Умскул учебник стремится стать лучше! Если вы наткнулись на ошибку или неточность в нашем материале - просто сообщите нам, мы будем благодарны!
Математика

Линейные, квадратные и кубические уравнения

6.4.2022
5072

На этой странице вы узнаете:

  • Почему неизвестное обозначают через x?
  • Как находить корни квадратного уравнения, не считая их?
  • Как дискриминант может повлиять на количество корней уравнения?

Понятие уравнения

Главный секрет математики в том, что любую задачу можно решить уравнением. А решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Давай разберемся как это сделать.

Вспомним, что:

Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное, обозначенное буквой.

Корнем уравнения называется такое значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством.

Например, число 8 будет корнем уравнения 2x — 3 = 5 + x, потому что равенство 2 * 8 — 3 = 5 + 8 верное.

Почему неизвестное обозначают через x?

Арабские математики в IX веке для записи формул использовали слова. Неизвестную величину они называли “шей”, что буквально означает “нечто”. Выглядело это примерно так:

Позднее испанские ученые переводили записи на свой язык. Они записывали неизвестное как xei, поскольку в их языке отсутствовал звук [ш]. С появлением формул слово сократилось до одной буквы x. 

Линейные уравнения

Что же такое линейное уравнение?

Линейное уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится в степени 1.

Вид линейного уравнения:

ax + b=0 , где 
х – неизвестная
а – коэффициент при неизвестной
b – свободный член

Стоит отметить, что а и b в таком уравнение известны, также оба этих числа можно называть коэффициентами.

Как же решить такое уравнение?

Для решения линейного уравнения нужно выразить х и найти числовое значение, то есть сделать такие преобразования, чтобы в одной части уравнения осталась только неизвестная, а в другой собралось все остальное.

Преобразования, которые можно совершать:

  1. Переносить слагаемое в другую часть уравнения с противоположным знаком.

x — 5 = 0
x = 0 + 5
x = 5

  1. Умножать или делить обе части уравнение на одно и то же число или выражение, которое не равно нулю.

3x = 12  | : 3
x = 4

Давайте рассмотрим решение линейного уравнения на следующем примере

2(x + 5) — 4x + 2 = 0

  1. Сначала раскроем скобки
    2x + 10 — 4x + 2 = 0
  1. Для упрощения сложим подобные слагаемые
    -2x + 12 = 0
  1. Теперь перенесем слагаемое без неизвестной в правую часть и разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестной, то есть выразим х
    -2x = -12 | : (-2)
    x = 6

Значение неизвестной найдено, а значит единственное решение данного уравнения 6

С линейными уравнениями можно столкнуться и в жизни. 

Допустим, нам нужно приготовить 570 грамм теста на пирожки.  

Обозначим вес одной части за x. Составим и решим уравнение для получения этого количества теста:

12x + 6x + x = 570
19x = 570
x = 30

Мы узнали, что одна часть — это 30 грамм. Теперь посчитаем сколько грамм продуктов нам потребуется.

  • Мука: 12 * 30 = 360 грамм
  • Вода: 6 * 30 = 180 грамм
  • Растительное масло: 1 * 30 = 30 грамм 

Квадратные уравнения

Мы уже знаем, что такое линейное уравнение. Но как же выглядит квадратное?

Квадратное уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится в степени 2.

Вид квадратного уравнения:

ax2 + bx + c = 0 , где
х — неизвестная
а и b – коэффициенты при неизвестной
с – свободный член

Стоит отметить, что а, b и с – известные числа.

Какими бывают квадратные уравнения?

Эти виды квадратных уравнений отличаются тем, что у полного квадратного уравнения есть оба коэффициента и свободный член, а у неполного может отсутствовать или второй коэффициент, или свободный член.

Решение несколько неполных квадратных уравнений на примере:

x2 + 2x = 0
x * (x + 2) = 0

Ответ: 0 и -2
x2 — 4 = 0
x2 = 4
x = ±2
Ответ: 2 и -2

Полное квадратное уравнение может иметь 2 корня, 1 корень или не иметь корней. Количество корней зависит от дискриминанта

Что такое дискриминант?

Дискриминант в квадратном уравнении — это выражение, которое ищется по следующей формуле, где а, b и с берутся из уравнения:

D = b2 — 4 ⋅ a ⋅ c

Как дискриминант может повлиять на количество корней уравнения?

Если D > 0, то уравнение имеет 2 корня.
Если D = 0, то уравнение имеет 1 корень.
Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Дискриминант нужен не только для определения количества корней, но и для их нахождения одним из способов.

Способы решения квадратных уравнений:

  1. Решение через дискриминант

    Корни квадратного уравнения находятся по этим формулам, где а и b берутся из уравнения, а D – это дискриминант:

\(\large x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2 ⋅ a}\)
\(\large x_{2} = \frac{-b — \sqrt{D}}{2 ⋅ a}\)

  1. По теореме Виета
Как находить корни квадратного уравнения, не считая их?

По теореме Виета корни нужно подбирать, поэтому она удобна для нахождения рациональных корней. Данная теорема заключается в связывании корней уравнения и коэффициентов многочлена системой двух уравнений. 

