффективнее было все-таки вызвать экскаватор. Но как же получается, что при одинаковом объеме работ эти ситуации так отличаются по времени? И существует ли характеристика, позволяющая определять скорость работы? 

Характеризует быстроту выполнения работы физическая величина — мощность.

Мощность

В жизни мы нередко встречаемся с понятием мощности чего-либо. Например, мощность двигателя автомобиля, мощность электрочайника.

Что такое мощность?

Мы выяснили, что сила имеет временной (импульс силы) и пространственный (работа) характер. Работа, в свою очередь, также характеризуется скоростью выполнения. Данная величина называется мощностью.

Мощность — скорость совершения работы, равная по модулю отношению работы ко времени ее выполнения.

\(P=\frac{A}{t}\), где  \(P\) — мощность (Вт); \(A\) — работа (Дж); \(t\) — время (с).

Единица измерения: [P] = Вт (Ватт).

В данной формуле вычисляется средняя мощность за определенный промежуток времени. Часто требуется найти мгновенную мощность.

Мгновенная мощность — мощность в данный момент времени.

\(P=F_s*v\), где  \(P\) — мгновенная мощность (Вт); \(F_s\) — проекция силы на перемещение (Н); \(v\) — скорость (м/с).

Распишем в формуле мощности работу по ее определению:

\(P=\frac{A}{t}=\frac{FScos\alpha}{t}\), где \(Fcos\alpha=F_s\) — проекция силы на перемещение \(S\).

\(P=\frac{A}{t}=\frac{F_sS}{t}=F_s*v\), где \(v=\frac{S}{t}\) — скорость тела на пути.

Что такое лошадиные силы и почему их вообще используют? Лошадиные силы (л.с.) — устаревшая мера измерения мощности. В России 1 л.с. примерно равна 735,5 Вт. Изначально л.с. являлась мерой не скорости повозок, а мощности, которую давала лошадь до прихода паровых машин. Однако эту величину настоятельно требует исключить Международная организация законодательной метрологии (МОЗМ) и не вводить там, где ее нет.

Сегодня мы познакомились с фундаментальным законом природы — законом сохранения и превращения энергии. В механике применение этого закона позволяет решить практически любую задачу.

А тем временем в физике еще столько всего интересного! Например, в статье «Правило моментов» мы подробно обсудим условия равновесия тела. 

Термины

Замкнутая система — система взаимодействующих тел, в которой отсутствуют внешние силы.

Непотенциальные силы  — силы, работа по замкнутому контуру которых не равна нулю.

Фактчек

• Работа — пространственная характеристика силы.
• Энергия покажет, какую работу способно выполнить тело.
• Механическая энергия существует в двух видах: потенциальная и кинетическая.
• Потенциальной энергией обладает тело вследствие взаимодействия с другими телами.
• Кинетической энергией обладает любое движущееся тело.
• Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий тела.
• Энергия не может появиться или исчезнуть, она может лишь переходить в другой вид.
• Полная механическая энергия замкнутой системы тел не меняется. 
• При наличии силы сопротивления полная механическая энергия уменьшается. Частично она идет на работу по преодолению сопротивления.
• Мощность — скорость совершения работы, равная по модулю отношению работы к промежутку ее действия.

Проверь себя

Задание 1.
Какая величина характеризует силу в пространстве?

1. координата
2. время
3. импульс
4. работа

Задание 2.
Какова работа силы трения?

1. положительна
2. отрицательна
3. нельзя утверждать однозначно
4. отрицательная или равна нулю

Задание 3.
Что такое потенциальная энергия в поле силы тяжести?

1. энергия движения
2. работа силы притяжения тела к поверхности Земли
3. энергия потенциала
4. зависит от условия задачи

Задание 4.
О чем гласит закон сохранения энергии?

1. В замкнутой системе полная механическая энергия не меняется со временем.
2. Полная механическая энергия не меняется со временем в любой системе отсчета.
3. Потенциальная энергия тела всегда равна кинетической.
4. Энергия системы меняется со временем.

Задание 5.
В чем физический смысл мощности?

1. время действия силы
2. скорость совершения работы
3. сила работы
4. скорость изменения силы

Ответы: 1. —  4; 2. — 4; 3. — 2; 4. — 1; 5. — 2.