Планиметрия на ЕГЭ-2025: разбор задачи №17

Четыре чёрненьких чумазеньких чертёнка чертили чёрными чернилами чертёж…

… и забрали максимум за задачку по геометрии. В скороговорке об этом не сказано, но мы точно знаем, что так и было, особенно если они изучали материал от Умскул у Артура Шарафиева.

В этой статье мы пошагово разберём реальную задачу по планиметрии из ЕГЭ и покажем, что даже самые запутанные условия не такие сложные, если внимательно во всём разобраться.

Разбор задачи

Биссектрисы острых углов А и B прямоугольного треугольника ABC пересекают окружность, описанную около этого треугольника в точках А1 и B1 соответственно.

а) Докажите, что угол А1BB1 равен 45°.

б) Биссектриса угла C пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке C1. Найдите B1C1, если АB = 2 √3, угол BAC = 60°.

Сразу можно сделать вывод, что гипотенуза прямоугольного треугольника — это диаметр диаметр описанной около треугольника окружности. Первое, что нам нужно, — отобразить все данные графически, чтобы было наглядно и понятно.

Давай немного порассуждаем. Обозначим угол CAA1 за α, тогда угол А1АВ также равен α, так как АА1 — биссектриса угла А. Аналогично, пусть угол СВВ1 равен β, тогда угол В1ВА также равен β. В прямоугольном треугольнике АВС сумма острых углов равна 90°, значит 2α + 2β = 90°. Следовательно α+ β= 45°.

Сами α и β найти невозможно. Если точка С  будет бегать по окружности, 135° и 45° сохранятся, а α и β могут меняться. 

Итак, первое задание. Важно изобразить угол, который описан, на нашем рисунке.

Как доказать, что угол А1BB1 равен 45°

Угол А1BВ1 опирается на дугу B1A1. Если эта дуга будет равняться 90°, то искомый угол будет равен 45° как вписанный. По правилу вписанный угол в два раза меньше дуги, на которую он опирается. Угол САА1 опирается на дугу СА1, тогда эта дуга равна 2α. Градусная мера дуги должна быть в два раза больше, чем вписанный угол. Аналогично для угла А1АВ. Угол α опирается на дугу А1В, следовательно это тоже 2α. Дуга В1С в два раза больше, чем угол В1ВС. Значит, дуга В1С равна 2β. Аналогично для дуги АВ1 получаем, что её градусная мера равна 2β.

Что у нас получается?

Мы можем сказать, что верхняя полуокружность равна 180°. Получаем 2β + 2β + 2α + 2α = 180°. Поделим обе части выражения на два, получим 2β + 2α = 90 градусов, но нам надо это доказать. Значит, дуги два альфа и два бета в сумме дают 90 градусов, дуга А1СВ1 равна 90°, и вписанный опирающийся на них угол А1BB1 равен 45°, что и требовалось доказать.

Итак, мы доказали, что дуга B1A1 равна 90°, а значит вписанный угол А1BB1 равен 45°. Именно это нас и просили доказать в задаче.

Перейдём ко второму пункту.

Как найти B1C1

Биссектриса угла C пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке C1. Найдите B1C1, если АB = 2 √3, угол BAC = 60°.

Снова первым делом важно отобразить всё на рисунке.

Если C1C — биссектриса, то углы АСС1 и А1СС1 равны 45°, потому что биссектриса делит угол 90° пополам. По условию АB = 2 √3, а это у нас диаметр, что тоже важно.

Если угол BAC 60°, тогда мы можем найти α. 60° пополам — получается по 30°. И если один угол в треугольнике 60°, то второй 30° — и тут мы можем найти β. Углы получаются по 15°, так как их разделяет биссектриса.

Здесь нам поможет теорема синусов. Если найти sin угла ɣ (дополним им наш рисунок), то будет так: если сторону B1C1 поделить на sin ɣ, мы получим два радиуса описанной окружности. Всё дело в том, что треугольник B1BC1 вписанный. Мы же здесь можем взять любые треугольники внутри окружности. Везде будет работать эта теорема синусов.

Мы уже знаем, что одна из частей угла ɣ равна 15°, осталось найти, чему равен угол АВС1.

Он опирается на дугу AC1. Теперь ищем другой угол, который опирается на эту же дугу. Как видно на рисунке, на дугу АC1 опираются углы ACC1 и ABC1. Поскольку угол АСС1 равен 45°, то угол АВС1 также равен 45° — как опирающийся на одну дугу с углом АСС1. Тогда складываем 45° и 15°, получаем 60°. Sin 60° мы знаем.

По теореме синусов для треугольника ВВ1С: В1С1 / sin 60° = два радиуса описанной окружности. Два радиуса у нас известны — это диаметр АВ.

В1С1 = АВ × sin 60°

В1С1 = 2√3 × (√3/2). 

Двойки сокращаем, получаем 3. Это и есть ответ на вопрос задачи.

Такие разборы и много другой полезной практики и теории по всем предметам — на онлайн-занятиях в Умскул! Занимайся с лучшими спикерами и тренируйся на домашках и пробниках: