Погрешности измерений

На этой странице вы узнаете

• Как солнечные зайчики помогли науке?
• Как линейка попала в Россию? 
• Почему несколько линеек могут отличаться в цене в сотни раз?

В произведениях литературных классиков или даже в детских сказках, мы часто видим упоминание таких странных и непонятных для нас единиц измерения как фут, локоть, дюйм, аршин, ярд и так далее. Знали ли вы, что ярд — это расстояние от кончика носа до большого пальца вытянутой руки? А фут равен средней длине стопы взрослого человека. Сейчас такие единицы измерения мы уже не используем. Они слишком неточные и усредненные. 

Современные измерения проводятся с помощью точных приборов, универсальных для всего развитого мира. Но мы часто все-таки слышим фразу «погрешность измерений». Если приборы такие точные и универсальные, то откуда берется погрешность? В этой статье мы найдем ответ на этот вопрос. 

Для чего проводят опыты

Для изучения истории нам достаточно теории. Даже если бы мы захотели что-то уточнить и измерить, мы бы не смогли — все изучаемое давно в прошлом. Приходится верить на слово, что рост Петра I был равен аж 203 см — это, между прочим, опровергается современными исследователями.  

Физика не может строиться только на теории. Каждый закон необходимо доказывать. Одним из способов доказательства того или иного закона служит проведение опыта, в котором с помощью измерительных приборов ученые получают числовые значения. Еще сам Дмитрий Иванович Менделеев сказал: «Наука начинается с тех пор, как начинают измерять». Но не всегда теоретические гипотезы сразу подтверждаются опытами. Зачастую при выполнении опыта что-то могло быть не учтено, а возможно, сама гипотеза была ошибочной изначально.

Если теоретическое значение совпало с практическим, то закон считается правильным. Однако чаще всего результаты опыта не совпадают с теоретическим значением в точности, но тем не менее, могут считаться подтверждением теоретической гипотезы. Так, как же понять, в какой именно момент мы близки к теоретическому значению, а в какой уже явно вышли за рамки предсказанного?

Отклонение от теоретического значения носит название погрешность и может быть вызвано многими факторами: от дуновения ветра или дрогнувшей руки исследователя до неточности инструментов. В зависимости от источника неточности результата выделяют погрешности прямых и косвенных измерений. Поговорим о них поподробнее.

Погрешности прямых и косвенных измерений величин

При выполнении эксперимента мы сталкиваемся с двумя типами поиска физической величины: прямое измерение (длины, времени, силы тока) или косвенное (вычисление физической величины по формуле). От способа определения значения физической величины зависит, насколько точно мы можем ее определить.

Для начала представим, что мы умеем измерять все, что угодно, тогда речь идет про прямые измерения, которые чаще всего связаны с измерительным прибором. В таком случае, ошибка, которая может возникнуть, связана исключительно с использованием дополнительного оборудования.

Инструментальные погрешности — погрешности, которые определяются относительной точностью измерительных приборов.

Итак, прибор при измерении несет некоторую ошибку, причем считают, что он показывает значения как меньше, так и больше реального с одинаковой вероятностью. Именно поэтому вместо одного измерения обычно проводят целую серию опытов. Серия из 5—10 опытов выдаст среднее показание, которое будет демонстрировать более точное значение искомой величины, в отличие от единичного измерения: чем больше опытов, тем более точное значение удается получить.

Как солнечные зайчики помогли науке?  Все тела притягиваются между собой. Но почувствовать притяжение, например, горы очень сложно, так как ее притяжение будет очень мало. Это означает, что для определения силы притяжения нужен был очень тонкий и чувствительный метод.  В 1798 году для определения силы притяжения были использованы крутильные весы. Было изучено, как смещается коромысло с шарами при приближении к шарам большей массы. Это смещение определялось с помощью световых зайчиков, которые отражались от зеркал, закрепленных на шарах коромысла.  С помощью этого эксперимента удалось установить значение гравитационной постоянной, а немного позже — массу Земли.

Пример выше показывает, что очень маленькие величины приходится измерять очень точными приборами. Но нужно помнить, что каждому измерению соответствует свой метод, а потому взвесить килограмм огурцов таким образом не получится.

С измерительными приборами разобрались, а теперь представим, что у нас нет возможности измерить что-то напрямую. Например, мы хотим измерить среднюю скорость бегуна, но можем измерить только расстояние и время, а саму скорость будем искать, используя формулу \(v=\frac{S}{t}\). В этом случае погрешность результата будет зависеть от погрешностей всех измерений, которые проводились в ходе эксперимента. В общем виде формулы косвенных погрешностей довольно сложные, и изучаться они будут лишь в университете, но приведем некоторые из них для ознакомления.

Искомая величина	Абсолютная величина
\(C=A\pm B\)	\(\Delta C=\Delta A+\Delta B\)
\(C=const\)	\(\Delta C=0\)
\(C=AB\)	\(\Delta C=\Delta A*B+A*\Delta B\)
\(C=\frac{A}{B}\)	\(\Delta C=\frac{\Delta A*B+A*\Delta B}{B^2}\)

Как мы видим, что бы мы не определяли, нам все равно важно уметь находить именно инструментальные погрешности. Давайте остановимся на них подробнее.

