Экономические задачи на оптимальный выбор

На этой странице вы узнаете

• Как между двумя товарами выбрать наиболее выгодный? 
• Что можно выразить с помощью функции?
• Каким способом можно решать задачи на оптимизацию, не прибегая к параболе?

Что выгоднее: купить упаковку чипсов весом 210 граммов за 150 рублей или упаковку весом 90 граммов за 70 рублей? Сегодня мы узнаем, что удачные покупки — это не только товары по скидке или два по цене одного. Заодно разберем одну из важных тем в экономике. 

Оптимизация

С задачами на оптимальный выбор мы сталкиваемся чаще, чем может показаться на первый взгляд. Когда в магазине пытаемся немного сэкономить деньги, когда ищем лучшую модель гаджета по соотношению цена – качество. При любой покупке нам хочется получить выгоду, и задачи на оптимизацию как раз про это.

Вернемся к чипсам. Может показаться, что купить маленькую пачку чипсов выгоднее: она дешевле. Но что если посмотреть на стоимость одного грамма? 
Для маленькой пачки получим \(\frac{70}{90} \approx 0,78\) рублей за грамм. 
А для большой пачки: \(\frac{150}{210} \approx 0,71\) рублей за грамм. 
Получается, что в большой пачке один грамм чипсов стоит немного дешевле, чем в маленькой. То есть выгоднее купить большую пачку. 

Как между товарами выбрать наиболее выгодный? Если товары не отличаются по качеству, но отличаются по цене, то достаточно найти, сколько стоит одна единица измерения (грамм, метр, количество). Наиболее выгодным товаром будет тот, единица которого стоит дешевле.

В чем заключаются задачи на оптимизацию? Решим пример, который поможет лучше понять всю суть задач на оптимизацию.  

Пример 1. Среди прямоугольников с периметром p найти прямоугольник с наибольшей площадью. 

Решение. Вспомним, что площадь прямоугольника вычисляется по формуле S = xy, где x, y – его стороны. 

Периметр находится по формуле p = 2x + 2y. 

Выразим y:

\(y = \frac{p − 2x}{2}\). 

Теперь подставим полученное значение в формулу площади:

\(S = \frac{p — 2x}{2} * x = \frac{px — 2x^2}{2} = −x^2 + \frac{p}{2} * x\)

Заметим: у нас получилось уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Условно изобразим ее. Подробнее, почему мы нарисовали параболу именно так, можно прочесть в статье «Основные элементарные функции». 

Представим, что вместо параболы мы сложили слитки золота. Если мы возьмем золото только из нижнего ряда, то получим всего 4 слитка. Если все, что ниже второго, то уже 4 + 3 = 7. Чтобы получить максимум золота, нам нужно собрать все слитки от самого верхнего ряда.   

Тогда, чтобы получить наибольшую площадь, нам нужно взять значение х в верхней точке параболы, то есть в ее вершине. 

Найдем вершину параболы по формуле:

\(x_в = \frac{−b}{2a} = \frac{−\frac{p}{2}}{−2} = \frac{p}{4}\)

Вспомним, что \(y = \frac{p − 2x}{2} = \frac{p}{2} − x\) и подставим полученное ранее значение х, следовательно, \(y = \frac{p}{2} − \frac{p}{4} = \frac{p}{4}\). 

Получаем, что \(x = y = \frac{p}{4}\), а значит, наибольшая площадь будет достигаться, если прямоугольник будет квадратом. 

Ответ: квадрат со стороной \(\frac{p}{4}\). 

Задания на оптимизацию являются одним из видов задач, которые могут встретиться в ЕГЭ по профильной математике в №15. 

Задание 15 дает целых два первичных балла, а значит, нужно быть готовым ко всему, чтобы обязательно получить эти баллы на экзамене.

Подходы к оптимизации

Для каждой задачи или загадки нужен свой подход, идея. Какие идеи заложены в задачи по оптимизации?

• Необходимо понять, от каких величин зависит искомая переменная, чтобы найти ее максимальное или минимальное значение. 

• Необходимо сократить количество неизвестных переменных в полученной зависимости. 

• Исследовать полученную зависимость и найти наибольшее или наименьшее значение. 

Решим несколько задач, чтобы понять на практике все идеи. 

Пример 2.
Вика владеет двумя цветочными магазинами в городах Е. и П. В магазинах продают одинаковую продукцию, однако магазин в городе П. использует более современные технологии. Работники магазина в городе Е. трудятся t² часов в неделю и за эту неделю производят 3t единиц продукции. Работники магазина в городе П. трудятся t² часов в неделю и за эту неделю производят 6t единиц продукции. 

За каждый час работы Вика платит сотрудникам 500 рублей. Но перед сотрудниками стоит важная задача: еженедельно они должны производить 300 единиц продукции. Какую наименьшую сумму может выплачивать Вика сотрудникам?

