Геометрическая прогрессия

На этой странице вы узнаете

• Почему бактерии используют в биотехнологии?
• За какое время один одуванчик может покрыть всю площадь земного шара?
• Как геометрическая прогрессия объясняет крах финансовых пирамид? 

Наша сегодняшняя статья посвящена борьбе с закономерностями при помощи закономерностей.

Понятие геометрической прогрессии  

Как мы обычно режем пирог: пополам, каждую часть еще на две — повторяем это действие несколько раз. Возможно ли выразить такую операцию на математическом языке?

Есть такая фраза: «Увеличилось в геометрической прогрессии». Так говорят, когда что-то увеличивается очень быстро. Но благодаря чему достигается такая высокая скорость? 

В противоположность «Арифметической прогрессии», каждый член в геометрической отличается от предыдущего не НА какое-то определенное число, а В несколько раз. 

Вернемся к пирогу. После первого разреза у нас было 2 кусочка. После второго 2 * 2 = 4. После разрезали каждый получившийся кусочек еще на два: 4 * 2 = 8. Мы получаем геометрическую прогрессию 2, 4, 8. Каждый член прогрессии отличается от предыдущего в одинаковое количество раз.

Геометрическая прогрессия — вид последовательности, в которой каждый следующий член получается путем умножения предыдущего на число q. 

Геометрическую прогрессию можно задать следующей формулой. 

\(b_{n+1}=b_n*q\)

Заметим, что множитель q можно найти, если разделить член прогрессии на предшествующий ему. Следовательно, будут выполняться отношения
\(\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}=…=\frac{b_{n+1}}{b_n}=q\)

Число q — это знаменатель геометрической прогрессии. 

Почему бактерии используют в биотехнологии? Бактерии размножаются путем деления. Одна бактерия делится на две дочерние клетки, которые растут и, в свою очередь, делятся еще на две. Скорость их деления высока настолько, что всего за три дня масса потомства одной бактерии могла бы достигнуть 7500 тонн, если бы они не погибали от различных причин. Получается, что бактерии размножаются в геометрической прогрессии. Именно благодаря интенсивности размножения бактерии активно используют в биотехнологиях, в том числе в пищевой промышленности, фармацевтике и сельском хозяйстве.

Чтобы определить геометрическую прогрессию, нужно уметь вычислить любой ее член. Рассмотрим, как это сделать.

Вычисление членов прогрессии

Может возникнуть вопрос: как найти член прогрессии, если неизвестен предшествующий ему? Можно воспользоваться только первым членом прогрессии и знаменателем. 

Рассмотрим пример. Будем складывать бумагу пополам. После первого сгиба бумага разделится на два прямоугольника — это будет первый член геометрической прогрессии. 

После второго сгиба получится 4 прямоугольника. После третьего — 8. То есть каждый раз количество прямоугольников будет увеличиваться в 2 раза, откуда получаем q = 2. 

Тогда сколько прямоугольников получится после пяти сгибов? Посчитаем вручную, для этого первый член прогрессии умножим на 2 несколько раз:
2 * 2 — второй сгиб.
2 * 2 * 2 — третий сгиб.
2 * 2 * 2 * 2 — четвертый сгиб.
2 * 2 * 2 * 2 * 2 — пятый сгиб. 

Вынесем за скобку первый член геометрической прогрессии:
2*(2*2*2*2)=2*24

Заменим числа на их буквенные значения: \(b_5=b_1*q^4\). 

Отметим, что степень знаменателя \(q\) на один меньше, чем порядковый номер искомого члена геометрической прогрессии. 

Тогда мы можем вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии. 

\(b_n=b_1*q^{n-1}\)

Допустим, мы знаем, что при трех сгибах бумаги получается 8 прямоугольников, а при пяти сгибах — 32 прямоугольника. Сколько тогда прямоугольников получится при четырех сгибах?

Можно попробовать вычислить знаменатель геометрической прогрессии и уже с его помощью найти количество прямоугольников при четырех сгибах. Но есть возможность действовать чуть проще. Для этого достаточно воспользоваться следующей формулой. 

\(b_n^2=b_{n-1}*b_{n+1}\) или \(b_n=\sqrt{b_{n-1}*b_{n+1}}\)

Пробуем: \(b_4^2=8*32=256\), откуда \(b_4=\sqrt{256}=16\). Если мы проверим вывод предыдущей формулы, то заметим, что решили задачу верно. 

Геометрическая прогрессия встречается в ЕГЭ по профильной математике в задании №9.

Задание. В 2010 году бизнес получил прибыль 1000 рублей. Каждый следующий год прибыль увеличивалась на 200% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей бизнесмен заработал в 2014 году?

Решение. Если прибыль увеличивается на 200%, то есть она увеличивается в 3 раза. Значит это геометрическая прогрессия и ее знаменатель равен 3. 

Посчитаем 5 член арифметической прогрессии:
\(b_n=b_1*q^{n-1}\)

\(1000* 3^4= 81 000\)

Ответ: 81 000

Найдем сумму членов геометрической прогрессии. Можно найти отдельно каждый член и сложить их: \(b_1+b_2+b_3+…+b_n\). Однако это очень трудоемкий по вычислениям способ. 

В этом случае удобнее использовать формулу суммы членов геометрической прогрессии. Применять можно любую формулу из двух:

\(S_n=\frac{b_n*q-b_1}{q-1}\) или \(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)

Важно, что q не может равняться 1, поскольку на 0 делить нельзя.

