Каталог заданий ЕГЭ по профильной математике 2026

<p>15 декабря 2027 года планируется взять кредит размером 10 млн рублей на срок 60 месяцев. Условия возврата кредита таковы:<br>– 1 числа каждого месяца сумма долга возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;<br>– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;<br>– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;<br>– к 15 декабря 2032 года долг должен быть полностью погашен.<br>Чему равна общая сумма платежей в 2032 году? Ответ дайте в миллионах рублей.</p>

<p>1 июля 2027 года планируется открыть вклад в банке на 3 года. 30 июня каждого года сумма на счете увеличивается на 20% по сравнению с суммой, находящейся на вкладе 29 июня. 1 июля 2028, 2029 и 2030 годов со вклада снимают одну и ту же сумму. Найдите исходную сумму вклада, если после третьего снятия на вкладе осталось 0 рублей, а всего было снято 259 200 рублей. Ответ дайте в рублях.</p>

<p>Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения:</p><p style="text-align: center;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced close="" open="{"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mi>y</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mi>y</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>6</mn></mrow><msqrt><mo>-</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>y</mi><mo>-</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>a</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced></math></p>

<p>На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 7.</p><p>а) Может ли сумма составлять 231?</p><p>б) Может ли их сумма составлять 395?</p><p>в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2283?</p><p><em>В ответе укажите найденное в пункте "в" значение.</em></p>

<p>Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.</p><p>a) Докажите, что <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>C</mi><mi>S</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>.</mo></math></p><p>б) Найдите объем тетраэдра SABC, если SC = 1 и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo></math></p><p>В ответ укажите значение из пункта б), умноженное на 6√6.</p>

<p>В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:</p><p>- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;</p><p>- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;</p><p>- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.</p><p>На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 17,5 млн рублей?</p>

<p>В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых контейнерах находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 75% от общего числа контейнеров.</p><p>а)   Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять 80% от общей массы?</p><p>б)   Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять 40% от общей массы?</p><p>в)  Какую наибольшую долю в процентах может составлять масса контейнеров с сахарным песком от общей массы?</p><p>В ответ введите число, полученное в пункте в), <strong>без</strong> знака процента (%).</p>

<p>Найдите объем пирамиды B₁ABC , если объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 120.</p>

<p>Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, C, A₁, B₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, площадь основания которой равна 17, а боковое ребро равно 45.</p>

<p>Из пары натуральных чисел (a; b), где a > b, за один ход получают пару (a + b; a – b).</p><p>а)  Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару, большее число в которой равно 400?</p><p>б)  Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару (806; 788)?</p><p>в)  Какое наименьшее a может быть в паре (a; b), из которой за несколько ходов можно получить пару (806; 788)?</p><p>В ответ введите значение из пункта в).</p>

<p>В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.</p><p>а)  Докажите, что прямые EH и AC параллельны.</p><p>б)  Найдите отношение EH и AC, если ∠ABC = 30°.</p>

<p>Найдите скалярное произведение<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi mathsize="14px">a</mi><mo mathsize="14px">→</mo></mover><mo mathsize="14px">·</mo><mover><mi mathsize="14px">b</mi><mo mathsize="14px">→</mo></mover><mo mathsize="14px">,</mo></math>если<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mstyle mathsize="14px"><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mstyle></math>а угол между этими векторами равен 120°.</p>

<p>Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ. Внешний угол при вершине В равен 154°. Найдите угол С в треугольнике АВС. Ответ дайте в градусах.</p>

<p>В результате опроса выяснилось, что примерно 45% опрошенных предпочитают кофе чаю (число 45 получено с помощью округления до ближайшего целого числа).</p><p>а) Могло ли участвовать в опросе ровно 24 человека? </p><p>б) Могло ли участвовать в опросе менее 24 человек? </p><p>в) Какое наименьшее число человек могло участвовать в опросе?</p>

<p>В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 46%.</p><p>а) Может ли в этом классе быть 9 девочек?</p><p>б) Может ли доля девочек составить 55%, если в этот класс придёт новая девочка?</p><p>в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?</p><p>В ответ введите значение из пункта в).</p>