Линейные, квадратные и кубические уравнения
На этой странице вы узнаете:
- Почему неизвестное обозначают через x?
- Как находить корни квадратного уравнения, не считая их?
- Как дискриминант может повлиять на количество корней уравнения?
Понятие уравнения
Главный секрет математики в том, что любую задачу можно решить уравнением. А решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Давай разберемся как это сделать.
Вспомним, что:
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное, обозначенное буквой.
Корнем уравнения называется такое значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством.
Например, число 8 будет корнем уравнения 2x — 3 = 5 + x, потому что равенство 2 * 8 — 3 = 5 + 8 верное.
Почему неизвестное обозначают через x? Арабские математики в IX веке для записи формул использовали слова. Неизвестную величину они называли “шей”, что буквально означает “нечто”. Выглядело это примерно так: ![]() Позднее испанские ученые переводили записи на свой язык. Они записывали неизвестное как xei, поскольку в их языке отсутствовал звук [ш]. С появлением формул слово сократилось до одной буквы x. |
Линейные уравнения
Что же такое линейное уравнение?
Линейное уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится в степени 1.
Вид линейного уравнения:
ax + b=0 , где
х – неизвестная
а – коэффициент при неизвестной
b – свободный член

Стоит отметить, что а и b в таком уравнение известны, также оба этих числа можно называть коэффициентами.
Как же решить такое уравнение?
Для решения линейного уравнения нужно выразить х и найти числовое значение, то есть сделать такие преобразования, чтобы в одной части уравнения осталась только неизвестная, а в другой собралось все остальное.
Преобразования, которые можно совершать:
- Переносить слагаемое в другую часть уравнения с противоположным знаком.
x — 5 = 0
x = 0 + 5
x = 5
- Умножать или делить обе части уравнение на одно и то же число или выражение, которое не равно нулю.
3x = 12 | : 3
x = 4
Давайте рассмотрим решение линейного уравнения на следующем примере
2(x + 5) — 4x + 2 = 0
- Сначала раскроем скобки
2x + 10 — 4x + 2 = 0
- Для упрощения сложим подобные слагаемые
-2x + 12 = 0
- Теперь перенесем слагаемое без неизвестной в правую часть и разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестной, то есть выразим х
-2x = -12 | : (-2)
x = 6
Значение неизвестной найдено, а значит единственное решение данного уравнения 6
С линейными уравнениями можно столкнуться и в жизни.

Допустим, нам нужно приготовить 570 грамм теста на пирожки.
Обозначим вес одной части за x. Составим и решим уравнение для получения этого количества теста:
12x + 6x + x = 570
19x = 570
x = 30
Мы узнали, что одна часть — это 30 грамм. Теперь посчитаем сколько грамм продуктов нам потребуется.
- Мука: 12 * 30 = 360 грамм
- Вода: 6 * 30 = 180 грамм
- Растительное масло: 1 * 30 = 30 грамм
Квадратные уравнения
Мы уже знаем, что такое линейное уравнение. Но как же выглядит квадратное?
Квадратное уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится в степени 2.
Вид квадратного уравнения:
ax2 + bx + c = 0 , где
х — неизвестная
а и b – коэффициенты при неизвестной
с – свободный член
Стоит отметить, что а, b и с – известные числа.

Какими бывают квадратные уравнения?

Эти виды квадратных уравнений отличаются тем, что у полного квадратного уравнения есть оба коэффициента и свободный член, а у неполного может отсутствовать или второй коэффициент, или свободный член.
Решение несколько неполных квадратных уравнений на примере:
x2 + 2x = 0 x * (x + 2) = 0 ![]() Ответ: 0 и -2 | x2 — 4 = 0 x2 = 4 x = ±2 Ответ: 2 и -2 |
Полное квадратное уравнение может иметь 2 корня, 1 корень или не иметь корней. Количество корней зависит от дискриминанта
Что такое дискриминант?
Дискриминант в квадратном уравнении — это выражение, которое ищется по следующей формуле, где а, b и с берутся из уравнения:
D = b2 — 4 ⋅ a ⋅ c
Как дискриминант может повлиять на количество корней уравнения? Если D > 0, то уравнение имеет 2 корня. Если D = 0, то уравнение имеет 1 корень. Если D < 0, то уравнение не имеет корней. |
Дискриминант нужен не только для определения количества корней, но и для их нахождения одним из способов.
Способы решения квадратных уравнений:
- Решение через дискриминант
Корни квадратного уравнения находятся по этим формулам, где а и b берутся из уравнения, а D – это дискриминант:
\(\large x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2 ⋅ a}\)
\(\large x_{2} = \frac{-b — \sqrt{D}}{2 ⋅ a}\)
- По теореме Виета
Как находить корни квадратного уравнения, не считая их? По теореме Виета корни нужно подбирать, поэтому она удобна для нахождения рациональных корней. Данная теорема заключается в связывании корней уравнения и коэффициентов многочлена системой двух уравнений. |

