Геометрическая оптика. Линзы

На этой странице вы узнаете

• Почему глаз — это линза?
• Так ли безобидна росинка?
• Как наука может улучшить жизнь огромному количеству людей?

Все мы в той или иной степени пользуемся приборами, связанными с оптикой: очки, зеркало и даже наши с вами глаза. Да, глаза — это тоже оптическая система, со своеобразной линзой и экраном. В этой статье мы рассмотрим, как это все работает с точки зрения физики.

Оптика. Линзы. Виды линз

Удивительная наука оптика. Она является смешением математики и физики. От математики здесь геометрия, а от физики — формулы и законы. Однако, хочется вас уверить, что здесь нет ничего сложного. Давайте рассмотрим этот удивительный симбиоз.

Геометрическая оптика — раздел физики, в котором рассматривается ход лучей в различных средах, а также взаимодействие лучей с различными предметами (стеклами, линзами и т.д.).

Свет может вести себя по-разному в различных средах или при переходе из одной в другую. Например, при пересечении светом границы воздух-стекло происходит его преломление. 

Именно на этом явлении (преломление света) построена работа оптических линз. О них мы с вами сейчас и поговорим.

Линза — прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями.

Линз существует огромное множество. Однако мы рассмотрим только 2 основных вида линз.

Собирающая линза	Рассеивающая линза
Линза, центральная часть которой толще, чем ее края.	Линза, центральная часть которой уже, чем ее края.
При прохождении линзы лучи света собираются в более узкий пучок и в итоге, рано или поздно, будут иметь точку пересечения (F) после линзы.	При прохождении линзы лучи света расходятся в разные стороны. Но если провести через эти лучи прямые, то в некоторой точке (F) до самой линзы они будут пересекаться.
На иллюстрации слева направо изображены: двояковыпуклая, плосковыпуклая и вогнуто-выпуклая линзы.	На иллюстрации слева направо изображены: двояковогнутая, плоско-вогнутая и выпукло-вогнутая линзы.

Почему так получается, что линзы направляют лучи в разные стороны? На самом деле, все очень просто. Направление лучей, выходящих из линз, зависит от типа самих линз и объясняется законом Снеллиуса.

На данном изображении на примере прямоугольного аквариума как раз таки можно рассмотреть закон Снеллиуса в действии. Вспомним: все, что мы видим — это отраженный от предметов свет. Так вот, его лучи преломляются, проходя через границу раздела двух сред — стенку аквариума, отделяющую воду от воздуха. В определенной точке эти два луча пересекутся. Если именно с этой точки пересечения человек посмотрит на аквариум, то он увидит двух рыбок, а не одну.

Закон Снеллиуса описывает преломление света на границе двух прозрачных сред:

\(n_1\)\(sin\)\(\alpha\)=\(n_2\)\(sin\)\(\beta\), где \(n_1\), \(n_2\) — показатель преломления первой и второй среды соответственно; \(\alpha\)- угол луча падения (луча 1, который падает на границу раздела двух сред \(n_1\), \(n_2\)); \(\beta\) — угол преломленного луча (луча 2, который выходит из границы раздела двух сред \(n_1\), \(n_2\)).

Можно заметить, что в этом законе у нас присутствуют углы. Это доказывает, что оптика неразрывно связана с геометрией.

На рисунке цифрой 1 обозначен падающий луч, цифрой 2 — преломленный луч, а горизонтальная черта — это граница раздела двух сред, о который мы говорили выше. В случае с линзами падающий луч будет преломляться два раза — при входе в линзу и выходе из нее. Поэтому чаще в задачах используется условно тонкая линза, чтобы облегчить расчеты, но о ней поговорим чуть ниже.

Построение изображения в собирающей линзе

Сейчас мы рассмотрим, как можно получить разные изображения. Научимся их строить и характеризовать их.

Этот навык очень важен, так как может помочь нам решить 14–17 задания первой части и 24, 26, 29 задания из второй части ЕГЭ, а также 6 и 12 задачу из ОГЭ. В большинстве задач на оптику требуется сделать очень качественный рисунок.

Для начала рассмотрим некоторые обозначения. Зачастую в задачах используются двояковыпуклые тонкие собирающие линзы. Их обозначают линией со стрелками с обеих сторон:

Тонкая линза — линза, толщина которой пренебрежимо мала.

Благодаря минимальной толщине линзы, падающий луч будет преломляться один раз, а не два раза, как было бы, если бы линза была достаточно толстая — то, о чем мы говорили чуть выше.

Линия, которая пронизывает линзу ровно посередине и перпендикулярна самой линзе, называется главной оптической осью (ГОО, на нашем рисунке это прямая АВ). 

