Умскул учебник стремится стать лучше! Если вы наткнулись на ошибку или неточность в нашем материале - просто сообщите нам, мы будем благодарны!
Физика

Заряженные частицы в однородном магнитном поле

12.5.2022
7206

В этой статье вы узнаете

  • Где в повседневной жизни используется сила, действующая на частицы в магнитном поле?
  • Почему сила, действующая на частицы в магнитном поле – это двигатель прогресса?
  • Большой физик из маленькой страны: о ком речь?

В жизни заряженных частиц есть множество законов и закономерностей, которым они подчиняются. Они могут быть схожи с нашим, макроскопическим миром, а могут действовать лишь только в мире заряженных частиц. В этой статье мы подробнее узнаем о том, какая сила действует на частицы в магнитном поле, а также разберемся в том, кто эту силу открыл и как она помогает нам по сей день.

Сила Лоренца

Для начала давайте вспомним, кто они – герои нашей статьи – заряженные частицы? В статье «Электростатика» мы детально обсуждаем их устройство. Для нашего сегодняшнего разговора нужно помнить, что:

  • Заряженные частицы — это частицы, обладающие электрическим зарядом (например, электроны или протоны).
  • Протон — положительно заряженная частица, обладающая элементарным электрическим зарядом: \(e=-1,6*10^{-19}\) Кл. 
  • Электрон — отрицательно заряженная частица, обладающая элементарным электрическим зарядом: \(e=-1,6*10^{-19}\) Кл.

Как было бы скучно, если бы эти частицы просто существовали, и всё. Хорошо, что жизнь заряженных частиц наполнена неожиданными поворотами и яркими красками. Они могут отталкиваться друг от друга, притягиваться друг к другу, куда-то двигаться, причем двигаться по-разному. Сегодня мы как раз и разберемся в их «танцевальных баттлах». 

Уточним детали «вечеринки»:

Где проходит? В магнитном поле. Это особый вид материи, который создается вокруг постоянных магнитов или движущихся электрических зарядов. Но сейчас нас интересует лишь поведение движущегося электрического заряда во внешнем постоянном магнитном поле. За подробностями по данной «локации» всегда можно обратиться в статью «Магнетизм и характеристики магнитного поля»

Что делаем? Используем силу Лоренца, то есть особую силу со стороны магнитного поля. 

Сила Лоренца — это сила, действующая на заряженные частицы в магнитном поле.

Где в повседневной жизни используется сила, действующая на частицы в магнитном поле?

Сила Лоренца используется в СВЧ-печах или попросту микроволновках. С ее помощью электроны разгоняются до определенных скоростей и излучают волны, которые и подогревают нашу еду.

Формула силы Лоренца

При решении задач на движение частиц в однородном магнитном поле мы с вами невольно становимся судьями их «танцевального баттла». По каким же критериям мы оцениваем участников и их номера?

Первый критерий – величина силы Лоренца. Чтобы мы смогли определить чемпиона среди частиц, нам нужно как-то количественно выразить эту силу. Все это уже сделал до нас в конце XIX века голландский физик Хендрик Лоренц, который и открыл данную силу. Модуль силы Лоренца Fл численно равен:

\(F_Л=|q|VBsin\alpha\), где

|q| — модуль заряда частицы (Кл),
V — скорость частицы (м/с),
B — величина индукции магнитного поля (Тл),
\(\alpha\) — угол между вектором скорости и вектором индукции магнитного поля.

Единица измерения FлН (Ньютон).

Давайте немного попрактикуемся и сразу решим задачу на применение этой формулы. Такие задачи могут встретиться в номерах 13, 16, 17, 26 КИМ ЕГЭ.

Задача. Протон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции со скоростью V = 600 км/c. Определите модуль индукции магнитного поля, если сила Лоренца, действующая на протон, равна Fл= 2 пН. Ответ дайте в Тл, округлив до целых.

Решение.
Вспомним формулу для силы Лоренца:
\(F_л=|q|BVsinα\).

По условию протон влетает в магнитное поле перпендикулярно, то есть под углом 90° к линиям магнитной индукции, поэтому sinα=sin90°=1. Тогда выразим модуль индукции магнитного поля B, предварительно переведем скорость из км/c в м/c, а силу из пН в Н:

V = 600 км/c = 600000 м/c.
\(F_л=2\) пН \(=2*10^{-12}\) Н
\(B=\frac{F_л}{|q|V}=\frac{2*10^{-12}}{1,6*10^{-19}*600000} \approx 20,83\) Тл\(=21\) Тл.

Ответ: 21 Тл

Почему сила, действующая на частицы в магнитном поле – это двигатель прогресса?

