Математика в информатике: основы и практическое применение. Часть 2

На этой странице вы узнаете

• Как не переплатить в магазине?
• Почему множества важны при составлении меню?
• Как правильно построить забор?

В предыдущей части статьи «Математика в информатике: основы и практическое применение. Часть 1» мы углубились в увлекательный мир чисел, рассмотрели различные их виды, научились выполнять основные арифметические операции и узнали, как переводить текстовые задачи на математический язык. Также мы раскрыли важную тему делимости чисел и ее практические применения.

А сегодня, продолжая наше увлекательное путешествие, мы погрузимся еще глубже в захватывающий мир математики и рассмотрим другие аспекты!

Числа. Округление чисел

В математике округление чисел играет важную роль при представлении нецелых чисел в более удобной форме. Округление позволяет нам приближенно представить числа как целые или с ограниченным числом десятичных разрядов. 

Как не переплатить в магазине? В маркетинге очень много уловок, одна из них напрямую связана с ценами. Наверняка вы часто видите, что цена не круглая, а, например, 199 рублей 99 копеек. Это не просто так: 190 рублей воспринимаются значительно приятнее, чем 200 рублей. Поэтому нужно внимательно смотреть на ценники.  Чтобы не ошибиться с ценами в магазине, обязательно пользуйтесь правилам округления правильно, внимательно изучайте цену и товар.

Если у нас есть десятичное число, мы можем округлить его до определенного числа разрядов или ближайшего целого числа в соответствии с математическими правилами. 

Это может включать классические правила округления, а также округление в большую или меньшую сторону в зависимости от значения дробной части числа:

• Когда мы округляем число до целого значения, мы рассматриваем его десятичную часть и принимаем решение о приближении к ближайшему целому числу.
  
  В случае, если дробная часть числа менее 0,5, мы округляем число в меньшую сторону, а если дробная часть числа равна или больше 0,5, мы округляем число в большую сторону.
  
  Например, если у нас есть число 3,7 и мы округляем его до ближайшего целого числа, мы получаем число 4. Здесь дробная часть числа 0,7 больше или равна 0,5, поэтому мы округляем число в большую сторону.

• Округление в меньшую сторону означает приближение числа к наименьшему ближайшему целому числу. 

Например, если у нас есть число 3,7, и мы округляем его в меньшую сторону, мы получим число 3.  

Здесь и в случае округления в большую сторону мы не смотрим на классические правила округления, оговоренные выше. Этот метод округления стабильно уменьшает значение десятичного числа. Именно второй тип с картинки использовали правила округления в меньшую сторону, что недопустимо для цены.

Этот метод мы используем только в тех случаях, когда таким образом выполняется условие задачи. Во всех остальных случаях используются обычные правила округления.

• Округление в большую сторону, наоборот, приближает число к наибольшему ближайшему целому числу. 

Например, если у нас есть число 3,2 и мы округляем его в большую сторону, мы получим число 4. Этот метод округления стабильно увеличивает значение десятичного числа.

Округление чисел имеет широкие применения в различных областях, таких как финансовая математика, статистика, компьютерные науки и многие другие. Важно уметь правильно применять методы округления в зависимости от требований задачи и контекста.

Множества

​​Множества – это увлекательная и важная тема в математике. Что же такое множество?

Множество – это совокупность элементов, которые имеют какие-то общие свойства, и которые могут быть перечислены без учета порядка или повторений. 

Множества обозначаются фигурными скобками и перечислением элементов, например, {1, 2, 3, 4} множество чисел. Множество может состоять из конечного или бесконечного числа элементов.

Также выделяют подмножество. 

Подмножество – это множество, элементы которого также являются элементами другого множества. 

Например, множество {1, 2} является подмножеством множества {1, 2, 3, 4}. Обозначение подмножества можно записать в виде A ⊆ B, где A и B – два различных множества. Например, из множества машин можно выделить только красные или только зеленые, это также будет подмножеством. 

Со временем множества стали делить по различным признакам. Например, множества делятся на конечные, бесконечные и пустые. 

Самая интересная, пожалуй, часть изучения множеств – это работа с кругами Эйлера. 

Круги Эйлера – это визуальная диаграмма, которая представляет собой пересечение или объединение нескольких множеств. 

Круги Эйлера помогают наглядно представить пересечение и объединение множеств и понять взаимосвязь между ними. Возможно, определение это не совсем понятно. Давайте рассмотрим пример. 

В данном случае кругами обозначаются множества. Множество A – люди, которые любят настольные игры, а множество B – люди, любящие компьютерные игры. Такое представление позволяет наглядно решать задачи, а также удобнее обозначать какие-либо данные.