Пучки света (лучи, синие линии), идущие параллельно главной оптической оси (АВ) собираются в точке, называемой фокусом линзы (F). С этим понятием мы еще столкнемся немного позднее.

Теперь мы можем начать учиться строить изображения в собирающей линзе.

Теперь очень важный момент. Для построения изображения в собирающей линзе мы будем использовать два луча: 1) Первый луч будет проходить параллельно главной оптической оси, а после прохождения линзы он будет попадать в точку фокуса линзы. 2) Второй луч будет проходить через оптический центр линзы, в этом случае луч не преломляется. Точка, в которой будут пересекаться эти лучи, и будет изображением.

Давайте построим изображение (S’) в собирающей линзе.

Источник света S, находящийся на расстоянии d от линзы и на расстоянии h от ГОО, будет иметь изображение S’ на расстоянии f от линзы и H от ГОО. Таким образом, мы построили изображение источника света.

А что, если наш предмет будет находиться на главной оптической оси? Как тогда построить ход лучей и найти его изображение? Будем строить его как обычно, по двум лучам. Первый луч пойдет вдоль оптической оси и не будет преломляться при прохождении оптического центра линзы. А вот второй луч подобрать труднее. 

Пустим второй луч под произвольным углом к ГОО. Тогда как мы можем определить его ход? Для этого нам надо знать, что пучок лучей, падающих параллельно, при прохождении линзы пересекутся в одной точке на фокальной плоскости — плоскости, перпендикулярная главной оптической оси, которая проходит через фокус. Среди этих лучей есть один, направление которого нам известно, — луч, проходящий через оптический центр линзы. Он не меняет направления. Проведем его параллельно заданному лучу и найдем их точку пересечения на фокальной плоскости.

Именно этот прием мы и будем использовать при построении изображения, лежащего на ГОО.

Почему глаз — это линза? Дело в том, что мы видим не предметы вокруг себя, а отраженный от них свет. Хрусталик нашего глаза выступает собирающей линзой, которая и сводит лучи на сетчатке глаза. Здесь световая информация преобразуется в электрический импульс. Именно он далее несет информацию по цепочке нейронов в мозг. На рисунке 1 — хрусталик глаза (собирающая линза), 2 — сетчатка глаза (экран).

Оказывается, что отрезки h, d, f, H связаны между собой следующей формулой:

\(Г = \frac{H}{h} = \frac{f}{d}\), где Г — линейное увеличение линзы; H — расстояние от изображения до ГОО (м); h — расстояние от источника света до ГОО (м); f — расстояние от изображения до линзы (м); d — расстояние от источника света до линзы (м).

Примечание: на самом деле, что для источника света, что для предмета построение изображения будет одинаковым. Тогда полученная точка будет крайней точкой изображения.

Оказывается, что расстояния от предмета до линзы (d) и от его изображения до линзы (f) имеют связь с фокусным расстоянием линзы (F). Фокусное расстояние (F) — это расстояние от главного оптического центра линзы до точки схождения всех лучей, проходящих через линзу. Также эта формула называется формулой тонкой линзы:

\(\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\), где F — фокусное расстояние (м); f — расстояние от изображения до линзы (м); d — расстояние от источника света до линзы (м).

Теперь, если вам в задании на ОГЭ попадется задача на расчет фокусного расстояния линзы (F), вы сможете ее решить следующим образом.

Задача. Тонкая собирающая линза расположена между источником света и экраном, на котором планируется получить четкое изображение источника. Расстояние от экрана до линзы равно 90 см, а от линзы до источника — 180 см. Каково фокусное расстояние линзы? Ответ дайте в метрах.

Решение:
Согласно формуле тонкой линзы:

\(\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\)

Преобразуем формулу, чтобы найти F:

\(F=\frac{df}{d+f}\)

По условию: 
\(f\) расстояние от изображения до линзы – 90 см;
\(d\) — расстояние от источника света до линзы – 180 см.

Отсюда найдем фокус линзы:

F=\(\frac{df}{d+f}\)=\(\frac{180*90}{180+90}\)=60 (с) м=0,6 (м)

Ответ: 0,6 м

Стоит отметить, что полученные изображения могут быть разных видов. Сейчас мы рассмотрим и объясним каждый из них:

• Действительное изображение — изображение, которое образуется по другую сторону от предмета за линзой.
• Мнимое изображение — изображение, которое получается в той же плоскости, где находится и предмет.
• Прямое изображение — изображение, которое находится над ГОО.
• Перевернутое изображение — изображение, которое находится под ГОО.