где а, b и с – коэффициенты квадратного уравнения
x1 и x2 – корни квадратного уравнения

Давайте рассмотрим решение квадратного уравнения на следующем примере

2x2 — 5x — 3 = 0

1 способ:

  1. Найдем дискриминант 

D = (-5)2 — 4 ⋅ 2 ⋅ (-3) = 25 + 24 = 49

  1. Дискриминант больше нуля, следовательно, у уравнения 2 корня, найдем их

\(\large x_{1} = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 ⋅ 2} = 3\)
\(\large x_{2} = \frac{-(-5) — \sqrt{49}}{2 ⋅ 2} = -12\)

Решениями уравнения являются числа 3 и -12.

2 способ:

  1. Запишем систему по теореме Виета
  1. Теперь подберем такие два числа, чтобы их сумма была \(\frac{5}{2}\), а произведение -\(\frac{3}{2}\), это будут числа 3 и -12.

Значит, решениями уравнения являются числа 3 и -12.

Кубические уравнения

Перейдем к последнему виду уравнений. Что же такое кубическое уравнение и как оно выглядит?

Кубическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится в степени 3.

Вид кубического уравнения:

ax3 + bx2 + cx + d = 0, где
х — неизвестная
а, b и с – коэффициенты при неизвестной
d – свободный член

Стоит отметить, что а, b, с и d – известные числа.

Преобразования, которые можно совершать в кубических уравнениях:

Вынесение общего множителя за скобки.

Вынесение общего множителя за скобки можно сравнить с делением фруктов в обеих тарелках на одинаковые части и вынесением такой части в отдельную тарелку.

Алгоритм:

  1. Разложить каждое слагаемое на множители.
  2. Вынести за скобку множители, которые есть в обоих слагаемых.
  3. Вынести скобку, как общий множитель.

Пример: 

 x3 — 2x2 — 3x = x * x * x — 2 * x * x — 3 * x = x * (x2 — 2x — 3)

Группировка

Алгоритм:

  1. Объединить слагаемые в пары.
  2. Вынести общий множитель из каждой скобки, чтобы получились одинаковые скобки.

Пример:

6x3 + 9x2 + 8x + 12 = (6x3 + 9x2) + (8x + 12) = 3x2 * (2x + 3) + 4 * (2x + 3) =
= (3x2+4) * (2x+3)

Рассмотрим решение кубического уравнения

4x + x3 = x2 + 4

  1. Перенесем все слагаемые в левую часть

4x + x3 — x2 — 4 = 0

  1. Заметим, что удобнее группировать 1 и 2 слагаемые и 3 и 4 слагаемые

(4x + x3) — (x2 + 4) = 0

  1. Вынесем общий множитель х из первой скобки 

x * (4 + x2) — (x2 + 4) = 0

  1. Вынесем ещё один общий множитель x2 + 4 за скобки

(x — 1) * (4 + x2) = 0

  1. Чтобы произведение было равно 0, один из множителей должен быть равен 0, запишем совокупность
  1. Решим каждое уравнение отдельно
  1. x — 1 = 0
    x = 1
  1. 4 + x2 = 0
    x2 = -4
    Нет решений, так как x2 ≥ 0 верно для любого х

Из этого следует, что у данного уравнения есть только одно решение x=1

Фактчек

  • В линейном уравнении неизвестная находится в степени 1. Для решения такого уравнения в одной части уравнения нужно оставить только неизвестную, а в другой собрать все остальное.
  • В кубическом уравнении неизвестная в квадрате, то есть в степени 2. Решать такое уравнение можно через дискриминант или по теореме Виета

D = b2 — 4 ⋅ a ⋅ c
\(\large x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2 ⋅ a}\)
\(\large x_{2} = \frac{-b — \sqrt{D}}{2 ⋅ a}\) 

или 

  • В кубическом уравнении неизвестная находится в кубе, то есть в степени 3. Для решения такого уравнения используется вынесение общего множителя за скобки и способ группировки. 

Проверь себя

Задание 1.
Найдите корень уравнения (2x + 4) ⋅ 3 — 2x = 0

  1. 3
  2. 2
  3. -2
  4. -3

Задание 2.
Сколько корней будет у уравнения x2 + x — 2 = 0?

  1. Нет корней
  2. Один корень
  3. Два корня
  4. Три корня

Задание 3.
Найдите корни уравнения x2 + 4x — 5 = 0

  1. 1 и 5
  2. 1 и -5
  3. 1 и 2
  4. -1 и 2

Задание 4.
Найдите корни уравнения x2 — 5x = 0

  1. 0 и 5
  2. 2 и 5
  3. 25 и 5
  4. 0 и 4

Задание 5.
Найдите корни уравнения 12x + 4 — 12x3 — 4x2=0

  1. \(-\frac{1}{3}\)
  2. -1 и 1
  3. -1, \(-\frac{1}{3}\) и 1
  4. -1, \(\frac{1}{3}\) и 1

Ответы: 1. — 4; 2. — 3; 3. — 2; 4. -1; 5. — 3

Понравилась статья? Оцени:
Читайте также:

Читать статьи — хорошо, а готовиться к экзаменам
в самой крупной онлайн-школе — еще эффективнее.

50 000
Количество
учеников
1510
Количество
стобальников
>15000
Сдали на 90+
баллов