Принцип относительности Эйнштейна и основные соотношения

На этой странице вы узнаете

• Парадокс часов или как близнецы могут отличаться в возрасте?
• Почему нельзя достичь скорости света в вакууме?  
• Почему скорость света в вакууме является наибольшей скоростью на свете?

Свет обладает максимально возможной скоростью — 3 * 10⁸ м/с. Но многие не придают этому большого значения. А давайте вспомним, что на данный момент максимальная скорость автомобиля не превышала 400 м/с, а скорость ракеты «Восток», на которой Гагарин отправился в полет, могла достичь лишь 104 м/с. 

Значит, скорость света для человека практически недостижима? Или достижима? Что будет с человеком, который будет двигаться на околосветовых скоростях? Сейчас подробнее во всем разберемся.

Основы специальной теории относительности

Этот раздел появился в физике не так давно, в отличие от других, и сразу же взбудоражил умы ученых. Выяснилось, что время не всегда течет одинаково, а длина и масса могут зависеть от скорости. Вся теория относительности строится на двух постулатах:

• Принцип относительности — законы физики имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета.
• Принцип постоянства скорости света — скорость света в вакууме c = 3 * 10⁸ м/с одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Оказывается, что при движении со скоростями, приближенными к скорости света, происходят релятивистские эффекты: длина предметов начинает уменьшаться, а масса, наоборот, увеличиваться. Почему так? 

Возьмем двух наблюдателей: пусть Макс будет наблюдать за ракетой, двигающейся с околосветовой скоростью, с земли, а Азат будет сидеть на этой ракете. Перед стартом дадим им обоим секундомер, который всегда работает максимально точно. Каково же будет наше удивление, когда ракета приземлится и мы сравним показания секундомеров. Они будут отличаться! 

Релятивистский корень

А теперь давайте более точно изучим, как так получается. Пусть два корабля летят с околосветовой скоростью V к Земле. Верхний пускает световой сигнал нижнему. В их системе отсчета свет будет идти вниз за время t_p, но в неподвижной системе отсчета (Земля) он проходит расстояние по диагонали и затрачивает время t.

По теореме Пифагора: 

\((Vt)^2 + (ct_0)^2 = (ct)^2\), откуда 
\((ct_0)^2 = (ct)^2 — (Vt)^2\)
\(t_0^2 = \frac{(ct)^2 — (Vt)^2}{c^2}\)
\(t_0 = t * \sqrt{1 — \frac{V^2}{c^2}}\)  

Каждая величина, которую мы рассмотрим, будет зависеть от некоторого коэффициента, который называется релятивистский корень. Выглядит этот коэффициент следующим образом: 

\(k = \sqrt{1 — \frac{V^2}{c^2}}\), где   k — коэффициент; V — скорость тела (м/с); с — скорость света в вакууме (м/с).

Теперь давайте подставим вместо V какую-нибудь скорость, с которой мы постоянно встречаемся в жизни. Например, 17 м/с (60 км/ч) — максимальная разрешенная скорость движения автомобиля по населенному пункту. Как мы видим, дробь \(\frac{V^2}{c^2}\) будет принимать очень маленькое значение (порядка 10^-15). Тогда k будет стремиться к единице. Именно поэтому мы рассматриваем этот коэффициент только для тех случаев, когда скорость тела не сильно отличается от скорости света. 

Интересный факт: Люди не сразу знали, что свет обладает конечной скоростью. Изначально предполагалось, что скорость света является бесконечно большим значением. Однако позднее выяснилось, что это не так. 

Что заставило людей задуматься над тем, какой скоростью обладает свет? Одними из первых сигналов были наблюдения за спутниками Юпитера. Они появлялись в конкретных точках либо раньше, либо позже ожидаемого времени, в зависимости от расстояния между Землей и Юпитером. Именно отсюда и пошли первые оценки скорости света.

Релятивистские явления

Рассмотрим основные величины, которые зависят от коэффициента k.

1. Если мы будем говорить о времени, то уравнение приобретает следующий вид:

\(t = \frac{t_0}{\sqrt{1 — \frac{V^2}{c^2}}} = \frac{t_0}{k}\), где  t — время, относительно наблюдателя (с) (время на секундомере Макса из примера выше); t0 — время самого объекта, или собственное время (с) (время на секундомере Азата из примера выше).

2. Уравнение для размеров объекта:

\(L = L_0 \sqrt{1 — \frac{V^2}{c^2}} = L_0 * k\), где  L — длина, относительно наблюдателя (м); L0 — длина самого объекта, или собственная длина (м).