Именно сила Лоренца направляет частицы, движущиеся на неимоверных скоростях, в большом адронном коллайдере. Это такое устройство, в котором одноименно заряженные частицы сталкиваются между собой, в результате чего получаются новые, более редкие частицы. Для этого устройства пришлось построить целое здание, именно поэтому он называется «большим». С помощью адронного коллайдера были сделаны значимые открытия в квантовой физике, которые помогли ученым объяснить некоторые закономерности.

Направление силы Лоренца

Что еще нам надо учитывать в «танцевальном баттле» частиц? Сила Лоренца — величина векторная, то есть имеющая помимо количественного значения еще и направление своего действия. 

Второй критерий нашего оценивания, он же фактор, определяющий направление силы Лоренца — это знак заряда частицы. Если она положительно заряженная, то сила Лоренца будет действовать на нее в одну сторону, а если отрицательно заряженная, то в другую.

Но как же определять направление силы Лоренца? Для этого люди придумали правило левой руки. 

Не надо путать его с правилом правой руки, которое используется для определения направления магнитного поля вокруг проводника с током, о чем подробнее вы можете узнать в статье «Магнетизм и характеристики магнитного поля». Кстати, правило левой руки там тоже описывается.

Правило левой руки

Четыре пальца левой руки располагают по направлению движения положительно заряженной частицы (противоположно движению отрицательно заряженной частицы). При этом вектор магнитной индукции входит в ладонь, тогда отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы Лоренца.

Раз уж мы познакомились с правилом левой руки, то можем и закрепить его, решив задачу на магнитное поле.

Потренируемся в определении направления движения частицы в магнитном поле и использовании правила левой руки. Такую задачу мы можем встретить в №13 КИМ ЕГЭ.

Задача. На рисунке изображен протон, пролетающий через область действия магнитного поля. Определите направление силы Лоренца, действующей на протон. В ответ запишите один из вариантов: вверх, вниз, влево, вправо, к наблюдателю, от наблюдателя.

Решение.

По условию задачи в магнитном поле движется протон — положительно заряженная частица. Согласно правилу левой руки для такой частицы, если четыре пальца направить по направлению скорости ее движения, а ладонь расположить так, чтобы силовые линии магнитного входили в ладонь, то большой палец укажет направление действия силы Лоренца.

Здесь сила Лоренца направлена от наблюдателя.

Ответ: от наблюдателя

Следующий критерий оценивания участников нашего необычного соревнования – выход на сцену. Будет ли вообще сила Лоренца действовать, а наша частица «танцевать» зависит от того, под каким углом она влетит в магнитное поле. 

Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле

Участники нашего «баттла» – частицы – умеют танцевать в разных стилях. У частицы есть несколько вариантов движения в однородном магнитном поле. Она может завертеться и закружиться, а может и вовсе пролететь мимо. Все зависит от угла , под которым она «выйдет на сцену», то есть влетит в это магнитное поле. Это угол между направлением скорости частицы и направлением линий магнитной индукции. Давайте разберемся во всех случаях, двигаясь от простого к сложному.

Итак, вашему вниманию три вида танцев частиц.

Угол равен 0° или 180°

Случай №1 проходит под кодовым названием «для ленивых». 

Частица влетает в магнитное поле параллельно линиям магнитной индукции, то есть угол между направлением скорости и направлением линий магнитной индукции равен 0о или 180о.

По формуле \(F_Л=|q|VBsin\alpha\) сила Лоренца в данном случае будет равна нулю, так как согласно правилам математики \(sin0°=sin180°=0\). То есть ничто не будет влиять на траекторию движения частицы, она будет двигаться равномерно (с постоянной скоростью) и прямолинейно. 

Скучноватый танец получается – двигаться все время прямо, но уж что есть, то есть.

Угол a равен 90°

Перед тем как перейти ко второму случаю, давайте разберемся с такими понятиями, как период и круговая частота обращения тела.

Период обращения (Т) — это время, за которое тело совершает полный оборот по своей траектории.

В нашем случае траекторией будет ровная окружность, поэтому формула для периода примет вид:

\(T=\frac{2πR}{V}\), где

\(V\) — модуль скорости тела (м/c),
\(R\) — радиус траектории частицы (м).

Единица измерения — с (секунда).

Круговая частота обращения, циклическая или угловая частота (ω) — это количество колебаний, которое тело совершает за 2π секунд.

