Умскул учебник стремится стать лучше! Если вы наткнулись на ошибку или неточность в нашем материале - просто сообщите нам, мы будем благодарны!
Математика

Арифметическая прогрессия

17.5.2022
364

На этой странице вы узнаете

  • Как правильно расставить шары для бильярда в начале игры? 
  • Как Карл Гаусс удивил своего учителя по математике?

Считаем ли мы овец перед сном, добавляем по монетке в копилку или достаем сухарик из упаковки — каждый раз мы интуитивно применяем законы математики, которые рассмотрим в этой статье.

Понятие арифметической прогрессии 

Арифметическая прогрессия является видом «Числовых последовательностей». 

У арифметической прогрессии есть особенность: каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число. В последовательности 1, 2, 3, 4 и так далее — члены отличаются друг от друга на единицу. 

Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и разности прогрессии. 

Разность прогрессии — то число, на которое отличаются члены прогрессии друг от друга. Разность прогрессии обозначается буквой d. 

Арифметическую прогрессию можно задать формулой. 

an+1 = an + d

Например, если мы хотим найти третий член арифметической прогрессии, то нужно воспользоваться формулой: a3 = a2 + d

Однако бывает, что известны только первый член прогрессии и ее разность. Как быть в этом случае?

Разберемся на примере. Допустим, мы читаем книгу. Количество прочитанных страниц может быть задано с помощью арифметической прогрессии, в которой разность прогрессии и первый ее член равны 1. 

Мы прочитали 10 страниц. Десятая страница будет десятым членом прогрессии. Это 1 + 1 + 1 + 1 +1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 страниц, если считать их по отдельности. 

Выделим первую страницу отдельно: 1 + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) = 1 + 9 = 1 + 1 * 9 

Теперь заменим десятый член прогрессии, первый член прогрессии и ее разность на буквенные обозначения: a10 = a1 + 9 * d.

Заметим, что множитель перед d на один меньше, чем порядковый номер искомого члена прогрессии. Тогда получаем: a10 = a1 + (10 — 1) * d

Мы можем вывести формулу для n-го члена прогрессии. А выглядит она так. 

an = a1 + d(n — 1)

Как правильно расставить шары для бильярда в начале игры?

Вспомним расстановку шаров в бильярде. Они ставятся в пять рядов, причем в первом ряду один шар, а в пятом — пять. 

Тогда, чтобы правильно разместить 15 шаров, нужно воспользоваться арифметической прогрессией. В каждом следующем ряду будет на один шар больше, следовательно, во втором ряду имеем 1 + 1 = 2 шара, в третьем ряду 2 + 1 = 3 шара, а в четвертом 3 + 1 = 4. 

Расставленные таким образом шары образуют форму треугольника. 

Допустим, мы хотим купить джинсы. В магазине представлены три ценовых категорий, которые отличаются друг от друга на одинаковую сумму. Мы знаем, что самые дешевые джинсы стоят 1000 рублей, а самые дорогие 3000 рублей. Как найти, сколько стоят джинсы во второй ценовой категории?

Попробуем найти разность арифметической прогрессии. 

Джинсы во второй категории будут стоить 1000 + d, а чтобы найти стоимость третьей категории, нужно прибавить разность прогрессии ко второй категории. Получаем 1000 + d + d = 1000 + 2d.

Мы знаем, что самые дорогие джинсы стоят 3000 рублей. Получаем уравнение 1000 + 2d = 3000, откуда можем выразить разность прогрессии:

\(d = \frac{3000 — 1000}{2} = 1000\)

Тогда джинсы во второй ценовой категории будут стоить 1000 + 1000 = 2000 рублей. 

Можно ли как-то найти это значение, не прибегая к таким большим рассуждениям? Для этого достаточно найти среднее арифметическое двух соседних членов. 

\(a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\)

Докажем это. Если рассмотреть член аn, то член до него будет равен an — 1 = an — d, а член после него an + 1 = an + d. Тогда их среднее арифметическое равно \(\frac{a_{n — 1} + a_{n+1}}{2} = \frac{a_n — d + a_n + d}{2} = \frac{2a_n}{2} = an\). 

Проверим на нашей задаче. 

\(a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} = \frac{1000 + 3000}{2} = \frac{4000}{2} = 2000\). Все верно. 

Чтобы найти разность прогрессии, достаточно вычесть из любого члена прогрессии предыдущий к нему. 

d = an+1 — an

Найдем сумму всех членов арифметической прогрессии. Разумеется, их можно сложить: a1 + a2 + a3 + … + an. Но тогда нужно вычислять все члены прогрессии, а их может быть очень много. 