Также существуют увеличенное, уменьшенное и равное изображения. Их можно отличить, сравнив H и h. Если H>h, то изображение увеличенное, H<h — изображение уменьшенное, H=h — равное.

Мы с вами только что рассмотрели общий случай для построения изображения в собирающей линзе, а также различные виды изображений. 

При этом существуют закономерности для построения изображения, в зависимости от расположения предмета. 

	Первый случай уникален — два главных луча не пересекаются справа от линзы. Однако можно мысленно (пунктиром) соединить их слева, тогда выйдет точка пересечения. Если провести перпендикуляр из этой точки вниз к главной оптической оси, мы увидим изображение изначального предмета. Оно будет мнимым, потому что получилось благодаря мысленному продолжению лучей, в действительности они не пересекаются! Только в этом случае изображение будет прямое.
	Во втором случае, когда предмет стоит в фокусе, изображения не будет. Два главных луча оказываются параллельными и не дают ни действительного пересечения, ни мнимого.
	В третьем случае мы получаем действительное пересечение лучей. Это будет перевернутое (с другой стороны от главной оптической оси) увеличенное изображение (больше самого предмета).
	В четвертом случае предмет стоит в двойном фокусе d = 2F — если проверить по формуле тонкой линзы, то 1/F = 1/2F + 1/f, 1/f = 1/F – 1/2F = 1/2F, отсюда f тоже равно 2F! При этом увеличение Г = f/d = 1, то есть предмет и его изображение равны по размерам и расположены одинаково далеко от линзы. Это факт, который можно использовать сразу.
	В последнем, пятом случае получаем действительное, перевернутое, уменьшенное изображение.

Сейчас мы с вами полностью разобрали особенности собирающей линзы и построение изображения в ней. Осталась одна формула, которую очень легко запомнить. Это формула оптической силы линзы:

\(D = \frac{1}{F}\), где   D — оптическая сила линзы (дптр); F — фокусное расстояние (м).

Важно понимать, что оптическая сила измеряется не в Ньютонах, а в диоптриях (дптр), несмотря на наличие слова «сила».

Для чего нужна эта величина? Диоптрии используют в оптике и обозначают оптическую силу линз, то есть способность линзы преломлять лучи. За единицу оптической силы выбрана такая единица измерения, при которой фокусное расстояние равно одному метру.

Так ли безобидна росинка? Оказывается, что роса также является собирающей линзой. То есть она собирает все пучки света в одном месте. Если на очень сухую траву попадает большое количество солнечных лучей, то она может загореться. Тогда может загореться и целый лес, но для этого должно совпасть большое количество факторов. А еще по аналогичному принципу происходят внезапные возгорания от бутылки или банки с водой, оставленных на солнечном месте. Интересный случай произошел во время проведения Чемпионата мира по футболу в 2018 году. К этому событию была выпущена ограниченная партия бутылок с водой в форме футбольного мяча. Читатели одного петербургского издания оставили бутылку с водой на освещаемом солнцем полу, а через некоторое время почувствовали запах жженого ламината. Оказалось, что бутыль сфокусировала пучок солнечных лучей и сработала в качестве линзы.

Изображение в рассеивающей линзе

В рассеивающей линзе пучок лучей, параллельный главной оптической оси, расходится, а продолжения лучей собираются в фокусе F перед линзой. Изображение всегда мнимое, прямое, уменьшенное.

Рассеивающая линза на графике обозначается за прямую со стрелками, направленными друг на друга. 

Давайте рассмотрим, как нужно строить изображения в рассеивающей линзе. Общие правила построения те же, что и для собирающей линзы.

Параллельный пучок лучей в рассеивающей линзе расходится после нее в разные стороны. Они соберутся, только если мы мысленно (или на бумаге) продолжим их до пересечения. Фокус получается будто мнимый, поэтому для рассеивающей линзы F < O и D = 1/F < 0. Изображения здесь скучнее, один и тот же случай (мнимое, прямое, уменьшенное изображение) во всех пяти ситуациях, на каком бы расстоянии от линзы ни стоял предмет.

Как наука может улучшить жизнь огромному количеству людей? Очки — это и есть линзы. То есть с помощью очков огромное количество людей получило возможность облегчить дефекты зрения. Все-таки наука может творить чудеса. Кстати, первым человеком, которого интересовала возможность коррекции зрения, был знаменитый Леонардо Да Винчи. В архиве его работ хранятся чертежи шара, заполненного водой, через который человек с плохим зрением лучше видел. Также в его чертежах находили схемы линз, которые стали предшественниками современных контактных линз.

