Импульс. Закон сохранения импульса

На этой странице вы узнаете

• Сила не пропорциональна ускорению: 2 Закон Ньютона врет?
• Как работает тот самый антистресс с шариками в кабинетах директоров?
• Что происходит с хоккеистом, когда он бьет по шайбе?

Замечали ли вы, что при прямом столкновении некоторые тела отлетают друг от друга, а некоторые, наоборот, соединяются между собой? Например, если мы кинем резиновый мячик в стену, то он отскочит, а если кусок пластилина, то он прилипнет.

При этом в каждом случае тела продолжают двигаться по-разному в зависимости от вида столкновения. Интересно, почему так получается? Сейчас во всем разберемся!

Импульс силы

В статье «Законы Ньютона» мы изучали движение тела под действием силы в какой-то определенный момент времени. Для описания характера изменения физических величин со временем необходимо учитывать промежуток времени, в течение которого действует сила.

Импульс силы — временнáя характеристика силы, равная произведению силы на время ее действия. 

Мы знаем, что любая сила имеет направление, тогда и ее импульс тоже обладает направлением, совпадающим с направлением вектора силы. Математически импульс силы выражается как:

\(\vec{p} = \vec{F} \Delta t\) , где p — импульс (Н * с); F — сила, действующая на тело (Н); t — время (с).

Используем полученную формулу для решения задачи. Она может встретиться вам в номере 3 ЕГЭ.

Задание. Вдоль го­ри­зон­таль­ной оси Ox дви­жет­ся ма­те­ри­аль­ная точка мас­сой 5 кг под дей­стви­ем го­ри­зон­таль­ной силы \(\overrightarrow{F}\). В на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни тело по­ко­и­лось. Гра­фик за­ви­си­мо­сти силы F от вре­ме­ни t изображен на ри­сун­ке ниже. Чему равен им­пульс ма­те­ри­аль­ной точки в конце четвертой се­кун­ды? (Ответ дайте в ньютонах на се­кун­ду).

Решение. Им­пульс, пе­ре­дан­ный телу за не­ко­то­рый про­ме­жу­ток вре­ме­ни, равен про­из­ве­де­нию этой силы на время ее дей­ствия: 

\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{F}*\Delta t\)

Тогда импульс тела, полученный за первую секунду, равен
\(р_1=4Н*1с=4Н*с\). 

Импульс тела, полученный с конца первой секунды и до конца третьей, равен \(р_2=2Н*(3-1)с=4Н*с\). 

Импульс тела, полученный с конца третьей секунды и до конца четвертой, равен 0, т.к. сила равна 0.

Итого суммарный импульс \(\sum р=р_1+р_2+р_3=8Нс\)

Ответ: 8

Сила не пропорциональна ускорению: 2 Закон Ньютона врет? На самом деле, нет. Второй закон Ньютона существует не только в привычной нам форме \(\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}\), но и в такой: \(\overrightarrow{F} =\frac{\overrightarrow{p}}{\Delta t}\). Она называется 2 Законом Ньютона в импульсной форме и гласит о том, что изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы.

Импульс тела. Изменение импульса

Мы ввели понятие импульса силы. Как его применять на практике? Предположим, что изначально тело двигалось с какой-то скоростью V₀. Вскоре на это тело начала действовать постоянная сила \(\vec{F}\), из 2 закона Ньютона следует, что в системе появится ускорение \(\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}\). Пусть эта сила действует в течение времени t, тогда скорость тела из закона равноускоренного движения:

\(\vec{V} = \vec{V_0} + \vec{a} \Delta t = \vec{V_0} + \frac{\vec{F}}{m} * \Delta t\). 

Перенесем начальную скорость тела в левую часть и умножим получившееся уравнение на массу тела. Получим:

\(m \vec{V} — m\vec{V_0} = \vec{F} \Delta t\). 

Правая часть данного уравнения характеризует внешнее воздействие на тело (импульс силы), а вот левая часть представляет собой изменение импульса тела.

Импульс тела — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на вектор скорости его движения. 

[p] = кг * м / с.

Представим тогда наше уравнение через импульсы тела: \(\vec{p} — \vec{p_0} = \vec{F} \Delta t\), где \(\vec{p}\) и \(\vec{p_0}\) — конечный и начальный импульсы тела соответственно.

Данное уравнение является математическим обоснованием жизненного факта: чем быстрее движется тело и чем больше его масса, тем сложнее будет его остановить. В данном утверждении скорость и масса тела связаны с импульсом тела. 

Значит, чем большим импульсом обладает тело, тем большую силу нужно приложить для изменения его скорости.

Приведем пример. На картинке изображены грузовик массой M и человек массой m, которые двигаются с равной по модулю скоростью \(\vec{V}\). Импульсы грузовика и человека равны \(\vec{p_M} = M \vec{V}\) и \(\vec{p_m} = m \vec{V}\) соответственно. Найдем силу, которую необходимо приложить для полной остановки этих тел. 

