Линейные, квадратные и кубические уравнения

На этой странице вы узнаете:

• Почему неизвестное обозначают через x?
• Как находить корни квадратного уравнения, не считая их?
• Как дискриминант может повлиять на количество корней уравнения?

Понятие уравнения

Главный секрет математики в том, что любую задачу можно решить уравнением. А решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Давай разберемся как это сделать.

Вспомним, что:

Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное, обозначенное буквой.

Корнем уравнения называется такое значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством.

Например, число 8 будет корнем уравнения 2x — 3 = 5 + x, потому что равенство 2 * 8 — 3 = 5 + 8 верное.

Почему неизвестное обозначают через x? Арабские математики в IX веке для записи формул использовали слова. Неизвестную величину они называли “шей”, что буквально означает “нечто”. Выглядело это примерно так: Позднее испанские ученые переводили записи на свой язык. Они записывали неизвестное как xei, поскольку в их языке отсутствовал звук [ш]. С появлением формул слово сократилось до одной буквы x.

Линейные уравнения

Что же такое линейное уравнение?

Линейное уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится в степени 1.

Вид линейного уравнения:

ax + b=0 , где 
х – неизвестная
а – коэффициент при неизвестной
b – свободный член

Стоит отметить, что а и b в таком уравнение известны, также оба этих числа можно называть коэффициентами.

Как же решить такое уравнение?

Для решения линейного уравнения нужно выразить х и найти числовое значение, то есть сделать такие преобразования, чтобы в одной части уравнения осталась только неизвестная, а в другой собралось все остальное.

Преобразования, которые можно совершать:

1. Переносить слагаемое в другую часть уравнения с противоположным знаком.

x — 5 = 0
x = 0 + 5
x = 5

2. Умножать или делить обе части уравнение на одно и то же число или выражение, которое не равно нулю.

3x = 12  | : 3
x = 4

Давайте рассмотрим решение линейного уравнения на следующем примере

2(x + 5) — 4x + 2 = 0

1. Сначала раскроем скобки
   2x + 10 — 4x + 2 = 0

2. Для упрощения сложим подобные слагаемые
   -2x + 12 = 0

3. Теперь перенесем слагаемое без неизвестной в правую часть и разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестной, то есть выразим х
   -2x = -12 | : (-2)
   x = 6

Значение неизвестной найдено, а значит единственное решение данного уравнения 6

С линейными уравнениями можно столкнуться и в жизни. 

Допустим, нам нужно приготовить 570 грамм теста на пирожки.  

Обозначим вес одной части за x. Составим и решим уравнение для получения этого количества теста:

12x + 6x + x = 570
19x = 570
x = 30

Мы узнали, что одна часть — это 30 грамм. Теперь посчитаем сколько грамм продуктов нам потребуется.

• Мука: 12 * 30 = 360 грамм
• Вода: 6 * 30 = 180 грамм
• Растительное масло: 1 * 30 = 30 грамм 

Квадратные уравнения

Мы уже знаем, что такое линейное уравнение. Но как же выглядит квадратное?

Квадратное уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится в степени 2.

Вид квадратного уравнения:

ax² + bx + c = 0 , где
х — неизвестная
а и b – коэффициенты при неизвестной
с – свободный член

Стоит отметить, что а, b и с – известные числа.

Какими бывают квадратные уравнения?

Эти виды квадратных уравнений отличаются тем, что у полного квадратного уравнения есть оба коэффициента и свободный член, а у неполного может отсутствовать или второй коэффициент, или свободный член.

Решение несколько неполных квадратных уравнений на примере:

x2 + 2x = 0 x * (x + 2) = 0 Ответ: 0 и -2

x2 — 4 = 0 x2 = 4 x = ±2 Ответ: 2 и -2

Полное квадратное уравнение может иметь 2 корня, 1 корень или не иметь корней. Количество корней зависит от дискриминанта

Что такое дискриминант?

Дискриминант в квадратном уравнении — это выражение, которое ищется по следующей формуле, где а, b и с берутся из уравнения:

D = b² — 4 ⋅ a ⋅ c

Как дискриминант может повлиять на количество корней уравнения? Если D > 0, то уравнение имеет 2 корня. Если D = 0, то уравнение имеет 1 корень. Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Дискриминант нужен не только для определения количества корней, но и для их нахождения одним из способов.

Способы решения квадратных уравнений:

1. Решение через дискриминант
   
   Корни квадратного уравнения находятся по этим формулам, где а и b берутся из уравнения, а D – это дискриминант:

\(\large x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2 ⋅ a}\)
\(\large x_{2} = \frac{-b — \sqrt{D}}{2 ⋅ a}\)

2. По теореме Виета

Как находить корни квадратного уравнения, не считая их? По теореме Виета корни нужно подбирать, поэтому она удобна для нахождения рациональных корней. Данная теорема заключается в связывании корней уравнения и коэффициентов многочлена системой двух уравнений.