Таким образом, мы выяснили, как получаются те или иные изображения в разных линзах. Все характерные случаи учить не нужно. Нужно научиться правильно строить изображения в зависимости от вида линз, чтобы у вас никогда не возникало трудностей.

Еще немного практики 

Так как без задач на тему оптики не обходится ни один вариант ЕГЭ / ОГЭ, уделим побольше времени практике.

Задача 2. На лабораторной работе по физике мальчику выдали оборудование: источник света S и линзу, положение главной оптической оси ОО’ которой изображено на рисунке. С помощью такой системы изображение получилось в точке \(S_1\). 

Определите примерный ход лучей и вид линзы.

Решение:

Восстановим ход лучей. Первый луч проведем через предмет S и его изображение \(S_1\):

Этот луч пересекает главную оптическую ось OO’ в оптическом центре линзы, значит линза расположена в этой системе следующим образом:

Проведем второй луч, который идет параллельно главной оптической оси OO’. Он преломится так, что изображение S₁ будет лежать на преломленном луче SO:

По рисунку видно, что преломленный луч рассеивается, так как он отклоняется вверх после прохождения линзы, поэтому линза является рассеивающей.

Ответ: рассеивающая линза

Задача 3. Предмет находится перед собирающей линзой между фокусным и двойным фокусным расстоянием. Как изменятся расстояние от линзы до его изображения, линейный размер изображения предмета и вид изображения (мнимое или действительное) при перемещении предмета на расстояние больше двойного фокусного (d>2F)?

Физические величины	Изменение величины
А) Расстояние от линзы до изображения предмета. Б) Линейный размер изображения предмета. В) Вид изображения предмета.	1) Увеличивается. 2) Уменьшается. 3) Не изменяется.

Решение:

Будем разбираться по порядку.

Собирающая линза дает действительное изображение предмета, если он удален от линзы на расстояние, большее чем фокусное (d>F). Следовательно, при переносе предмета из положения между фокусным и двойным фокусным расстояниями на расстояние, большее двойного фокусного, вид изображения не изменится, он останется действительным. В — 3.

Согласно формуле тонкой линзы, расстояние от предмета до линзы, расстояние от линзы до изображения и фокусное расстояние связаны соотношением \(\frac{1}{F}\)=\(\frac{1}{f}\)+\(\frac{1}{d}\). Отсюда выведем \(\frac{1}{f}\):

\(\frac{1}{f}\)=\(\frac{1}{F}\)-\(\frac{1}{d}\)

Здесь d у нас увеличивается, а значит, дробь  \(\frac{1}{d}\)  уменьшается, фокусное расстояние остается постоянным. Тогда дробь \(\frac{1}{f}\) увеличивается, следовательно, само расстояние от линзы до изображения f уменьшается. А — 2.

Для решения последнего пункта сделаем рисунок, на котором покажем ход лучей в нашей ситуации:

Из рисунка видно, что линейные размеры предмета и изображения связаны с расстояниями от предмета и изображения до линзы соотношением \(\frac{H}{h}\)=\(\frac{f}{d}\) (из подобия треугольников). Таким образом, при удалении предмета (увеличении d), линейный размер изображения H будет уменьшаться. Б — 2.

Ответ: 223

Фактчек

• Линза — прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями.
• Собирающая линза — линза, центральная часть которой толще, чем ее края.
• Рассеивающая линза — линза, центральная часть которой уже, чем ее края.
• Тонкая линза — линза, толщина которой пренебрежимо мала. 
• Действительное изображение — изображение, которое образуется по другую сторону от предмета за линзой.
• Мнимое изображение — изображение, которое получается в той же плоскости, где находится и предмет.
• Прямое изображение — изображение, которое находится над главной оптической осью.
• Перевернутое изображение — изображение, которое находится под главной оптической осью.

Проверь себя

Задание 1.
Каким будет изображение, если предмет находится на фокусном расстоянии от собирающей линзы?

1. увеличенным
2. уменьшенным
3. ровным
4. изображения не будет

Задание 2.
В тонкой собирающей линзе получили изображение предмета, которое находится на расстоянии 2F от линзы. Каким будет увеличение?

1. 5
2. 14
3. 1 
4. 0

Задание 3. 
Какие изображения выдает рассеивающая линза?

1. действительные
2. мнимые
3. увеличенные
4. вогнутые

Задание 4.
Чему равна оптическая сила линзы, если ее фокусное расстояние равняется 0,2 м?

1. 0,04
2. 0,5
3. 5
4. 1

Ответы: 1. — 4; 2. — 3; 3. — 2, 4. — 3.