Инструментальная погрешность

Ошибка при определении значения по некоторому инструменту зависит от того, аналоговый (приборы со стрелками, шкалами и т.д.) или цифровой (результат выводится сразу в цифрах) прибор мы используем. К аналоговым приборам можно отнести линейку, штангенциркуль, механические часы и др. В этих приборах нам приходится самостоятельно определять результат измерения по имеющейся в них шкале. К цифровым измерительным приборам относят электронные весы, электронные часы и прочие приборы, выдающие итоговый результат.

Разберемся для начала со случаем цифровых приборов. Тут измерения совершенно не зависят от человека, поэтому на таких инструментах обычно указывается инструментальная погрешность. 

Если же прибор аналоговый, то измерения зависят не только от того, насколько точен прибор, но также от наблюдателя, снимающего показания. На таких приборах тоже может быть указана погрешность нанесения шкалы, например, может быть написана следующая фраза: «Погрешность равна половине цены деления шкалы». Если же никаких дополнительных надписей нет, то в качестве погрешности мы также принимаем половину цены деления измерительного прибора.

Шкала — весь участок инструмента, который показывает значение искомой величины. 

Цена деления шкалы — отношение диапазона значений всей шкалы к количеству делений измерительного прибора.

Как линейка попала в Россию?  В Россию линейка попала в 1812 году и, как это обычно бывает в нашей истории, в качестве военного трофея. А лишь в 1899 году по инициативе все того же Д.И. Менделеева начинается массовое производство линеек в России.

Рассмотрим пример вычисления цены деления.

Дана линейка, максимальное значение которой 15 см. Между соседними значениями в см (0 и 1) мы можем насчитать 10 штрихов. Значит, всего на линейке 150 штрихов. Получаем  значение 1 штриха: \(\frac{15 см}{150}=0,1 см=1 мм\). Тогда цена деления 15-ти сантиметровой линейки — 1 мм. 

Значит, для этой линейки половина цены деления шкалы равна 0,5 мм. 

Теперь мы понимаем, что цена деления является одной из важнейших характеристик прибора, но как же применять данные знания на реальных опытах?

Запись результата с учетом погрешности 

Для записи результата измерения с учетом погрешности существует несколько основных правил: 

1. Количество цифр после запятой у главного значения должно равняться количеству цифр после запятой у значения погрешности.

2. Как мы уже говорили выше отклонение от реального значения может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому между главным значением и значением погрешности ставится знак «±».

15,25 ± 0,05

3. После ответа пишется общая размерность.

15,25 ± 0,05 Н

4. Нужно ответ с погрешностью взять в скобки. 

(15,25 ± 0,05) Н.

Также стоит отметить, что если результат измерения является целым числом — например, 15 см, как в нашем примере выше, — а погрешность равняется 0,5 см, то необходимо к главному значению приписать запятую и поставить 0, чтобы правило 1 было выполнено. То есть погрешность определяет количество цифр после запятой у главного значения.

15,0 ± 0,5 см

Если же погрешность была бы 0,05 см:

15,00 ± 0,05 см

Почему несколько линеек могут отличаться в цене в сотни раз? Именно из-за погрешности цены деления шкалы некоторые измерительные приборы могут отличаться в цене. Чем точнее прибор, тем он дороже.

Давайте попробуем разобрать пример задания №19 ЕГЭ.

Задание. Определите напряжение на лампочке, если на пределе измерения 3 В (нижняя шкала) погрешность составляет 0,07 В, а на пределе измерения 6 В (верхняя шкала) погрешность измерения — 0,15 В.

Решение.

1. Сначала определимся, каким пределом измерения нам необходимо пользоваться. Провода подключены к клемме 3 В. Значит, нам нужен предел измерения 3 В (нижняя шкала), на котором погрешность измерений составляет 0,07 В.

2. Всего между двумя соседними значениями 10 штрихов. Тогда значение по главной шкале — 2,2 В.

3. Воспользуемся правилом о цифрах после запятой. Тогда получим, что напряжение на лампочке:

(2,20 ± 0,07) В

4. Мы получили ответ к задаче, но важно также знать, как именно записать его в бланк ответа. Для этого мы подряд должны записать все символы кроме , без скобок и единиц измерения. В итоге в качестве ответа в бланке напишем: 2,200,07.

Ответ: 2,200,07 

Итак, мы обсудили, что все измерения мы проводим с помощью некоторых приборов, имеющих различные погрешности. Давайте теперь разберем, что такое эти самые приборы, какие они бывают и как по названию иногда легко понять его точность.

Инструменты и их погрешности

Инструментов существует огромное множество. Для использования некоторых из них достаточно иметь лишь сам инструмент измерения, как, например, линейку, а к некоторым нужен особый подход. Так, чтобы измерить напряжение в электрической цепи необходимо не только иметь вольтметр, но и иметь правильно собранную цепь.  