Все перечисленные названия данной физической величины стоит запомнить, потому что в разных источниках ее могут называть по-разному. Теперь же запишем формулу для нее, и тоже не одну, а целых две. Одна будет выражена через обычную частоту колебаний, а другая через период:

\(ω=2πv=\frac{2π}{T}\), где

\(v\) — частота колебаний тела (Гц),
\(T\) — период колебаний тела (с).

Единица измерения — с-1 (секунда в минус первой степени).

Разобравшись с понятиями частоты и периода, можем переходить уже непосредственно к «танцам». 

Случай №2: танец, посвященный траектории движения Земли вокруг Солнца, ходу стрелок часов и раскручиванию мешка со сменкой в руке.

Частица влетает в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции, то есть угол между направлением скорости и направлением линий магнитной индукции равен 90о.

Разберемся на примере положительно заряженной частицы. По правилу левой руки определим направление силы Лоренца. Для этого четыре пальца левой руки расположим по направлению скорости частицы, сделаем так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, тогда отогнутый на 90⁰ большой палец покажет направление силы Лоренца.

Если бы частица была заряжена отрицательно, четыре пальца надо было бы направить противоположно скорости частицы.

Помимо определения направления, мы можем посчитать еще некоторые характеристики нашей частицы, а именно период и частоту обращения

Сейчас мы с вами будем решать задачу. Пока что применим для нашей частицы второй закон Ньютона, который подробно рассмотрен в статье «Законы Ньютона». Выразив из второго закона Ньютона силу как F=mа, где m – масса тела, а – ускорение, мы получим следующую запись формулы силы Лоренца: 

\(qVBsin\alpha=mа_{цс}\)

Откуда у нас взялось ускорение? Его породила сила Лоренца, действующая на нашу частицу. В этом случае ускорение (ацс) будет не обычным, а центростремительным, так как частица двигается по окружности. Для такого ускорения есть особая формула, выраженная через скорость тела и радиус траектории: \(а_цс=\frac{V^2}{R}\), где \(V\) — скорость тела (м/c), \(R\) — радиус траектории тела (м).

А вот sin будет равен единице, так как угол между направлением скорости и направлением линий магнитной индукции равен 90о, то есть sin90о=1. Тогда перепишем второй закон Ньютона с учетом вышесказанного:

\(qVB=\frac{mV^2}{R}\).

Отсюда выразим скорость частицы:

\(qB=\frac{mV}{R}\),

\(V=\frac{qBR}{m}\).

Теперь подставим эту скорость в формулу для периода обращения, которую мы записали выше:

\(T=\frac{2πR}{V}=\frac{2πR}{\frac{qBR}{m}}=\frac{2πm}{qB}\).

Вот мы и получили формулу для определения периода вращения частицы, движущейся перпендикулярно линиям магнитной индукции в однородном магнитном поле.

Давайте подставим формулу для периода в формулу для частоты обращения и получим еще одну полезную для решения задач формулу:

\(ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{\frac{2πm}{qB}}=\frac{qB}{m}\).

И сразу убедимся в полезности этой формулы на практике. Задачи на эту тему могут встретиться в первой части в КИМ №17, а также во второй части в КИМ №26, 28 ЕГЭ.

Задача. Частица массой m имеет положительный заряд q и движется в однородном магнитном поле с индукцией B так, что ее скорость перпендикулярна линиям магнитной индукции. Траектория частицы — окружность, радиус которой R. Сила тяжести на частицу не действует.

Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать.

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
А) скорость движения частицы
Б) частота обращения частицы

ФОРМУЛЫ
1) \(\frac{qBR}{m}\)
2) \(\frac{m}{qBR}\)
3) \(\frac{qB}{m}\)
4) \(\frac{m}{qB}\)

Решение.
Для начала найдем скорость движения частицы. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную к центру траектории движения нашей частицы:

\(F_л=mа_{цс}\)

Теперь распишем силу Лоренца и центростремительное ускорение по определению. Сразу же учтем, что угол между направлением скорости и направлением линий магнитной индукции прямой, поэтому \(sin\alpha=sin90⁰=1\):

\(qBVsin\alpha=\frac{mV^2}{R}\)

Совершим математические преобразования и выведем формулу для скорости:

\(qB=\frac{mV}{R}\),
\(V=\frac{qBR}{m}\).

В таком случае А – 1.

Теперь найдем частоту обращения частицы, для этого вспомним формулу для нее через период:

\(ω=\frac{2π}{T}\).

Далее запишем формулу для периода и подставим ее в формулу для частоты:

\(T=\frac{2πR}{V}\),
\(ω=\frac{2π}{\frac{2πR}{V}}=\frac{V}{R}\).

