Умскул учебник стремится стать лучше! Если вы наткнулись на ошибку или неточность в нашем материале - просто сообщите нам, мы будем благодарны!
Физика

Прямолинейное движение

29.11.2022
14269

На этой странице вы узнаете

  • Куда мы двигаемся, стоя на одном месте?
  • Может ли огромный самолет стать маленькой точкой?
  • Как быстро сравнить ускорения тел?

У человека есть врожденное представление, чем являются пространство и время. Однако их строгое научное описание заняло немалое количество времени у Альберта Эйнштейна. Сегодня и мы с вами окунемся в этот интуитивно понятный, но такой глубокий мир, придуманный великим Эйнштейном.

Механическое движение и его относительность

Механика — основа основ изучения физики. По этому разделу встречается наибольшее количество самых запутанных и, на первый взгляд, нерешаемых задач. 

Механика делится на 3 больших раздела физики:

  • Как движется тело? 

Кинематика, где рассматривается механическое движение тела без выяснения причин его возникновения. Задача кинематики – описать языком математики движение тела в пространстве.

  • Почему движется тело? 

Динамика, где рассматриваются причины возникновения механического движения, взаимодействие тел друг с другом, силы.

  • Почему тело не движется?

Статика, где рассматриваются причины покоя тела, на которое действуют другие тела.

В данной статье мы будем изучать кинематику и разбирать разные виды механического движения.

Механическое движение — изменение положения тела относительно других тел.

В механике каждое движение рассматривается относительно какого-то другого тела. То есть при решении задач очень важно определить, относительно чего мы будем рассматривать это движение.

Куда мы двигаемся, стоя на одном месте?

Мы стоим на земле. Относительно Земли (планеты) мы неподвижны, наше положение не меняется. Но относительно Солнца мы двигаемся, изменяем свое положение, так как Земля, на которой мы стоим, постоянно находится в движении: вращается вокруг Солнца и своей оси.

Как мы определили ранее, важно разобраться, относительно чего и как мы будем рассматривать движение. Другими словами, мы выбираем систему отсчета.

Система отсчета — это совокупность (набор) трех параметров:

  •  тело отсчета (относительно которого мы рассматриваем движение);
  •  система координат; 
  •  прибор для измерения времени (часы).

В данном разделе нам не важны размеры и масса тела, мы лишь анализируем характер его движения. Поэтому каждое тело будет рассматриваться в качестве материальной точки.

Материальная точка — тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.

Важное замечание: массой мы пренебрегаем в кинематике, однако в других разделах физики материальная точка обладает массой!

Может ли огромный самолет стать маленькой точкой?

Когда вы садитесь в самолет, для вас важно, чтобы в нем нашлось для вас место. То есть вам важны размеры самолета. Однако при решении задачи на полет самолета из Москвы во Владивосток, вы даже не задумываетесь, пассажирский это лайнер или это маленький, но смелый кукурузник. То есть самолет для вас является материальной точкой. Все зависит от поставленной перед вами задачи. 

Положение материальной точки в выбранной системе координат можно записать с помощью координат. Например, в плоской системе отсчета положение будет описываться двумя координатами, а вот в трехмерной уже тремя. 

При этом вектор, проведенный от тела отсчета (нуль системы) до этой точки, называется радиус-вектором.

В механике движение подразделяется на следующие виды:

  • Поступательное — движение, при котором все точки тела двигаются с одинаковой скоростью. Например: машина едет по прямой дороге. Все точки машины двигаются с одинаковой скоростью относительно дороги.
  • Вращательное — движение, при котором все точки тела описывают окружности. Например: машина совершает разворот. Точки машины, которые описывают разные окружности, обладают разными скоростями. Подробнее мы говорили об этом виде движения в статье «Движение по окружности».

Во время движения тело прокладывает за собой воображаемый след, по которому оно двигалось, иными словами, траекторию его движения.

Траектория — воображаемая линия, по которой движется тело.

Если форма траектории — прямая линия, то такое движение называется прямолинейным. В любом другом случае движение будет криволинейным.

Траектория является лишь геометрическим объектом, характеризующим форму линии, которую описывает тело во время своего движения (дуга АВ на изображении ниже). Давайте вспомним сказку Ганса Христиана Андерсена «Гензель и Гретель». Представим, если бы главные герои во время своего движения кидали хлебные крошки себе под ноги, а мы бы пронаблюдали их.

Если же мы измерим длину дуги АВ, то получим численное значение пути.

Путь — длина траектории, по которой тело движется некоторое количество времени.

Если человек на изображении выше пройдет по дуге А — В — А, то его общий путь будет равен двум дугам АВ.