Из уравнения \(\vec{p} — \vec{p_0} = \vec{F} \Delta t\) получим, что \(\vec{p} = 0\), так как тела остановятся. Тогда для грузовика -\(\frac{\vec{p_M}}{\Delta t} = \vec{F_M}\), а для человека -\(\frac{p_m}{\Delta t} = vec{F_m}\). Знак минус показывает, что необходимо прикладывать силу, направленную против движения тел (что логично для остановки). 

Из приведенных уравнений можно сделать вывод, что при равных промежутках времени воздействия \(\Delta t\) для остановки грузовика нужно приложить большую силу, чем для человека, так как \(|\vec{p_m}| < |\vec{p_M}|\) (M > m).

Удивительно, но только что мы с помощью физики обосновали это жизненное наблюдение.

А что делать, если у нас не одно движущееся тело, а несколько? Можно ли найти импульс системы нескольких тел? Оказывается, да, ведь импульс – это аддитивная величина! Тогда импульс системы тел равен векторной сумме импульсов каждого тела, входящего в систему:

Этим фактом мы воспользуемся дальше, когда будем говорить про закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса

Рассмотрим идеальную систему, состоящую из двух тел: например, два теннисных шара массами m₁ и m₂, движущиеся навстречу друг другу. Будем считать, что на систему не действуют силы извне или действие этих сил скомпенсировано другими силами (такие системы называют замкнутыми).

В какой-то промежуток времени шары столкнутся и подействуют друг на друга с равными по модулю силами (исходя из 3 закона Ньютона). Тогда у каждого из шаров появятся ускорения. Найдем эти ускорения через изменение скоростей тел: 

\(\vec{a_1} = \frac{\Delta \vec{V_1}}{\Delta t} = \frac{\vec{V_1} — \vec{V_{01}}}{\Delta t}\) и \(\vec{a_2} = \frac{\vec{\Delta V_2}}{\Delta t} = \frac{\vec{V_2} — \vec{V_{02}}}{\Delta t}\), 

где \(\vec{V_{01}}\) и \(\vec{V_{02}}\) — скорости шаров до момента столкновения, \(\vec{V_1}\) и \(\vec{V_2}\) — скорости шаров после столкновения, \(\Delta t\) — время удара шаров. 

Первый шар действует на второй с силой \(\vec{F_1}\), а второй действует на первый с силой \(\vec{F_2}\), причем из 3 закона Ньютона \(\vec{F_1} = -\vec{F_2}\). Совместим полученные уравнения: 

\(m_1 \frac{\vec{V_1} — \vec{V_{01}}}{\Delta t} = -m_2 \frac{\vec{V_2} — \vec{V_{02}}}{t}\), 

сократим время взаимодействия: 

\(m_1(\vec{V_1} — \vec{V_{01}}) = -m_2(\vec{V_2} — \vec{V_{02}}) \Leftrightarrow m_1 \vec{V_1} — m_1 \vec{V_{01}} = -m_2 \vec{V_2} + m_2 \vec{V_{02}}\)
\(m_1 \vec{V_1} + m_2 \vec{V_2} = m_1 \vec{V_{01}} + m_2 \vec{V_{02}}\). 

Заметим, что в левой части находится сумма импульсов шаров после столкновения, которая равна суммарному импульсу шаров перед столкновением. Данное уравнение является примером закона сохранения импульса.

Закон сохранения импульса: импульс системы в отсутствие внешнего взаимодействия сохраняется, независимо от взаимодействий тел друг с другом.

\(m_1 \vec{V_{01}} + m_2 \vec{V_{02}} = m_1 \vec{V_1} + m_2 \vec{V_2}\), где m1 — масса первого тела (кг); m2 — масса второго тела (кг); V1 — скорость первого тела до столкновения (м/с); V2 — скорость второго тела до столкновения (м/с); V01 — скорость первого тела после столкновения (м/с); V02 — скорость второго тела после столкновения (м/с).

Закон сохранения импульса является векторным законом, поэтому импульс системы для проведения вычислений необходимо проецировать на оси.

Как работает тот самый антистресс с шариками в кабинетах директоров? Он работает за счет закона сохранения импульса. Импульс крайнего шара передается по всем шарам системы до последнего, сообщая ему скорость. Если бы система была идеальной (то есть не было бы силы трения), то такой антистресс работал бы всегда!

Шарики в таком антистрессе сделаны из стали, и если мы бросим один из них их на пол, то он отскочит. А если бросить, например, игрушку «лизун», то он при ударе об пол не будет никуда отскакивать, а прилипнет к поверхности. Как изменится его импульс в таком случае?

