Каталог заданий по профильной математике с ответами

<p>15 декабря 2027 года планируется взять кредит размером 10 млн рублей на срок 60 месяцев. Условия возврата кредита таковы:<br>– 1 числа каждого месяца сумма долга возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;<br>– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;<br>– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;<br>– к 15 декабря 2032 года долг должен быть полностью погашен.<br>Чему равна общая сумма платежей в 2032 году? Ответ дайте в миллионах рублей.</p>

<p>1 июля 2027 года планируется открыть вклад в банке на 3 года. 30 июня каждого года сумма на счете увеличивается на 20% по сравнению с суммой, находящейся на вкладе 29 июня. 1 июля 2028, 2029 и 2030 годов со вклада снимают одну и ту же сумму. Найдите исходную сумму вклада, если после третьего снятия на вкладе осталось 0 рублей, а всего было снято 259 200 рублей. Ответ дайте в рублях.</p>

<p>Автомобилист начал торможение. В первую секунду с начала торможения автомобиль проехал 63 метра, а в каждую последующую секунду проезжал на 7 метров меньше, чем в предыдущую. Определите, сколько метров проехал автомобиль, пока полностью не остановился.</p>

<p>Какие из следующих утверждений верны? Если верных утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов между ними. </p><p>1) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.</p><p>2) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.</p><p>3) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.</p>

<p>Какие из следующих утверждений верны? Если верных утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов между ними. </p><p>1) В любой ромб можно вписать окружность.<br>2) Любой параллелограмм можно вписать в окружность.<br>3) Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.</p>

<p>Какие из следующих утверждений верны? Если верных утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов между ними. </p><p>1) Основания любой трапеции параллельны.<br>2) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.<br>3) Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.</p>

<p>Какие из следующих утверждений верны? Если верных утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов между ними. </p><p>1) Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон.<br>2) Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.<br>3) Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.</p>

<p>Какие из следующих утверждений верны? Если верных утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов между ними. </p><p>1) В параллелограмме есть два равных угла.<br>2) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является квадратом.<br>3) Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. </p>

<p>Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения:</p><p style="text-align: center;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced close="" open="{"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mi>y</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mi>y</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>6</mn></mrow><msqrt><mo>-</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>y</mi><mo>-</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>a</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced></math></p>

<p>На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 7.</p><p>а) Может ли сумма составлять 231?</p><p>б) Может ли их сумма составлять 395?</p><p>в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2283?</p><p><em>В ответе укажите найденное в пункте "в" значение.</em></p>

<p>На клетках отмечены две точки. Определите расстояние между ними. Размер клетки 1 × 1. <img src="https://storage.yandexcloud.net/net.umschool/media/uploads/froala_editor/images/e79603ac-1db7-4319-aa14-984f88cc2aad_Group%202085663377.png" style="width: 300px;" class="fr-fic fr-dib"></p>

<p>Решите систему уравнений: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced close="" open="{"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>10</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>7</mn><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>y</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>10</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>7</mn><mo>=</mo><mi>y</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mfenced></math></p>

<p>Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.</p><p>a) Докажите, что <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>C</mi><mi>S</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>.</mo></math></p><p>б) Найдите объем тетраэдра SABC, если SC = 1 и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo></math></p><p>В ответ укажите значение из пункта б), умноженное на 6√6.</p>

<p>В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:</p><p>- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;</p><p>- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;</p><p>- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.</p><p>На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 17,5 млн рублей?</p>

<p>В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых контейнерах находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 75% от общего числа контейнеров.</p><p>а)   Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять 80% от общей массы?</p><p>б)   Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять 40% от общей массы?</p><p>в)  Какую наибольшую долю в процентах может составлять масса контейнеров с сахарным песком от общей массы?</p><p>В ответ введите число, полученное в пункте в), <strong>без</strong> знака процента (%).</p>