ВеличинаОбозначениеОсновная единица измерения в СИ
ПутьSм (метр)
Времяtс (секунда)

Зависимость пройденного телом пути от времени можно изобразить на графике следующим образом:

Если тело за равные промежутки времени проходит равные участки пути, то его движение называют равномерным, в противном случае — неравномерным

Для нахождения изменения координаты тела в пространстве вводят понятие перемещения.

Перемещение — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела.

Как мы видим на изображении, если мы «вытянем» путь и сравним его длину с перемещением, то получится, что длина перемещения меньше.

Перемещение нетрудно найти, зная координаты точки отправления и прибытия. 

\(\delta r =\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)

\(\delta r\) – перемещение тела (м);
\(x_1\) и \(x_2\) – начальная и конечная координаты тела (м);
\(y_1\) и \(y_2\) – начальная и конечная координаты тела (м).

Графически можно изобразить зависимость перемещения тела с начальной координатой \(S_0\) от времени. 

Также можно находить расстояния между телами по разности координат:

\(L = |x_1-x_2|\)

\(L\) – расстояние между телами (м);
\(x_1\) – координаты первого тела (м);
\(x_2\) – координаты второго тела (м).

Теперь перед нами стоит вопрос, как мы можем измерять быстроту того самого перемещения тела.

Скорость

Чтобы понять, как быстро менялось расстояние за промежуток времени, нам потребуется понятие скорости.

Скорость — векторная величина, характеризующая быстроту изменения координаты тела в пространстве.

\(V =\frac{Δx}{t}=\frac{x-x_0}{t}\), где 

V — скорость (м/с);
x — конечная координата (м);
х0 — начальная координата (м);
t — время (с).

Векторная величина — это величина, обладающая направлением помимо числового значения. Векторные величины обозначают стрелочками: V.

ВеличинаОбозначениеОсновная единица измерения в СИ
СкоростьVм/с (метр в секунду)

Если мы из формулы выше выразим конечную координату, то получим:

\(x = x_0 + V ∙ t \)

Эта формула получила название «Закон изменения координаты тела при постоянной скорости». Именно по этой формуле можно найти положение тела в конкретный момент времени, зная его начальную координату и скорость. 

Данная зависимость характерна только для равномерного прямолинейного движения (движение, при котором скорость остается постоянной, V=const).

Для наглядного изображения изменения скорости и пройденного пути со временем используют графики.

График равномерного прямолинейного движения представляет собой прямую (что видно из уравнения движения). Тогда по графику:

 \(V=\frac{Δx}{t}=\frac{x-x_0}{t}=tg()\) — нахождение скорости движения тела по графику зависимости x(t).

Также можно находить перемещение по графику зависимости координаты от времени. Достаточно вычесть конечную координату тела из начальной. 

Мы научились вычислять скорость тела. Но что делать, если тело двигалось на разных участках траектории с разной скоростью. Как узнать некоторую среднюю скорость тела за все время движения? 

Средняя скорость

В реальной жизни тело не может двигаться с постоянной скоростью определенный промежуток времени, поэтому вводят понятие средней скорости на данном участке пути:

\(V=\frac{S}{t}\), где
 
\(V\) — скорость (м/с);
\(S\) — весь путь (м);
\(t\) — время (с).

Именно этой скоростью мы чаще всего пользуемся в жизни. Например, спидометр, установленный в автомобиле, считает среднюю скорость движения за выбранный и довольно малый промежуток времени. 

Значение нашей скорости зависит от того, что мы принимаем неподвижным для нас. Порой становится удобно считать неподвижным не дерево, а, например, едущий навстречу автомобиль. Как тогда изменится значение нашей скорости? На выручку спешит закон сложения скоростей.

Относительная скорость

Когда 2 разных тела двигаются с разными скоростями, вводится понятие относительной скорости.

Относительная скорость — скорость, с которой данное тело движется относительно другого выбранного тела.

Как найти относительную скорость тела?

Скорости тел связаны законом сложения скоростей:

\(\overrightarrow{V_{отн}}=\overrightarrow{V_1} – \overrightarrow{V_2}\), где

\(\overrightarrow{V_1}\) — скорость тела, с которого ведется наблюдение;
\(\overrightarrow{V_2}\)— скорость тела, относительно которого рассматривается движение.

Закон сложения скоростей является законом векторным, то есть для поиска модулей относительных скоростей необходимо будет проецировать скорости тел на оси. Рассмотрим 2 самых распространенных примера:

  • Тела двигаются в одну сторону. Скорость удаления: \(V_{отн}=V_2 – V_1\).  