Решение.

Переведем задачу с языка математики. 
Например, в магазине в городе Е. работает два флориста. Первый работает по 8 часов в день с понедельника по пятницу, а второй по 10 часов в день с понедельника по субботу. Всего они еженедельно будут работать 8 * 5 + 10 * 6 = 100 часов. 

По условию эти 100 часов будут равны t². Мы можем найти \(t = \sqrt{100} = 10\). Сколько единиц продукции будут производить эти флористы? Из задачи следует, что это 3t = 3 * 10 = 30. 

А сколько заработают за эту неделю флористы? Вместе их зарплата составит 500 * 100 = 50000 рублей. 

Так можно проследить зависимость одной переменной от другой. 

 Перейдем к решению задачи. 

Шаг 1. У нас есть два магазина, в которых работает неизвестное количество сотрудников неизвестное количество времени. Что делать, если мы чего-то не знаем? Вводить переменную.

Введем переменную на время работы сотрудников. В этом случае нам неважно, сколько их и как долго работает каждый. Мы берем все их часы суммарно. 

Пусть в городе Е. сотрудники работают x² часов в неделю, а в городе П. сотрудники работают y² часов в неделю. 

Для удобства составим небольшую таблицу. 

Город	Е.	П.
Время работы сотрудников	x2	y2
Количество произведенной продукции
Сумма зарплаты

Следующую строку, которую необходимо заполнить — это количество произведенной продукции. По условию в городе Е. за x²  часов произведут 3x единиц товара, а в городе П. за  y² часов произведут 6y единиц товара. 

Город	Е.	П.
Время работы сотрудников	x2	y2
Количество произведенной продукции	3x	6y
Сумма зарплаты

А какую зарплату Вика должна выплатить сотрудникам? Для этого необходимо количество часов умножить на ставку за час. 

Город	Е.	П.
Время работы сотрудников	x2	y2
Количество произведенной продукции	3x	6y
Сумма зарплаты	500x2	500y2

Шаг 2. Пусть S — сумма, которую Вика выплачивает сотрудникам. Получаем уравнение:

S = 500(x² + y²)

Также следует вспомнить о целях, которые поставила Вика: еженедельно должно производиться 300 единиц товара, следовательно, 3x + 6y = 300. Выразим из этого уравнения y:

\(y = \frac{300 − 3x}{6} = 50 − 0,5x\)

Шаг 3. Теперь можно подставить значение у в первое уравнение:

S = 500(x² + (50 − 0,5x))² = 500(x² + (2500 − 50x + 0,25x²)) = 500(1,25x² − 50x + 2500)

Получаем, что S = 625x² − 25000x + 1250000. 

Шаг 4. Заметим, что это парабола с ветвями вверх, поскольку коэффициент перед x² положителен. Изобразим ее условный график.

Наименьшее значение достигается в вершине параболы. Найдем ее. 

Шаг 5. \(x_в = \frac{−b}{2a} = \frac{25000}{2 * 625} = 20\)

Шаг 6. Вычислим значение у:

y = 50 − 0,5x = 50 − 0,5 * 20 = 50 − 10 = 40. 

Шаг 7. Вика должна выплачивать еженедельно:

S = 500(20² + 40²) = 500(400 + 1600) = 500 * 2000 = 1000000 рублей. 

Ответ: 1000000 рублей. 

Кажется, Вике стоит пересмотреть свою бизнес-модель…

Что можно выразить с помощью функции? Возможности функции наиболее полно раскрываются именно в задачах на оптимизацию. В них функция перестает быть абстрактными переменными и становится реально существующими вещами.  С помощью функции можно выразить что угодно: сумму выплат, количество часов работы, площадь участков и так далее.

Алгоритм решения задач на оптимизацию

Итак, перед нами уже складывается алгоритм решения задач на оптимизацию. Распишем его чуть подробнее. 

Алгоритм решения задач на оптимизацию Шаг 1. Выделить значение, которое необходимо найти, и выразить его с помощью переменной.  Шаг 2. Выразить неизвестные значения через другую переменную. Составить уравнение.  Шаг 3. Составить функцию y = f(x) — это математическая модель.  Шаг 4. Исследовать полученную функцию.

Чтобы закрепить алгоритм в памяти, обратимся к следующему примеру.

Пример 3.
Городские власти собрали команду художников из 44 человек, которые должны расписать два объекта в городе. Если на первом объекте работает t художников, то власти должны выплатить им 5t² тысяч рублей. Если на втором объекте работает t художников, то власти должны выплатить им t² тысяч рублей. Как нужно распределить художников по объектам, чтобы власти города выплатили им наименьшую сумму? Сколько тысяч рублей власти города должны будут заплатить в этом случае? 