Почему множества важны при составлении меню? Давайте представим, что у нас есть два множества, в которых содержится еда. Есть вкусная – первое множество – пицца, бургеры, конфеты и т.п., а есть второе множество – полезная еда, это и фрукты, и овощи и многие другие продукты. При составлении меню нужно учитывать как полезность, так и вкусность еды. Поэтому нам нужно выбрать продукты, которые содержаться и в первом, и во втором множестве. Такая операция называется пересечением множеств. Именно о ней и о других операциях мы поговорим далее…

Пересечение множеств – это создание нового множества, которое содержит только элементы, присутствующие в обоих исходных множествах. 

Обозначается символом пересечения (∩). Например, пересечение множеств {1, 2, 3} и {3, 4, 5} даст нам множество {3}. На кругах Эйлера пересечением является область, входящая и в первое множество, и во второе.

Объединение множеств – это создание нового множества, которое содержит все уникальные элементы из обоих исходных множеств. 

Обозначается символом объединения (∪). Например, объединение множеств {1, 2, 3} и {3, 4, 5} даст нам множество {1, 2, 3, 4, 5}. На кругах Эйлера объединение обозначается как на картинке ниже. То есть мы берем всю область. 

Разность множеств – это создание нового множества, которое содержит элементы, принадлежащие одному множеству, но не принадлежащие другому. 

Обозначается символом, как на картинке ниже. Например, разность множеств {1, 2, 3} и {3, 4, 5} даст нам множество {1, 2}. Обратите внимание, что в разности имеет значение порядок расположения множеств, как и в обычной разности.

Дополнение множества – это создание нового множества, которое содержит элементы, не принадлежащие исходному множеству, но принадлежащие универсальному множеству. 

Обозначается символом дополнения (‘) или символом, как на картинке ниже. Например, если у нас есть универсальное множество U = {1, 2, 3, 4, 5}, и множество A = {1, 3}, то дополнение множества A  будет равно {2, 4, 5}.

Подведем небольшой итог, круги Эйлера – это метод визуализации множеств и их взаимосвязей. Они представляются с помощью пересекающихся окружностей, где каждая окружность представляет множество, а область пересечения окружностей соответствует пересечению множеств. Круг Эйлера также может включать области, соответствующие объединению, разности и дополнению множеств. Круги Эйлера позволяют наглядно представить сложные взаимосвязи и свойства множеств.

Потренируемся применять полученные навыки на примере задачи 8 номера ОГЭ.

Задание. В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:

Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу фильмы | сериалы?

Решение. Для решения данной задачи воспользуемся кругами Эйлера. Нарисуем наши множества:

Фильмы – множество A, а сериалы – множество B. При этом весь круг A весит 2000, а весь круг B – 2500. & – пересечение множеств, то есть закрашенная область у нас равна 500. Чтобы найти | мы должны знать белые области на рисунке выше. Найти их можно следующим образом:

В множестве A: 2000-500=1500
В множестве B: 2500-500=2000

Чтобы найти объединение:

Тогда сложим все: 1500+500+2000=4000

Ответ: 4000

Раз уж мы затронули тему геометрии, то предлагаем вспомнить и основные математические формулы для фигур.

Геометрические измерения

Важно знать, что необходимо использовать формулы и уравнения для определения периметра и объема различных геометрических фигур.

Периметр – это сумма длин всех сторон геометрической фигуры. 

Он является числовой характеристикой, которая показывает длину внешней границы фигуры. Для различных фигур (таких как прямоугольник, квадрат, треугольник, окружность) существуют специальные формулы для вычисления периметра.

Как правильно построить забор? Окружающий забор – это такая своеобразная рама, которая обозначает границу и предоставляет частную территорию. Когда речь заходит о построении забора, главным образом следует уделить внимание его периметру. Правильно измеренный и установленный периметр – ключевой фактор для обеспечения прочности и привлекательности забора, ведь никому не хочется тратить лишние деньги на материалы. Например, найдем периметр забора, ограничивающий сад. На картинке мы видим длины нашего забора. Чтобы найти периметр, необходимо их сложить:  P=4+6+4+6=20 метров — периметр забора

Объем – это мера пространства, занимаемого геометрической фигурой в трехмерном пространстве. 

Объем позволяет оценить, сколько места занимает фигура и какой объем вещества может она вместить. Формулы для вычисления объема зависят от типа фигуры, включая куб, параллелепипед, цилиндр, конус, сфера и так далее.

При решении задач на периметр и объем, важно понимать, какие измерения фигур необходимо учесть и как применять соответствующие формулы. Это может включать измерение длин, высот, радиусов и других параметров фигур. Некоторые задачи могут требовать комбинирования нескольких фигур или использования специальных свойств для облегчения решения.

Каждый из нас, несомненно, сталкивался с понятием «площадь» в повседневной жизни. Представьте, что вы взяли карандаш и нарисовали квадрат на листе бумаги. Затем вы разделили этот квадрат на маленькие квадратики такого же размера, как клетки в тетради. Площадь — это количество таких квадратиков, которое полностью укладывается внутри большого квадрата. Это как бы «заполнение» поверхности квадрата маленькими квадратиками.