Пусть второй автомобиль движется быстрее первого. Если мы будем сидеть в первом автомобиле (с этого тела ведется наблюдение), то второй (относительно которого рассматривается движение) будет от нас отдаляться со скоростью Vотн.

  • Тела двигаются в противоположные стороны. Скорость сближения: \(V_{отн}=  V_2 + V_1\).

В данном случае не имеет значения, откуда ведется наблюдение, так как относительная скорость всегда будет равна сумме скоростей тел.

Ускорение

В жизни практически не бывает ситуаций, когда тела движутся равномерно. Автомобиль и пешеход останавливаются на красный сигнал светофора. Когда мы пониманием, что опаздываем в школу или на работу, мы начинаем идти быстрее.

Но как же быть, когда скорость все-таки изменяется? Именно для описания движения такого характера и вводится понятие ускорения.

Ускорение — векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости со временем.  

ВеличинаОбозначениеОсновная единица измерения в СИ
Ускорениеам/с2 (метр на секундув квадрате)

Быстрота изменения скорости зависит от разности конечной и начальной скорости за промежуток времени, а также от величины этого промежутка времени.

\(a=\frac{ΔV}{t}=\frac{V-V_0}{t}\), где 

a — ускорение тела (м/с2);
V — конечная скорость (м/с);
V0 — начальная скорость (м/с);
t — время (с).

Из формулы ускорения мы можем получить зависимость скорости от времени при постоянном ускорении: V = V0 + a t. Построим график скорости от времени при равноускоренном движении, который по уравнению представляет собой линейную зависимость.

По графику мы можем найти ускорение тела, используя соотношение \(a=\frac{∆V}{∆t}=\frac{V2-V1}{∆t}=tg()\) — нахождение ускорения тела по графику зависимости V(t)

То есть по графику скорости от времени при равноускоренном движении мы можем оценить ускорение

Аналогично можно находить скорость по графику координаты. Достаточно в необходимой точке провести касательную и посчитать все тот же тангенс угла наклона.

Как быстро сравнить ускорения тел?

Представим, что нам даны графики зависимости скорости от времени для двух тел. Мы можем сравнить их ускорения, используя соотношение a=tg(). Именно тангенс угла наклона прямой этого графика будет являться ускорением. А так как тангенс прямо пропорционален углу, то есть равен отношению противолежащего катета к прилежащему на графике зависимости скорости от времени, то чем больше угол наклона прямой к горизонтали, тем больше ускорение тела.

С изменением скорости появляется новый вид движения при постоянном ускорении (a = const) — равноускоренное движение.

Теперь давайте решим задачу.

Предлагаем решить задачу 1 номера ЕГЭ

Задача. Точечное тело начинает прямолинейное движение вдоль оси OX. На рисунке показана зависимость координаты x этого тела от времени t. Определите проекцию скорости этого тела на ось OX в интервале времени от 6 до 10 секунд.

Решение. Выделим участок графика, отвечающий интервалу времени от 6 до 10 секунд. Этот участок AB достроим до прямоугольного треугольника ABC. В нем найдем тангенс угла наклона графика, то есть отношения противолежащего угла к прилежащему.

\(tg()=\frac{8м}{4с}=2\) м/с.

Ответ: 2

При равноускоренном движении координата тела со временем изменяется по закону:

\(x=x_0+V_0*t+\frac{a*t^2}{2}\), где 

x — конечная координата тела (м);
х0 — начальная координата (м);
V0 — начальная скорость (м/с);a — ускорение тела (м/с2);
t — время (с).

Стоит запомнить именно это уравнение. Если тело движется равномерно (а = 0), то мы получим формулу: x = x0 + V t, что является законом изменения координаты со временем при равномерном движении.

Заметим, что в данном уравнении координата тела зависит от времени квадратично (время t есть как в 1 степени, так и во 2). Значит, график будет выглядеть в виде параболы.

Рассмотрим 2 вида графиков движения при a > 0 и а < 0.

По данным графикам, приведенным ниже: \(V_0= 0, х_0 = 0, a = 5 \frac{м}{с^2}, а > 0\) тогда \(x=0+0*t+2,5t^2 ; V = 5t\). 

Мы нашли знак и значение ускорения. При этом начальная скорость и координата тела равны нулю. Благодаря этим данным, мы смогли записать уравнение движения тела и построить график, который представляет собой ветвь параболы.

Рассмотрим еще один случай: 

Здесь: V0=6 м/с, х0 = 3 м, a = –2 м/\(с^2\), а < 0, тогда \(x=3+6t-t^2; V = 6 – 2t\).

В данном случае у нас ускорение отрицательное, то есть тело тормозит, есть начальные значения скорости и координаты. 