В этом случае используется формула суммы арифметической прогрессии. Ее удобство в том, что используются только первый и последний член прогрессии. 

\(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} * n\)

Немного преобразуем формулу: 

\(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} * n = \frac{a_1 + a_1 + d(n — 1)}{2} * n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} * n\) — это формула суммы членов арифметической прогрессии через первый член и ее разность. 

Решим небольшую задачу. Марина решила сделать картину из страз. По схеме у нее есть 15 рядов, в каждом из которых страз на три больше, чем в предыдущем. В первом ряду 6 страз. Сколько всего страз понадобится, чтобы выложить эти ряды?

Воспользуемся формулой арифметической прогрессии. Но прежде найдем, сколько страз в последнем, пятнадцатом ряду:

a15 = 6 + 3 * (15 + 1) = 6 + 3 * 14 = 6 + 42 = 48

Тогда по формуле суммы арифметической прогрессии всего Марине понадобится: 

\(S_{15} = \frac{6 + 48}{2} * 15 = \frac{54}{2} * 15 = 27 * 15 = 405\) страз. 

Как Карл Гаусс удивил своего учителя по математике?

Карл Гаусс — немецкий математик, живший в 18–19 веках. На одном из уроков математики учитель задал сложить все цифры от 1 до 100. 

Карл Гаусс заметил, что суммы чисел с противоположных сторон одинаковые: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и так далее. Всего таких сумм получилось 50. Следовательно, быстро вычислить сумму этих цифр можно было как произведение 101 * 50. 

Такой способ работает для любой арифметической прогрессии.
Внимательно посмотрим на сумму арифметической прогрессии. Пусть a1 = 1, a100 = 100, n = 100. Тогда получаем:
\(S_{100} = \frac{1 + 100}{2} * 100 = 101 * 50\), то есть Карл Гаусс использовал сумму арифметической прогрессии, сам того не зная. 

Виды арифметических прогрессий

Существует всего три вида арифметической прогрессии. 

1. Возрастающая арифметическая прогрессия. 

Разность прогрессии — положительное число, то есть d > 0, а каждый следующий член прогрессии больше предыдущего. 

Прогрессия 2, 4, 6, 8 является возрастающей. 

2. Убывающая арифметическая прогрессия. 

Разность прогрессии — отрицательное число, то есть d < 0, а каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего. 

Примером убывающей арифметической прогрессии может служить 100, 95, 90, 85 и так далее.  

3. Стационарная арифметическая прогрессия. 

В этой арифметической прогрессии разность будет равна 0, то есть d = 0. Следовательно, члены прогрессии не будут отличаться друг от друга. 

Например, прогрессия 3, 3, 3, 3, 3 будет являться стационарной. 

Фактчек

  • Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и разности прогрессии. 
  • Разность арифметической прогрессии — это число, на которое отличаются члены прогрессии. 
  • Чтобы найти n-ый член прогрессии, необходимо воспользоваться одной из трех формул: an+1 = an + d, an = a1 + d(n — 1) или \(a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\). 
  • Чтобы найти разность прогрессии, достаточно из любого члена прогрессии вычесть предыдущий ему член прогрессии. 
  • По формуле \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} * n\) можно найти сумму n членов прогрессии. 
  • Арифметическая прогрессия может быть убывающей, возрастающей или стационарной. 

Проверь себя

Задание 1. 
Какая прогрессия является арифметической?

  1. 3, 7, 11, 15
  2. 1, 1, 2, 3, 5
  3. 2, 4, 8, 16
  4. 1, 4, 16, 25

Задание 2. 
Первый член арифметической прогрессии равен 10, а ее разность равна -5. Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии. 

  1. Семнадцатого члена такой арифметической прогрессии не существует
  2. 0
  3. −70
  4. −75 

Задание 3. 
Пятый член арифметической прогрессии равен 16, а седьмой член равен 20. Найдите шестой член арифметической прогрессии. 

  1. 2
  2. 18
  3. 17,5
  4. Невозможно найти шестой член арифметической прогрессии. 

Задание 4. 
Каждый день Миша катается на велосипеде, причем с каждым разом увеличивает расстояние на 2 км. В первый день он проехал 3 км. Сколько всего км проедет Миша за пять дней?

  1. 14
  2. 17
  3. 11
  4. 35

Ответы: 1. — 1 2. — 3 3. — 2 4. — 4

Понравилась статья? Оцени:
Читайте также:

Читать статьи — хорошо, а готовиться к экзаменам
в самой крупной онлайн-школе — еще эффективнее.

50 000
Количество
учеников
1510
Количество
стобальников
>15000
Сдали на 90+
баллов