где а, b и с – коэффициенты квадратного уравнения
x₁ и x₂ – корни квадратного уравнения

Давайте рассмотрим решение квадратного уравнения на следующем примере

2x² — 5x — 3 = 0

1 способ:

1. Найдем дискриминант 

D = (-5)² — 4 ⋅ 2 ⋅ (-3) = 25 + 24 = 49

2. Дискриминант больше нуля, следовательно, у уравнения 2 корня, найдем их

\(\large x_{1} = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 ⋅ 2} = 3\)
\(\large x_{2} = \frac{-(-5) — \sqrt{49}}{2 ⋅ 2} = -12\)

Решениями уравнения являются числа 3 и -12.

2 способ:

1. Запишем систему по теореме Виета

2. Теперь подберем такие два числа, чтобы их сумма была \(\frac{5}{2}\), а произведение -\(\frac{3}{2}\), это будут числа 3 и -12.

Значит, решениями уравнения являются числа 3 и -12.

Кубические уравнения

Перейдем к последнему виду уравнений. Что же такое кубическое уравнение и как оно выглядит?

Кубическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится в степени 3.

Вид кубического уравнения:

ax³ + bx² + cx + d = 0, где
х — неизвестная
а, b и с – коэффициенты при неизвестной
d – свободный член

Стоит отметить, что а, b, с и d – известные числа.

Преобразования, которые можно совершать в кубических уравнениях:

Вынесение общего множителя за скобки.

Вынесение общего множителя за скобки можно сравнить с делением фруктов в обеих тарелках на одинаковые части и вынесением такой части в отдельную тарелку.

Алгоритм:

1. Разложить каждое слагаемое на множители.
2. Вынести за скобку множители, которые есть в обоих слагаемых.
3. Вынести скобку, как общий множитель.

Пример: 

 x³ — 2x² — 3x = x * x * x — 2 * x * x — 3 * x = x * (x² — 2x — 3)

Группировка

Алгоритм:

1. Объединить слагаемые в пары.
2. Вынести общий множитель из каждой скобки, чтобы получились одинаковые скобки.

Пример:

6x³ + 9x² + 8x + 12 = (6x³ + 9x²) + (8x + 12) = 3x² * (2x + 3) + 4 * (2x + 3) =
= (3x²+4) * (2x+3)

Рассмотрим решение кубического уравнения

4x + x³ = x² + 4

1. Перенесем все слагаемые в левую часть

4x + x³ — x² — 4 = 0

2. Заметим, что удобнее группировать 1 и 2 слагаемые и 3 и 4 слагаемые

(4x + x³) — (x² + 4) = 0

3. Вынесем общий множитель х из первой скобки 

x * (4 + x²) — (x² + 4) = 0

4. Вынесем ещё один общий множитель x² + 4 за скобки

(x — 1) * (4 + x²) = 0

5. Чтобы произведение было равно 0, один из множителей должен быть равен 0, запишем совокупность

6. Решим каждое уравнение отдельно

1. x — 1 = 0
   x = 1

2. 4 + x² = 0
   x² = -4
   Нет решений, так как x² ≥ 0 верно для любого х

Из этого следует, что у данного уравнения есть только одно решение x=1

Фактчек

• В линейном уравнении неизвестная находится в степени 1. Для решения такого уравнения в одной части уравнения нужно оставить только неизвестную, а в другой собрать все остальное.
• В кубическом уравнении неизвестная в квадрате, то есть в степени 2. Решать такое уравнение можно через дискриминант или по теореме Виета

D = b² — 4 ⋅ a ⋅ c
\(\large x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2 ⋅ a}\)
\(\large x_{2} = \frac{-b — \sqrt{D}}{2 ⋅ a}\) 

или 

• В кубическом уравнении неизвестная находится в кубе, то есть в степени 3. Для решения такого уравнения используется вынесение общего множителя за скобки и способ группировки. 

Проверь себя

Задание 1.
Найдите корень уравнения (2x + 4) ⋅ 3 — 2x = 0

1. 3
2. 2
3. -2
4. -3

Задание 2.
Сколько корней будет у уравнения x² + x — 2 = 0?

1. Нет корней
2. Один корень
3. Два корня
4. Три корня

Задание 3.
Найдите корни уравнения x² + 4x — 5 = 0

1. 1 и 5
2. 1 и -5
3. 1 и 2
4. -1 и 2

Задание 4.
Найдите корни уравнения x² — 5x = 0

1. 0 и 5
2. 2 и 5
3. 25 и 5
4. 0 и 4

Задание 5.
Найдите корни уравнения 12x + 4 — 12x³ — 4x²=0

1. \(-\frac{1}{3}\)
2. -1 и 1
3. -1, \(-\frac{1}{3}\) и 1
4. -1, \(\frac{1}{3}\) и 1

Ответы: 1. — 4; 2. — 3; 3. — 2; 4. -1; 5. — 3