По графику координаты можно находить перемещение тела. Достаточно из конечной координаты вычесть начальную и взять модуль: \(S =|x_к-x_0|\)

График перемещения от времени при равноускоренном движении схож с графиком координаты.

При равномерном прямолинейном движении график зависимости ускорения от времени будет выглядеть так: 

Действительно, ведь при равномерном движении ускорение тела равно нулю.

Графики в кинематике занимают отдельное место среди остальных способов описания тела. Самый интересный метод решения задач при помощи графика ожидает вас в следующем разделе. 

Производная в механике

Из школьного курса математического анализа мы знаем, что производная характеризует скорость роста функции. Но ведь вместо абстрактной функции может выступать зависимость положения тела от времени, будет ли у производной какой-то физический смысл в таком случае? Оказывается, что да.

По определению первая производная по времени от радиус-вектора – это скорость тела, а вторая – ускорение.

\(\frac{dr}{dt}=v\)

\(\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{dv}{dt}=a\)

Площадь под графиком V(t)

Одним из способов нахождения пройденного пути является площадь фигуры, полученной под графиком в координатах V(t). При этом в других координатах — например, a(t) — пройденный путь таким способом найти не получится. 

На данном графике общий путь, пройденный телом, будет равен сумме площадей под всеми участками пути: \(S=S_1+S_2+S_3\).

Несмотря на то что раздел называется «площадь под графиком», в задачах это не всегда так. Важно запомнить, что мы ищем площадь, ограниченную графиком и координатными прямыми, и никак иначе. То есть если график проходит ниже оси х, то мы не обращаем на это внимания и считаем площадь положительной.  

Опробуем новый метод на практике.

Предлагаем решить 1 задачу из ЕГЭ

Задача. Точечное тело движется вдоль горизонтальной оси ОX. На рисунке представлен график зависимости проекции V скорости этого тела на ось OX от времени t. Определите путь, пройденный телом за интервал времени от 4 c до 7 с.

Решение. Пройденный путь на данном интервале равен площади под графиком. В нашем случае это будет площадь трапеции, отмеченной на рисунке.

Воспользуемся формулой из геометрии: \(S =\frac{a+b}{2}*h\), где a,b – основания трапеции, а h – высота.

\(S =\frac{3 + 1}{2}*2=4\) м.

Ответ:

Сегодня мы с вами узнали буквально все про прямолинейное движение, разобрали все виды графиков и научились решать задачи. Однако на прямолинейном движении кинематика не заканчивается. Спешим пригласить вас к чтению статьи «Движение по окружности».

Термины

Координата – число, определяющее положение точки в системе координат.

Парабола – график квадратичной функции вида \(y=ax^2+bx+c\). 

Фактчек

  • Кинематика — раздел механики, изучающий характер движения тела для математического его описания. 
  • Независимо от характера движения каждое тело прокладывает траекторию, длина которой определяет путь, пройденный телом, а расстояние между начальным и конечным положением тела — его перемещение.
  • На всем пути можно найти среднюю путевую скорость.
  • Если движение рассматривалось относительно подвижной системы отсчета, мы можем воспользоваться законом сложения скоростей.
  • Ускорение тела появляется при изменении скорости движения тела за определенный промежуток времени.
  • Изменение координаты тела при равноускоренном движении — функция квадратичная, поэтому графиком данного движения будет являться часть параболы.

Проверь себя

Задание 1.
Что изучает кинематика?

  1. Движение.
  2. Почему движется тело.
  3. Как движется тело.
  4. Поведение материальных точек.

Задание 2.
Чем путь отличается от перемещения?

  1. Ничем.
  2. Путь — длина траектории, а перемещение — расстояние между начальным и конечным положением тела.
  3. Путь — расстояние между начальным и конечным положением тела, а перемещение — длина траектории.
  4. Путь — длина траектории, а перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела.

Задание 3.
Какой закон помогает найти скорость тела относительно другого тела?

  1. Закон относительности движения.
  2. Закон относительности скоростей.
  3. Закон сложения скоростей.
  4. Закон Ньютона.

Задание 4.
Как и по какому графику можно найти путь, пройденный телом?

  1. Площадь под графиком в осях V(t).
  2. Длина линии в осях V(t).
  3. Площадь под графиком в осях a(t).
  4. Длина линии в осях a(t).

Ответы: 1. —  3; 2. — 4; 3. — 3; 4. — 1.

Понравилась статья? Оцени:
Читайте также:

Читать статьи — хорошо, а готовиться к экзаменам
в самой крупной онлайн-школе — еще эффективнее.

50 000
Количество
учеников
1510
Количество
стобальников
>15000
Сдали на 90+
баллов