3. Уравнение для массы объекта: 

\(m = \frac{m_0}{\sqrt{1 — \frac{V^2}{c^2}}} = \frac{m_0}{k}\), где  m — масса, относительно наблюдателя (кг); m0 — масса самого объект или масса покоя (кг).

Однажды, в 2011 году, группа ученых попыталась разогнать частицу нейтрино до скорости, большей скорости света в вакууме. По специальному пути от Италии до Швейцарии, была запущена эта частица. Расстояние в 730 км нейтрино преодолел на 60 секунд быстрее света. 

Первое время этот эксперимент ставил ученых в тупик и нет никаких сомнений, что ученым пришлось бы пересмотреть положения о специальной теории относительности Эйнштейна. Однако повторные опыты показали, что при проведении первого опыта были допущены технические ошибки, которые привели к некорректному результату. Новое открытие не смогло продержаться и года.

Парадокс часов или как близнецы могут отличаться в возрасте? Пример, с секундомерами Макса и Азата является не просто выдуманным примером. Примерно похожий мысленный эксперимент приводил Эйнштейн на научных конференциях и называл его парадоксом близнецов. Дело в том, что если посадить одного близнеца в ракету, которая движется с околосветовой скоростью и отправить ее в дальнее путешествие, то получится, что по прилете на Землю брат-путешественник будет моложе своего брата-домоседа. Все это связано с релятивистским искривлением времени, о чем говорилось выше.

Импульс и энергия

Теперь вспомним, что импульс тела (p) и его энергия (E) также зависят от массы. Запишем формулу для импульса: 

\(p = \frac{m_0V}{\sqrt{1 — \frac{V^2}{c^2}}} = \frac{m_0V}{k}\), где  p — импульс тела (кг*м/с).

Также запишем формулу для энергии:

\(E = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1 — \frac{V^2}{c^2}}} = \frac{m_0c^2}{k}\) (1), где  E — энергия движущегося тела (Дж).

Почему нельзя достичь скорости света? Представим, что мы все-таки достигли скорости света. В этом случае релятивистский корень будет равняться… Нулю! Тогда в формуле для энергии мы должны будем делить на 0. Значит, чтобы достичь скорости света, необходимо затратить бесконечно огромную энергию, чего мы, конечно, сделать не можем.

Представим, что мы включаем фонарики, которые направлены в разные стороны друг от друга. Казалось бы, их относительная скорость должна превышать скорость света с, так как у каждого луча скорость с. Или нет? Оказывается, и для относительной скорости существует своя формула: 

\(V_от = \frac{V_2 + V_1}{1 + \frac{V_1*V_2}{C^2}}\) (2), где  Vот — относительная скорость (м/с); V1 — скорость первого тела (м/с); V2 — скорость второго тела (м/с).

Даже если скорость лучей света, создаваемых фонариками, будет равняться с, мы все равно получим, что относительная скорость света будет равной собственно скорости света, превысить ее никак нельзя: 

\(V_от = \frac{с + с}{1 + \frac{с * с}{C^2}} = с\)

В случае, когда фонарики направлены навстречу друг другу: 

\(V_от = \frac{V_2 — V_1}{1 + \frac{V_1*V_2}{C^2}}\) (2), где  Vот — относительная скорость (м/с); V1 — скорость первого тела (м/с); V2 — скорость второго тела (м/с).

Стоит отметить, что человечество неоднократно пыталось не достичь скорости света, а обогнать сам свет. Дело в том, что всю статью мы говорим о скорости света как о скорости в вакууме. Но если свет будет проходить через какую-нибудь плотную среду (вода, воздух и т.д.), то его скорость будет заметно уменьшаться.

Однажды ученым даже удалось остановить свет! Как так вышло? Был разработан кристалл из сплава празеодима и силиката иттрия, температура которого принимала экстремально низкие значения. Тогда, конечно, человек обогнал свет, но все-таки не смог достичь скорости света в вакууме.

Почему скорость света в вакууме является наибольшей скоростью на свете? Даже для относительных скоростей света (формулы 1 и 2 в статье) существует формула, которая доказывает, что максимально возможной скоростью является с. Иначе говоря, если два световых луча будут направлены друг напротив друга, то их относительная скорость никогда не будет равняться 2с.

