к списку статей
Возведение числа в степень
На этой странице вы узнаете
- Как связаны степени и наш мозг?
- Какое самое большое число мы можем записать с помощью трех цифр?
- Существует ли закон, по которому растут бактерии?
Как превзойти самого себя? Мы часто слышим, что главное соревнование – соревнование с самим собой. И это действительно так! Важно расти относительно самого себя в данную минуту, то есть по сути мы должны возводить себя в степень, таким образом, в каждый следующий момент будет происходить заметный рост.
Если говорить про математику, возведение в степень – это важнейшая операция, которая применяется буквально везде: при решении примеров, преобразовании выражений, решении различных задач.
Возведение в степень — арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя.
То есть \(x^n=x*x*x*…*x\), в произведении у нас будет \(n\) множителей. Здесь \(x\) называется основанием степени, а \(n\) – показателем степени.
Рассмотрим примеры: \(6^3=6*6*6\) или \(5^4=5*5*5*5\).
| Как связаны степени и наш мозг? Наш мозг состоит из \(2*10^{12}\) нервных клеток и способен ежедневно запоминать \(8,6*10^7\) единиц информации. При этом к концу жизни наша память хранит примерно \(10^8\) единиц информации, что сильно больше, например, памяти компьютера. |
В этой статье мы разберемся, как правильно совершать данную математическую операцию.
Возведение числа в натуральную степень
Для начала разберемся, что же такое натуральный показатель степени.
Натуральная степень – степень, в показателе которой стоит натуральное число, то есть 1, 2, 3 и т.д.
При возведении числа в натуральную степень мы можем действовать двумя способами:
- Умножать число само на себе столько раз, какое число стоит в показателе степени.
В данном случае мы пользуемся только нашим умением совершать умножение, но, конечно, в таком случае легко совершить арифметическую ошибку, особенно если показатель степени достаточно большой.
Например, \(5^3=5*5*5=25*5=125\)
Если же мы работаем с дробями и возводим их в степень, то мы должны возвести в данную степень отдельно числитель и знаменатель: \((\frac{2}{3})^4=\frac{2^4}{3^4}=\frac{16}{81}\).
При возведение \(0\) в любую степень мы получим ноль, аналогично с \(1\): \((1)^n=1\)
- Воспользоваться таблицами
Сейчас легко найти таблицы, которые позволяют быстро понять, чему равно то или иное число, возведенное в определенную степень.
| Какое самое большое число мы можем записать с помощью трех цифр? Если мы возведем \(9\) в степень \(9^9 (9^{9^9})\) мы получим число, записать которое мы сможем только в 150 томах по 100 страниц каждый. Если писать каждую секунду две цифры, то для того, чтобы полностью записать это число нам понадобится 7 лет. |
При возведении чисел в натуральные степени мы можем сталкиваться с различными ситуациями: например, возводить число сначала в одну степень, а потом в другую \((6^2)^3\) или возводить одинаковое число в разные степени и затем умножать \(6^2*6^3\).
В таких случаях мы сталкиваемся со свойствами степеней.
Задание на работу со степенями может встретиться в задании №7 ЕГЭ по профильной математики.
Задание. Найдите значение выражения \(18x^7*x^{13}:(3x^{10})^2\).
Решение. Воспользуемся свойствами степеней из таблицы выше и раскроем скобки:
\((3x^{10})^2=9*x^{20}\)
Тогда наше выражение приобретает вид:
\(18x^7*x^{13}:9x^{20}\)
Теперь выполним действия, основываясь на свойствах степеней:
\(18(x)^{7+13-20}:9\)
\(18x^0:9\)
\(18*1:9\)
\(18:9=2\)
Ответ: 2
| Существует ли закон, по которому растут бактерии? На самом деле, такой закон действительно существует и выражается он с помощью степени: \(N = 5^t\) Здесь \(N\) — число бактерий в момент времени \(t\), где \(t\) — время разложения. |
Конечно, возводить в степень можно не только положительные, но и отрицательные числа.
При возведении положительных чисел в любую степень мы также получим положительное число. Но при возведении в степень отрицательных чисел, какие по знаку числа мы будем получить?
Если мы возводим отрицательное число в четную степень (0, 2, 4, 6, …), то получаем положительное число.
Возводя отрицательное число в нечетную степень (1, 3, 5, 7, …), получим отрицательное число.
Давайте на практике убедимся, что это действительно так. Посчитаем, чему равно \((-2)^4=(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=4*(-2)*(-2)=(-8)*(-2)=16\). Таким образом, мы возвели отрицательное число в четную степень и получили положительное число.
Рассмотрим другой пример: \((-3)^3=(-3)*(-3)*(-3)=9*(-3)=-27\). То есть мы возвели отрицательное число в нечетную степень и получили отрицательное число.
Со степенями мы также можем встретиться в ОГЭ в задании №6.
Задание. Найдите значение выражения \(2*(-10)^2+3*(-10)^3-5\)
Решение. Возведем \(-10\) в данные степени:
\((-10)^2=100, (-10)^3=-1000\)
Тогда получим:
\(2*100+3*(-1000)-5\)
Найдем значение данного выражения:
\(2*100+3*(-1000)-5 = 200-3000-5=-2800-5=-2805\_
Ответ: \(-2805\)
В данной статье мы разобрались, как работать со степенями. Почти любая тема в математике так и иначе касается этой темы. Чтобы продолжить знакомство с математикой, читайте следующую статью «Вычисление вероятностей».
Фактчек
- Возведение в степень – арифметическая операция, которая является результатом многократного умножения числа на само себя.
- Возводя положительное число в любую степень, мы получим положительное число. Если же возводить отрицательное число, то мы можем получить как положительное число (при возведении в четную степень), так и отрицательное – при возведении в нечетную степень.
- Если мы возводим дробь в степень, мы должны возвести в эту степень числитель и знаменатель.
Проверь себя
Задание 1.
Чему равно значение выражения \(4^5\)?
- \(16\)
- \(1024\)
- \(256\)
- \(4\)
Задание 2.
Чему равно значение выражения \((\frac{1}{2})^3\)?
- \(18\)
- \(14\)
- \(36\)
- \(38\)
Задание 3.
Чему равно значение выражения \(7^2*7\)?
- \(56\)
- \(49\)
- \(343\)
- \(21\)
Задание 4.
Чему равно значение выражения \((-9)^2\)?
- \(-18\)
- \(18\)
- \(-81\)
- \(81\)
Задание 5.
Чему равно значение выражения \((-8)^3\)?
- \(-512\)
- \(24\)
- \(-24\)
- \(512\)
Ответы: 1. — 2; 2. — 1; 3. — 3; 4. — 4; 5.— 1.
