<p>Различные точки&nbsp;A,&nbsp;B&nbsp;и&nbsp;C&nbsp;лежат на окружности основания конуса с вершиной&nbsp;S&nbsp;так, что отрезок&nbsp;AB&nbsp;является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.</p><p>a) Докажите, что&nbsp;<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>C</mi><mi>S</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>.</mo></math></p><p>б) Найдите объем тетраэдра SABC, если SC = 1 и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo></math></p><p>В ответ укажите значение из пункта б), умноженное на 6√6.</p>

Тест

<p>Найдите объем пирамиды B₁ABC , если объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 120.</p>

Тест

<p>Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, C, A₁, B₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, площадь основания которой равна 17, а боковое ребро равно 45.</p>

Тест

<p>Основанием прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является параллелограмм ABCD. На ребрах A₁D₁, A₁B₁ и АВ призмы отмечены точки M, L и N соответственно, причем A₁L : LB₁ = 1:5. Четырехугольник DMLN – равнобедренная трапеция с основаниями 6 и 18.</p><p>а) Докажите, что AN = NB.<br>б) Найдите площадь трапеции DMLN, если объем призмы равен 216, а ее высота равна 3.</p><p>В ответе укажите найденное в пункте "б" значение, деленное на&nbsp;<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mn>97</mn></msqrt><mo>.</mo></math></p>

Тест

<p>Дана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁, все ребра которой равны 12. На ребрах ВВ₁ и СС₁ отмечены точки К и Е, причем ВК = 4 и С₁Е = 10.</p><p>а) Докажите, что плоскость (КЕА₁) разбивает призму на два многогранника с равными объемами.<br>б) Определите объем тетраэдра КЕАА₁.</p><p>В ответе укажите найденное в пункте "б" значение, умноженное на&nbsp;<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>.</mo></math></p>

Тест

<p>Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ с основаниями ABCD и A₁B₁C₁D₁. Точки К и М являются серединами ребер AD и АВ, а точка L отмечена на ребре СС₁ таким образом, что C₁L:CL = 1:4.</p><p>а) Докажите, что плоскость, которая проходит через точки M, L, K, делит ребро ВВ₁ в отношении 4:11, считая от вершины В.</p><p>б) Найдите площадь сечения параллелепипеда построенной плоскостью, если параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ является правильной четырехугольной призмой, сторона основания которой равна 6√2, а боковое ребро равно 15.</p><p>В ответе укажите найденное в пункте "б" значение.</p>

Тест

<p>Дана треугольная пирамида SABC, причем SA = SC = BA = BC = √28 и SB = AC = 4√2.</p><p>а) Докажите, что ребра SB и АC являются перпендикулярными.<br style="box-sizing: border-box; outline: none;">б) Найдите расстояние между ребрами SB и АC. В ответе укажите квадрат найденного расстояния.</p>

Тест

<p>На ребре SD правильной четырехугольной пирамиды SABCD отмечена точка L, причем эта точка – середина ребра SD. Все ребра пирамиды равны 8.</p><p>а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, параллельной прямым SA и АВ, которая также проходит через точку L.<br>б) Найдите площадь сечения.</p><p>В ответе укажите полученное в пункте "б" значение, умноженное на&nbsp;<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>.</mo></math></p>

Тест

<p>Дана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁, в основании которой находится треугольник АВС. На прямой BB₁ отмечена точка D, причем B₁ – середина прямой BD. На прямой А₁С_1&nbsp;выделена точка L так, что С₁ – середина А₁L.</p><p>а) Докажите, что прямые А₁B₁ и DL являются перпендикулярными.<br>б) Найдите расстояние между прямыми АB и DL, если АB = 6 и АА₁ = 6.</p><p>В ответе укажите полученное в пункте "б" значение, умноженное на&nbsp;<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>.</mo></math></p>

Тест

<p>Дана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁ со стороной основания, равной 20, и боковым ребром, которое равно 18. На боковом ребре АА₁ отмечена точка M, причем AM = 6.</p><p>а) Точки О и О₁ являются центрами окружностей, описанных около треугольников АВС и А₁В₁С₁. Докажите, что прямая ОО₁ проходит через точку пересечения медиан треугольника BСM.</p><p>б) Найдите расстояние от точки B₁ до плоскости (BCM).</p><p>В ответе укажите найденное в пункте "б" значение, умноженное на <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mn>7</mn></msqrt><mo>.</mo></math></p>

Тест

<p>Грани АВС и ACD тетраэдра ABCD перпендикулярны друг другу и представляют собой правильные треугольники со стороной 5. На ребрах СВ, СА и AD отмечены точки M, L и N соответственно, причем ВМ = 1, CL = 2 и AN = 1,5.</p><p>а) Докажите, что угол между ребром AD и плоскостью NLM является прямым.<br>б) Определите длину отрезка пересечения грани CBD и плоскости NLM.</p>

Тест

<p>В правильной шестиугольной призме АВСDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ известно, что сторона основания равна 6, боковое ребро равно 8√3. На ребре ВВ₁ отмечена точка К, причем B₁K:KB = 1:3. Плоскость α проходит через точки К и А. Также эта плоскость параллельна ребру E₁F₁.</p><p>а) Докажите, что сечение шестиугольной призмы плоскостью α является равнобедренной трапецией.</p><p>б) Определите объем пирамиды, вершиной которой является точка F, а основанием – сечение шестиугольной призмы плоскостью α.</p>

Тест

<p>Дан куб ABCDA1B1C1D1&nbsp;с ребром 20. На ребрах AD и СС1&nbsp;куба отмечены точки М и К таким образом, что AM = 5 и C1K = 4. Плоскость (ВМК) пересекает ребро DD1 в точке L.</p><p>а) Докажите, что точка L делит ребро DD1 в отношении 3:2, отсчитывая от точки D.&nbsp;</p><p>б) Найдите расстояние от точки D до плоскости (ВМК).</p>

Тест

<p>Дана правильная четырехугольная пирамида NABCD с вершиной в точке N. Стороны основания пирамиды равны 18, боковые ребра равны 27.</p><p>а) Докажите, что ребра NB и AC перпендикулярны.<br>б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через точку С и середину ребра NA параллельно прямой BD.</p>

Тест

<p>Дана правильная пирамида SABC с основанием АВС. Боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4√3.</p><p>а) Докажите, что прямые CS и АВ являются перпендикулярными.<br>б) Найдите расстояние от вершины С до плоскости (ABS).&nbsp;</p>

Тест