Для некоторых измерительных приборов характерно присутствие суффикса -метр в названии этого прибора. Часть слова перед этим суффиксом указывает на измеряемую величину в единицах измерения или характеристику. Такие приборы имеют шкалу, позволяющую определить значение измеряемой величины.

Например:

• Вольтметр — измеритель напряжения.
• Амперметр — измеритель силы тока.
• Термометр — измеритель температуры.
• Динамометр — измеритель силы.
• Тонометр — измеритель давления человека.

Приборы без измерительной шкалы обычно имеют суффикс —скоп: например, электроскоп. Обычно они показывают наличие величины, а не ее значение. Само собой по такому прибору невозможно измерить что-либо, поэтому про его погрешность речь тоже не идет. Чаще всего их используют для подтверждения наличия некоторого эффекта.

Рассмотрим пример решения задачи об измерительных приборах №19 ЕГЭ.

Задание. Определите показания динамометра, если цена его деления равна 0,2 Н, а без нагрузки его стрелка находится в самом верху шкалы. Учесть, что погрешность составляет половину цены деления шкалы.

Решение.

1. Если в состоянии покоя стрелка находится в самом верху, то в момент, когда к динамометру подвесили груз, его показания составляют 14 делений. Тогда в данный момент показания динамометра — \(14 * 0,2 = 2,8\) (Н).

2. Погрешность равна половине цены деления шкалы. Тогда погрешность равна: \(\frac{0,2}{2} = 0,1\) (Н).

3. Тогда результат с учетом погрешности:
\(2,8\pm 0,1\) Н

Ответ: \(2,80,1\)

Итак, подводя итоги, отметим ряд навыков, которыми мы овладели: научились правильно снимать показания с приборов, а также корректно записывать результат. Кроме того мы изучили разницу между прямыми и косвенными измерениями и теперь при необходимости можем использовать наиболее точные методы при проведении опытов.

Чтобы узнать подробнее о том, как именно можно провести опыт и как правильно сделать выводы из его результатов, можем обратиться к статье «Обработка физического эксперимента».

Термины

Давление — величина, прямо пропорциональная силе, действующей перпендикулярно поверхности, и обратно пропорциональная площади этой поверхности. Про давление можно прочитать в статье «Сила Архимеда. Давление».

Клемма — место подключения цепи к источнику напряжения. Подробнее про другие элементы электрических цепей узнаем в статье «Электрические схемы».

Напряжение — скалярная физическая величина, равная отношению полной работы кулоновских и сторонних сил А при перемещении положительного заряда на участке цепи к значению этого заряда: U = Aq. За подробностями обратимся к статье «Законы постоянного тока».

Сила — мера взаимодействия тел. [F] = Н (Ньютон). Больше информации о силе можно найти в статье «Законы Ньютона».

Сила тока — это физическая величина, показывающая, какой заряд переносится через рассматриваемую площадь поперечного сечения за единицу времени. Подробнее читаем в статье «Законы постоянного тока». 

Фактчек

• В ходе опыта невозможно получить истинное значение физической величины, поэтому вводят такое понятие, как погрешность, позволяющее оценить, насколько близок результат оказался к реальному.
• Существуют прямые и косвенные погрешности измерений физической величины. Прямые являются измерительными ошибками, а косвенные — вычислительными.
• Инструментальные погрешности — погрешности, которые определяются неточностью измерительных приборов.
• Цена деления шкалы — отношение диапазона всей шкалы к количеству «штрихов» измерительного прибора.
• При записи результата с учетом погрешности необходимо следовать следующим правилам: младший разряд в погрешности и в главном значении должны совпадать; погрешность записывается со знаком ; единицы измерения погрешности и главного значения должны быть одинаковыми и записанными после всего выражения. 

Проверь себя

Задание 1.
Что такое цена деления шкалы?

1. Отношение 1 штриха ко всей длине шкалы.
2. Отношение всей длины шкалы к 1 штриху.
3. Отношение диапазона всей шкалы к количеству штрихов.
4. Количество штрихов на шкале.

Задание 2. 
Известно, что одно деление шкалы равно 5 кг, а погрешность составляет половину деления шкалы. Определите погрешность.

1. 2,5 кг;
2. 5 кг;
3. 10 кг;
4. 0,5 кг.

Задание 3.
Известно, что одно деление шкалы равно 3 Н, а погрешность составляет половину деления шкалы. Определите прикладываемую силу, если стрелка динамометра указывает на 3 штрих от начала шкалы.

1. 3 ± 1,5 Н;
2. 3,0 ± 1,5 Н;
3. 9 ± 1,5 Н;
4. 9,0 ± 1,5 Н.

Задание 4.
Какую величину можно найти с помощью динамометра?

1. напряжение;
2. силу;
3. температуру;
4. длину.

Ответы: 1. — 3; 2. — 1; 3. — 4; 4. — 2.