Площадь – это мера поверхности двумерной фигуры. 

Она представляет собой количество квадратных единиц, которые полностью покрывают данную фигуру.

Пример нахождения площади прямоугольника:
Допустим, у нас есть прямоугольник со сторонами 6 м и 4 м. Чтобы найти его площадь, мы умножим длину на ширину:

6 м * 4 м = 24 м²

Таким образом, площадь прямоугольника равна 24 квадратным метрам.

Пример нахождения площади круга:
Пусть у нас есть круг с радиусом 5 см. Для нахождения его площади используем формулу r2, где π (пи) – это приближенное значение 3,14, а r – радиус круга:

3,14 * (5 см)² = 3,14 * 25 см² ≈ 78,5 см²

Таким образом, площадь этого круга приблизительно равна 78,5 квадратным сантиметрам.

Изучая периметр, площадь и объем фигур, мы расширяем наши возможности в геометрии и обретаем практический навык применения математических концепций в реальных ситуациях.

Потренируемся применять полученные навыки на примере задачи 6 номера ЕГЭ.

Задание. Исполнитель Черепаха передвигается по плоскости и оставляет след в виде линии. Черепаха может выполнять две команды: Вперед n (n  — число) и Направо m (m  — число). По команде Вперед n Черепаха перемещается вперед на n единиц. По команде Направо m Черепаха поворачивается на месте на m градусов по часовой стрелке, при этом соответственно меняется направление дальнейшего движения.

Запись Повтори k [Команда1 Команда2 … КомандаS] означает, что заданная последовательность из S команд повторится k раз.

Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:

Повтори 4 [ Повтори 3 [ Вперед 2 Направо 270] Вперед 5]

Найдите сумму площадей замкнутых фрагментов фигуры.

Решение. 

Более подробное решение этого задания рассматривается в статье «Исполнители Редактор и Черепаха». Мы же конкретнее остановимся на поиске верного ответа, когда уже дана готовая картинка. Именно в этой части решения нам понадобятся знания математики!

Мы видим 5 замкнутых фигур, площадь которых нам нужно найти. Мы знаем, что площадь прямоугольника ищется по определенной формуле, о ней мы говорили выше. Для начала найдем площадь одного из четырех квадратов:

2*2=4
То есть площадь одной фигуры равна 4, а у нас всего таких 4. Итого:

4*4=16 

А также осталась фигура центральная, внутри этих четырех. Найдем и ее площадь:

3*3=9

Сложим все получившееся значения и получим ответ:

16+9=25

Ответ:  25

В этой статье мы познакомились с основами математики, которые необходимы при изучении информатики! Приглашаем познакомиться с не менее интересной статьей «Основы программирования на языке Python», чтобы продолжить изучение информатики и увидеть, как математика связана с программированием. 

Термины

Разряд — это позиция или место, которое занимает цифра в числе.

Фактчек

• Округление чисел может выполняться по различным математическим правилам, включая округление в меньшую и большую сторону. Остаток от деления у отрицательных чисел также может быть учтен при округлении.
• Множества – это совокупности элементов, которые могут иметь разные типы и связи друг с другом. Понимание понятий подмножеств, пересечений, объединений, разности и дополнений множеств помогает в анализе и решении задач.
• Периметр фигуры – это сумма всех сторон фигуры, площадь фигуры – это мера поверхности двумерной фигуры в то время как объем фигуры – это мера пространства, занимаемого фигурой в трехмерном пространстве. Вычисление периметра и объема различных фигур требует знания специальных формул и умений.

Проверь себя

Задание 1.
Какое из следующих чисел будет округлено до 80 с использованием округления до ближайшего целого числа?

1. 78,6
2. 80,5
3. 80,2
4. 80,9

Задание 2.
Какое из следующих утверждений относится к понятию подмножества?

1. Если множество A содержит все элементы множества B, то A является подмножеством B.
2. Если множество B содержит все элементы множества A, то B является подмножеством С.
3. Если множество A и множество B содержат одинаковые элементы, то каждое из них является подмножеством другого.
4. Подмножества не существуют.

Задание 3.
Найдите периметр прямоугольника со сторонами 5 см и 10 см?

1. 25 см
2. 30 см
3. 40 см
4. 60 см

Задание 4.
Какой из следующих вариантов правильно определяет площадь прямоугольника со сторонами 6 и 8?

1. 2
2. 14
3. 24
4. 48

Задание 5.
Как называется совокупность элементов, имеющих общие свойства?

1. Группа
2. Тип
3. Множество
4. Прогрессия

Ответы: 1. — 3; 2. — 1; 3. — 2; 4. — 4; 5. — 3.