Решение.

Шаг 1. Мы не знаем, сколько человек работает на каждом объекте — то есть получаем неизвестные переменные. 

Мы можем выразить количество художников на каждом объекте через х и у. Тогда x + y = 44. Можно ли сократить количество переменных?

Отвлечемся на минутку и решим небольшую задачу. Перед котом разложили 5 игрушек, некоторыми из которых он поиграл. Сколько игрушек остались нетронутыми?

Если кот поиграл х игрушками, то нетронутыми останутся (5−x) игрушек. Например, при x=3 получим, что нетронутыми останутся 2 игрушки. 

Применим аналогичные рассуждения к задаче. Было 44 художника, из них х отправились работать на первый объект. Сколько художников отправится работать на второй объект? Получим (44−x).

Шаг 2. Найдем, какую зарплату необходимо будет выплатить художникам на каждом объекте. 

Поскольку на первом объекте работает х человек, по условию им необходимо выплатить 5x² тысяч рублей. 

Поскольку на втором объекте работает (44 − x) человек, им необходимо выплатить:

(44 − x)² = 1936 − 88x + x². 

В сумме власти города должны будут выплатить:

5x² + 1936 − 88x + x² = 6x² − 88x + 1936 тысяч рублей. 

Шаг 3. Это парабола с ветвями вверх, ее наименьшее значение достигается в вершине.

\(x_в = \frac{−b}{2a} = \frac{88}{12} = 7\frac{1}{3}\)

Шаг 4. В этом моменте необходимо задуматься: может ли х принимать нецелые значения? По условию нет, поскольку за х мы взяли количество человек. Ситуация, когда один и тот же человек на треть находится на одном объекте, а другая его часть на другом, невозможна ни с биологической, ни с физической точки зрения. Значит, х — целое число.

Как быть в этом случае? Рассмотрим параболу, начертив ее условный график. 

Заметим, что чем дальше будет располагаться значение х от вершины параболы, тем больше будет сумма выплат. Нам необходимо найти сумму выплат в ближайших от вершины целых значениях х. 

Есть ещё и шаг 5. Поскольку вершина лежит в точке \(7\frac{1}{3}\), получаем два случая: x = 7, x = 8.

При x = 7 власти выплатят художникам

6 * 7² − 88 * 7 + 1936 = 294 − 616 + 1936 = 1614 тысяч рублей. 

При x = 8 власти выплатят художникам

6 * 8² − 88 * 8 + 1936 = 384 − 704 + 1936 = 1616 тысяч рублей. 

Наименьшая возможная сумма выплат художникам — это 1614 тысяч рублей. 

Ответ: 1614.

Каким способом можно решать задачи на оптимизацию, не прибегая к параболе?  Поскольку мы ищем наибольшее или наименьшее значение функции, мы можем прибегнуть к исследованию функции с помощью производной. Она пригодится в задачах, где заданная функция не является параболой.

Фактчек

• В задачах на оптимизацию необходимо найти наилучшее решение для заданной ситуации: наименьшую сумму выплат, наибольшую производительность и так далее. 
• Чтобы решить задачи на оптимизацию, необходимо следовать алгоритму и идеям, которые в них заложены. 
• Идея 1: необходимо понять, от каких величин зависит искомая переменная, чтобы найти ее максимальное или минимальное значение. 
• Идея 2: необходимо сократить количество неизвестных переменных в полученной зависимости. 
• Идея 3: исследовать полученную зависимость и найти наибольшее или наименьшее значение. 
• В задачах на оптимизацию очень часто встречается функция, которая задает ситуацию из условия. Для ее исследования можно прибегнуть к графикам или производной. 

Проверь себя

Задание 1. 
Что выгоднее купить: большую или маленькую порцию картошки фри? В большой порции 150 грамм, а стоит она 80 рублей. В маленькой порции 70 грамм, а стоит она 60 рублей. 

1. большую порцию
2. маленькую порцию
3. порции одинаковы по выгоде
4. невозможно определить

Задание 2. 
Дана парабола с ветвями, направленными вверх. В какой точке достигается ее наименьшее значение?

1. при x=0
2. при y=0
3. в вершине параболы
4. невозможно определить

Задание 3. 
Выплаты зарплаты работникам в фирме Огонек считается по формуле x² − 24x + 1000, где х — количество отработанных часов. Какую наименьшую зарплату может выплатить фирма? 

1. 12
2. 100
3. 856
4. 1

Задание 4. 
В зависимости от условий, на поле может вырасти \((−2a^2+60a+300)\) килограмм урожая, где a — скорость роста культур. Какое наибольшее количество килограмм может вырасти на поле?

1. 300
2. 750
3. 15
4. 1000

Ответы: 1. — 1; 2. — 3; 3. — 3; 4. — 2.