И наконец подставим в получившуюся формулу выражение для скорости, полученное в пункте А:

\(ω=\frac{\frac{qBR}{m}}{R}=\frac{qB}{m}\).

Тогда Б – 3.

Ответ: 13

Также вполне возможно рассчитать и радиус обращения нашей частицы. Для этого из формулы для скорости, которую мы получили чуть выше, выразим радиус R:

\(R=\frac{mV}{qB}\).

Прежде чем перейти к третьему и последнему случаю, стоит кое о чем предупредить. С точки зрения формул этот случай сложный и не изучается в школьной программе. Поэтому мы расскажем о нем и даже покажем рисунок, но количественно ничего выводить не будем.

Угол a не равен 0°, 90° или 180° 

Случай №3: сложный танец, который лучше подойдет для чемпионата мира, чем для нашего скромного «танцевального баттла».

Частица влетает в магнитное поле под некоторым углом , который не равен 0о, 90о и 180о.

В таком случае траекторией движения нашей частицы будет спираль:

Большой физик из маленькой страны: о ком речь?

Хендрик Лоренц — ученый из Нидерландов. Именно он не давал покоя героям этой страницы, разгоняя их до неимоверных скоростей. 

Лоренц был гением в своей области. Хотя в раннем детстве его считали отстающим в развитии. Он внес неимоверный вклад в науку, но обладал скромным характером, и практически не печатался за рубежом. Весь мир узнал о его трудах в 19 веке, и теперь каждый школьник изучает силу Лоренца. 

Итак, мы с вами разобрались в том, как же ведут себя заряженные частицы в магнитном поле. Задания на эту тему для нас больше не страшны, а мир заряженных частиц стал чуточку менее загадочным.

Термины

Линии магнитной индукции — это во­об­ра­жа­е­мые ли­нии в про­стран­стве, ка­са­тель­ная к ко­то­рым сов­па­да­ет с на­прав­ле­ни­ем ин­дук­ции маг­нит­но­го по­ля в каж­дой точ­ке по­ля.

Модуль числа — это его абсолютная величина. При взятии модуля мы не учитываем знак этого числа — положительное оно или отрицательное. Модуль числа всегда неотрицателен и обозначается с помощью модульных скобок: |a| ≥ 0.

Фактчек

  • Силы Лоренца – это сила, действующая на заряженные частицы, которые двигаются в магнитном поле. Ее модуль численно равен: \(F_Л=|q|VBsin\alpha\).
  • Период обращения частицы – это время, за которое частица совершает полный оборот вокруг своей траектории: \(T=\frac{2πR}{V}=\frac{2πm}{qB}\).
  • Частота обращения частицы – это количество колебаний, которые совершает частица, за время \(2π : ω=2πv=\frac{2π}{T}=\frac{qB}{m}\).
  • Определение направления силы Лоренца осуществляется с помощью правила левой руки.
  • Когда частица двигается по окружности, на нее действует центростремительное ускорение.

Проверь себя

Задание 1.
Какой формулой определяется сила Лоренца?

  1. \(F_Л=|q|VBsin\alpha\)
  2. \(F_Л=|q|Bsin\alpha\)
  3. \(F_Л=|q|Vsin\alpha\)
  4. \(F_Л=VBsin\alpha\)

Задание 2.
Какая сила будет действовать на электрон, движущийся в магнитном поле с магнитной индукцией 5 Тл со скоростью 0,1 м/с? Заряд электрона принять равным \(1,6*10^{-19}\) Кл.

  1. \(0,08*10^{-19}\)Н
  2. \(0,8*10^{-19}\)Н
  3. \(8*10^{-19}\)Н
  4. \(1*10^{-19}\)Н

Задание 3.
Какой формулой определяется период обращения частицы в магнитном поле?

  1. \(T=\frac{2\pi m}{qB}\)
  2. \(T=\frac{2m}{qB}\)
  3. \(T=\frac{2\pi m}{q}\)
  4. \(T=\frac{mq}{B}\)

Задание 4.
Чему равна сила Лоренца, действующая на частицу, которая влетает параллельно линиям индукции магнитного поля?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. -1

Задание 5.
Какая будет траектория у частицы, влетающей под некоторым углом к линиям индукции магнитного поля?

  1. прямая
  2. окружность
  3. спираль
  4. парабола

Ответы: 1.— 1; 2.— 2; 3. — 1; 4. — 1; 5. — 3.

Понравилась статья? Оцени:
Читайте также:

Читать статьи — хорошо, а готовиться к экзаменам
в самой крупной онлайн-школе — еще эффективнее.

50 000
Количество
учеников
1510
Количество
стобальников
>15000
Сдали на 90+
баллов