Задачи на формулу суммы геометрической прогрессии могут встретиться в ОГЭ в задании №14.

Задание. Школьнику в течение недели за каждую пятерку родители дают вознаграждение: за первую пятерку – 1 копейка, за вторую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и т.д. Всего за эту неделю школьник получил 163 руб. 83 коп. Сколько пятерок заработал школьник?

Решение. У нас в задании геометрическая прогрессия: 1, 2, 4, 8, 16, …Знаменатель данной прогрессии равен 2. Сумма 16 383.Найдем количество членов этой прогрессии: 

\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)

\(16 383 = \frac{1(2^n-1)}{2-1}\)
\(16 383 = 2^n-1\)
\(16 384 = 2^n\)
\(n = 14\)

Ответ: 14

За какое время один одуванчик может покрыть всю площадь земного шара? На одном одуванчике насчитывается около 200 семян. Если прорастет каждое из них, то они дадут еще по 200 семян. Следовательно, одуванчик будет размножаться в геометрической прогрессии. Подсчитано, что за 10 лет потомство одного одуванчика может покрыть планету сплошным слоем толщиной 20 см. Для растения с таким количеством потомства потребовалась бы территория, в 15 раз превышающая сушу Земли. Этого не происходит, поскольку далеко не все семена одуванчика прорастают.

Прогрессии могут не только возрастать, но и убывать. Разберем, как определяется такая прогрессия.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Чуть подробнее посмотрим на знаменатель геометрической прогрессии. Если \(|q| > 1\), то каждый следующий член прогрессии также будет больше предыдущего по модулю. 

Но что произойдет, если мы столкнемся с прогрессией, в которой \(|q| < 1\)? У нас получится бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. 

Рассмотрим на примере. Пусть \(q=0,1\), а \(b_1=10\). 

Тогда:

•  \(b_2=10*0,1=1,\)
•  \(b_3=10*0,1^2=0,1,\)
•  \(b_4=10*0,1^3=0,01\) и так далее. 

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии существует своя формула суммы:

\(S_n=\frac{b_1}{1-q}\)

Знаменатель геометрической прогрессии не может быть равен 1, поскольку делить на 0 нельзя. 

Однако понятие суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии несколько отличается от суммы членов обычной геометрической прогрессии. Мы ищем сумму всех членов прогрессии, то есть сумму бесконечного числа членов. Задать с помощью этой формулы определенное количество членов и найти их сумму нельзя. 

Использовать эту формулу можно, только если необходимо найти сумму бесконечного числа членов. В остальных случаях можно воспользоваться формулами для суммы членов обычной геометрической прогрессии.

Как геометрическая прогрессия объясняет крах финансовых пирамид?  Многие финансовые пирамиды работают по принципу геометрической прогрессии: например, первые 6 человек должны позвать еще по 6 каждый, значит суммарно они пригласят 36 человек, далее каждый из этих 36 должен позвать еще 6 человек и т.д.  Таким образом, мы получаем геометрическую прогрессию: 6, 36, 216, 1296, 7776, 46656, 279936, 1679616, … Уже на 8 шаге количество вкладчиков превышает 1,5 млн, а уже на 13 количество вовлеченных человек превысит население Земли.

В данной статье мы узнали, что такое геометрическая прогрессия, как найти любой из ее членов и их сумму. Чтобы продолжить изучение математики, рекомендуем изучить статью «Основы комбинаторики». 

Фактчек

• Геометрическая прогрессия — вид последовательности, в которой каждый следующий член является произведением предыдущего члена и фиксированного числа q ( знаменатель прогрессии). 
• Знаменатель геометрической прогрессии — это число, которое показывает, во сколько раз следующий член прогрессии отличается от предыдущего. 
• Чтобы найти n-ый член геометрической прогрессии, нужно воспользоваться одной из формул: \(b_{n+1}=b_n*q, b_n=b_1*q^{n-1}, b_n=\sqrt{b_{n-1}*b_{n+1}}\). 
• Чтобы найти сумму членов геометрической прогрессии можно воспользоваться одной из формул \(S_n=\frac{b_n*q-b_1}{q-1}\) или \(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\).
• Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — прогрессия, у которой знаменатель по модулю меньше единицы.  

Проверь себя

Задание 1.
Какая прогрессия является геометрической?

1. 100, 81, 64, 49
2. 2, 12, 22, 32, 42
3. 1, 1, 2, 3, 5, 8
4. 4, 12, 36, 108 

Задание 2.
Первый член геометрической прогрессии равен 5, а ее знаменатель равен 2. Чему равен шестой член этой прогрессии?

1. 30
2. 10
3. 160
4. Невозможно найти шестой член прогрессии. 

Задание 3.
Десятый член геометрической прогрессии равен 4, а двенадцатый равен 100. Чему равен одиннадцатый член геометрической прогрессии?

1. 20
2. 200
3. 50
4. Невозможно найти одиннадцатый член прогрессии. 

Задание 4.
Первый член геометрической прогрессии равен 2, а ее знаменатель равен 3. Найдите сумму первых пяти членов прогрессии. 

1. 10
2. 15
3. 60
4. 121

Ответы: 1. — 4; 2. — 3; 3. — 1; 4. — 4.