Абсолютно упругий и неупругий удары

В физике рассматривают 2 вида ударов тел: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Разберемся с каждым из них.

Чем отличаются упругий и неупругий удары?

1. Неупругий удар — удар, после которого тела движутся как единое целое, слипшись. На картинке пластилиновый шар массой m движется со скоростью v к неподвижному телу M. После удара они движутся как единое целое со скоростью u.

Запишем закон сохранения импульса для такой системы. Пусть \(\vec{p_1} = m\vec{v_1}\) и \(\vec{p_2}= m\vec{v_2}\) – импульсы тел массами m и M соответственно. Тогда закон принимает вид:

\(m\vec{v_1}+ m\vec{v_2} = (m+M)\vec{u}\)

Учтем, что \(\vec{v_2}=0\) и \(\vec{v_1}=\vec{v}\) и спроецируем наш закон на ось Х:

\(mv = (m+M)u\)

2. Упругий удар — удар, после которого тела движутся отдельно друг от друга. Стальной шар массой m движется со скоростью v к неподвижному шару M. После удара они разлетятся в разные стороны: шар движется против оси (поэтому импульс берем со знаком «–») со скоростью v’, а другой шар — по оси со скоростью u.

Запишем закон сохранения импульса в этом случае:

\(m\vec{v_1} + M\vec{v_2} =m\vec{v’}+ M\vec{u}\)

Учтем, что \(\vec{v_2}=0\) и \(\vec{v_1}=\vec{v}\) и спроецируем наш закон на ось Х:

\(mv = -mv’+Mu\)

Что происходит с хоккеистом, когда он бьет по шайбе? По закону сохранения импульса хоккеист также приобретает скорость, направленную в противоположную сторону. Однако, так как масса шайбы невелика по сравнению с массой хоккеиста, ее действие на игрока стремится к нулю.  Может, стоит сказать шайбе, чтобы она позвала старшего брата, который сможет дать отпор?

А теперь давайте попрактикуемся и применим полученные знания для решения номера 3 ЕГЭ.

Задание. Си­сте­ма со­сто­ит из двух тел a и b. На ри­сун­ке стрел­ка­ми в за­дан­ном мас­шта­бе ука­за­ны им­пуль­сы этих тел. Чему по мо­ду­лю равен им­пульс всей си­сте­мы? (Ответ дайте в ки­ло­грам­мах на метр в се­кун­ду.)

Решение. Мы уже знаем, что импульс – векторная величина, поэтому мы можем разложить вектора на горизонтальную и вертикальную составляющие, т.е. на оси Ох и ОУ.

Тогда суммарный импульс тела в проекцию на ось Х будет равен 0, т.к. вектора \(p_{ах}\) и \(p_{bх}\) направлены в противоположные стороны и равны по модулю (в данном случае по количеству клеточек в длину). 

А суммарный импульс системы в проекции на ОY равен: \(p_y= p_{ay}+p_{by} = 10 + 10 = 20 кг・м/с\).

Ответ: 20

В этой статье мы узнали, что такое импульс, выяснили, как он связан с силой, действующей на тело, и скоростью, с которой оно движется. Обсудили закон сохранения импульса для замкнутой системы тел и его формулировки для упругого и неупругого ударов. 
Но на самом деле, при соударении двух тел меняется не только импульс системы, но и ее энергия. А о том, что это такое, мы поговорим в следующей статье «Энергия. Законы сохранения энергии. Работа и мощность».

Фактчек

• Импульс силы является временнóй характеристикой силы.
• Импульс тела — векторная величина, совпадающая с направлением скорости тела и равная произведению массы на скорость.
• Чем большим импульсом обладает тело, тем большую силу нужно приложить для изменения его скорости.
• Импульс системы в отсутствие внешнего взаимодействия сохраняется, независимо от взаимодействий тел друг с другом.
• Импульс системы для проведения вычислений необходимо проецировать на оси.

Проверь себя

Задание 1. 
При каком условии импульс системы сохраняется?

1. Когда тела движутся
2. Когда тела не движутся
3. Когда система является замкнутой
4. Всегда

Задание 2.
Какая система называется замкнутой?

1. Ограниченная в пространстве
2. В которой не действуют внешние силы
3. Неподвижная
4. Движущаяся с постоянной скоростью

Задание 3.
Какое тело сложнее остановить: автобус или велосипед?

1. Автобус
2. Велосипед
3. Нельзя однозначно сказать
4. Одинаково при равных скоростях

Задание 4.
Какие соударения рассматриваются в ЕГЭ по физике?

1. Сильные и слабые
2. Электромагнитные и гравитационные
3. Упругие и не очень упругие
4. Абсолютно упругие и неупругие

Ответы: 1. — 3; 2. — 2; 3. — 3; 4. — 4.