где а, b и с – коэффициенты квадратного уравнения
x1 и x2 – корни квадратного уравнения
Давайте рассмотрим решение квадратного уравнения на следующем примере
2x2 — 5x — 3 = 0
1 способ:
- Найдем дискриминант
D = (-5)2 — 4 ⋅ 2 ⋅ (-3) = 25 + 24 = 49
- Дискриминант больше нуля, следовательно, у уравнения 2 корня, найдем их
\(\large x_{1} = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 ⋅ 2} = 3\)
\(\large x_{2} = \frac{-(-5) — \sqrt{49}}{2 ⋅ 2} = -12\)
Решениями уравнения являются числа 3 и -12.
2 способ:
- Запишем систему по теореме Виета

- Теперь подберем такие два числа, чтобы их сумма была \(\frac{5}{2}\), а произведение -\(\frac{3}{2}\), это будут числа 3 и -12.
Значит, решениями уравнения являются числа 3 и -12.
Кубические уравнения
Перейдем к последнему виду уравнений. Что же такое кубическое уравнение и как оно выглядит?
Кубическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится в степени 3.
Вид кубического уравнения:
ax3 + bx2 + cx + d = 0, где
х — неизвестная
а, b и с – коэффициенты при неизвестной
d – свободный член
Стоит отметить, что а, b, с и d – известные числа.

Преобразования, которые можно совершать в кубических уравнениях:
Вынесение общего множителя за скобки.
Вынесение общего множителя за скобки можно сравнить с делением фруктов в обеих тарелках на одинаковые части и вынесением такой части в отдельную тарелку.

Алгоритм:
- Разложить каждое слагаемое на множители.
- Вынести за скобку множители, которые есть в обоих слагаемых.
- Вынести скобку, как общий множитель.
Пример:
x3 — 2x2 — 3x = x * x * x — 2 * x * x — 3 * x = x * (x2 — 2x — 3)
Группировка
Алгоритм:
- Объединить слагаемые в пары.
- Вынести общий множитель из каждой скобки, чтобы получились одинаковые скобки.
Пример:
6x3 + 9x2 + 8x + 12 = (6x3 + 9x2) + (8x + 12) = 3x2 * (2x + 3) + 4 * (2x + 3) =
= (3x2+4) * (2x+3)
Рассмотрим решение кубического уравнения
4x + x3 = x2 + 4
- Перенесем все слагаемые в левую часть
4x + x3 — x2 — 4 = 0
- Заметим, что удобнее группировать 1 и 2 слагаемые и 3 и 4 слагаемые
(4x + x3) — (x2 + 4) = 0
- Вынесем общий множитель х из первой скобки
x * (4 + x2) — (x2 + 4) = 0
- Вынесем ещё один общий множитель x2 + 4 за скобки
(x — 1) * (4 + x2) = 0
- Чтобы произведение было равно 0, один из множителей должен быть равен 0, запишем совокупность

- Решим каждое уравнение отдельно
- x — 1 = 0
x = 1
- 4 + x2 = 0
x2 = -4
Нет решений, так как x2 ≥ 0 верно для любого х
Из этого следует, что у данного уравнения есть только одно решение x=1
Фактчек
- В линейном уравнении неизвестная находится в степени 1. Для решения такого уравнения в одной части уравнения нужно оставить только неизвестную, а в другой собрать все остальное.
- В кубическом уравнении неизвестная в квадрате, то есть в степени 2. Решать такое уравнение можно через дискриминант или по теореме Виета
D = b2 — 4 ⋅ a ⋅ c
\(\large x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2 ⋅ a}\)
\(\large x_{2} = \frac{-b — \sqrt{D}}{2 ⋅ a}\)
или

- В кубическом уравнении неизвестная находится в кубе, то есть в степени 3. Для решения такого уравнения используется вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.
Проверь себя
Задание 1.
Найдите корень уравнения (2x + 4) ⋅ 3 — 2x = 0
- 3
- 2
- -2
- -3
Задание 2.
Сколько корней будет у уравнения x2 + x — 2 = 0?
- Нет корней
- Один корень
- Два корня
- Три корня
Задание 3.
Найдите корни уравнения x2 + 4x — 5 = 0
- 1 и 5
- 1 и -5
- 1 и 2
- -1 и 2
Задание 4.
Найдите корни уравнения x2 — 5x = 0
- 0 и 5
- 2 и 5
- 25 и 5
- 0 и 4
Задание 5.
Найдите корни уравнения 12x + 4 — 12x3 — 4x2=0
- \(-\frac{1}{3}\)
- -1 и 1
- -1, \(-\frac{1}{3}\) и 1
- -1, \(\frac{1}{3}\) и 1
Ответы: 1. — 4; 2. — 3; 3. — 2; 4. -1; 5. — 3