Масса и энергия свободной частицы

Из описания релятивистских законов, которые мы обсуждали выше, видно, что все привычные нам величины приобретают новый смысл. Мы показали изменение не только всех кинематических характеристик движения тела, перемещающегося с околосветовой скоростью, но и импульса, энергии, а также, что самое удивительное, массы.

Описание объектов малых масс всегда отличается особыми условиями постановки задачи. Поэтому одним из самых интересных приложений релятивистской механики является рассмотрение малых частиц. Давайте вспомним формулы энергии и массы, которые мы ввели выше:

\(E =\frac{m_0c^2}{k}\) \(m =\frac{m_0}{ k}\)

Объединяя их вместе мы получим следующий результат:

\(E=mc^2\) \(E\) – полная релятивистская энергия частицы; \(m\) – релятивистская масса частицы; \(c\) – скорость света.

Данная формула носит название закона взаимодействия энергии и массы и была получена в 1905 г. как основной результат специальной теории относительности Альберта Эйнштейна. 

Вы наверняка не в первый раз слышите об этой формуле, но что принесло ей такую популярность?

Закон взаимодействия энергии и массы. Энергия покоя.

Давайте обсудим подробнее, как много смысла несет столь краткая формула. Дело в том, что формула \(E=mc^2\) свидетельствует, что любое тело, обладающее массой, имеет энергию, а значит понятие энергии теперь не просто описывает движение или состояние тела, а отождествляется с понятием массы: 

Там, где есть масса, есть энергия, а любой энергии всегда cоответствует масса.

С другой стороны, если \(V = 0\), то \(m=m_0\), а значит:

\(E_0=m_0c^2\) \(E_0\) – энергия покоя частицы; \(m_0\) – масса покоя частицы; \(c\) – скорость света.

Масса покоя является постоянной, как и было привычно понимать массу в физике Ньютона, поэтому в релятивистской механике она занимает особое значение, ведь является единственной физической величиной, обладающей таким свойством постоянства (инвариантности).

Интересный факт! Несмотря на то, что Альберта Эйнштейна принято считать открывателем закона взаимодействия энергии и массы, попытки связать эти величины были предприняты задолго до него. В 1949 году были найдены черновики работ Оливера Хевисайда, датированные 1889 годом, где при изучении электромагнитных полей ученому удалось получить точно такой же результат. Тем не менее популяризация данного результата по праву принадлежит Эйнштейну.

Кинетическая энергия движущейся частицы

При рассмотрении классической физики мы привыкли разделять энергию на две ее составляющие: потенциальную и кинетическую. В текущей главе мы рассматриваем только свободные частицы (то есть частицы, не взаимодействующие с другими телами), а значит, аналога потенциальной энергии у нас не будет. Но как нам ввести кинетическую энергию, если понятие скорости у нас уже совсем не то, что было прежде? 

Давайте вспомним, что покоящееся тело в классической физике обладает нулевой кинетической энергией (обозначим \(E_{покоя}\)). Проведем мысленный эксперимент и представим, что это тело покатилось и приобрело энергию E. Так как тело обладает только кинетической энергией, то найти ее можно следующим образом:

\(E_{кин}=E — E_{покоя}= E — 0 =E\)

По аналогии введем кинетическую энергию релятивистской частицы. В покое ее энергия равна \(E_0=m_0c^2\), а энергия движущейся частицы \(E=mc^2\). 

Тогда вся энергия, которая появляется в движении, и будет называться кинетической энергией релятивистской частицы, то есть:

\(E_{кин.релят.}=mc^2-m_0c^2=\frac{m_0c}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}-m_0c^2.\)

Фактчек

• Принцип относительности — законы физики имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета.
• Принцип постоянства скорости света — скорость света в вакууме c = 3 * 10^8 м/с одинакова во всех инерциальных системах отсчета.
• Релятивистский корень: \(k = \sqrt{1 — \frac{V^2}{c^2}}\). .

Проверь себя

Задание 1.
Может ли человек достигнуть скорости, равной скорости света? 

1. Да, может.
2. Нет, не может.

Задание 2.
Может ли скорость фотона, вылетающего из источника света в поезде, движущимся со скоростью света, достичь скорости 2с?

1. Да, может.
2. Нет, не может.

Задание 3. 
Корабль летит со скоростью, близкой к скорости света. Человек смотрит на него с Земли. Как человек будет видеть этот корабль?

1. Корабль будет больше своих реальных размеров.
2. Корабль будет меньше своих реальных размеров.
3. Размер корабля не зависит от скорости света.

Ответы: 1. — 2; 2. — 2; 3. — 2.