Алгебра для ОГЭ: 40+ формул и шаблонов задач

Когда готовишься к ОГЭ по математике, порой так хочется загрузить себе в голову целый компьютер — чтобы там хранились и все правила, и секретные способы решений, и полезные лайфхаки. 

В статье собрали формулы и шаблоны задач, чтобы загрузить их в твою «оперативную память». Повторяй перед экзаменом! 

Заглянем в кодификатор и посмотрим, какие темы ждут тебя на экзамене:

• числа и вычисления;
• алгебраические выражения;
• уравнения и неравенства;
• числовые последовательности;
• функции;
• координаты на прямой и плоскости;
• геометрия;
• вероятность и статистика.

Как решать задания с дробями

Сложение и вычитание дробей

Секрет — в разложении знаменателей на множители.

Например: $\frac{1}{30}+\frac{1}{42}$.

Шаг 1. Раскладываем знаменатели на множители:

• 30 = 5 · 6;
• 42 = 6 · 7.

Шаг 2. Смотрим, чего не хватает каждой дроби.

В первой дроби есть 5 и 6, не хватает 7 → умножаем числитель и знаменатель на 7.

Во второй дроби есть 6 и 7, не хватает 5 → умножаем на 5.

Шаг 3. Объединяем: $\frac{7}{210}+\frac{5}{210}=\frac{12}{210}$.

Шаг 4. Сокращаем, если нужно: 12 и 210 делятся на 6 → $\frac{2}{35}$.

Лайфхак: всегда разбивай знаменатели на максимально маленькие множители. Так ты увидишь общую структуру и не запутаешься.

Если хочешь подтянуть дроби или другие темы по выбранным предметам и отследить свой прогресс на пути подготовки к экзаменам, ищи специалиста среди «Умскул Репетиторов».

Сокращение дробей

Сокращать можно только одинаковые множители, которые есть в числителе и знаменателе. Для этого нужно разделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Например: $\frac{44·6}{4}$.

Частая ошибка: некоторые пытаются сократить 44 и 4, а потом ещё 6 и 4. Это неправильно: так ты делишь на 4 дважды (то есть на 16).

Как правильно:

• 44 · 6 = (4 · 11) · 6;

• $\frac{44·11·6}{4}$ = 11 · 6 = 66.

Правило одной черты: перечёркиваешь четвёрку сверху и снизу — и готово.

Алгебраические дроби

Принцип тот же: ищем, чего не хватает. 

Например: $\frac{5}{А}+\frac{20}{A(A + 4)}$.

В первой дроби знаменатель A. Во второй — A(A + 4).

Первой дроби не хватает множителя (A + 4).

Умножаем: $\frac{5(А + 4)}{A(A+ 4)}+\frac{20}{A(A + 4)}=\frac{5A+20+20}{A(A + 4)} =\frac{5A + 40}{A(A + 4)}$.

Потом дроби можно сократить, если есть общий множитель.

Перевод обыкновенных дробей в десятичные

В первой части ОГЭ ответы должны быть целыми числами или конечными десятичными дробями. Чтобы превратить дробь в десятичную, нужно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число так, чтобы в знаменателе получилось 10, 100, 1000 и так далее. Но прежде чем приступать к вычислениям, надо проверить, можно ли вообще превратить данную дробь в десятичную.

Например, дробь $\frac{3}{20}$ можно перевести в конечную десятичную, потому что её знаменатель раскладывается на множители 2 и 5: $\frac{3}{20}=\frac{3}{2 · 2 · 5 }$.

Чтобы в знаменателе получилось 100, умножаем 20 на 5. Не забываем умножить и числитель: 3 ⋅ 5 = 15. Получаем $\frac{15}{100}$.

Теперь смотрим на знаменатель: в числе 100 два нуля — значит, в числителе отсчитываем справа два знака и ставим запятую.

Ответ: 0,15.

Формулы сокращённого умножения

На ОГЭ нужно быстро и грамотно преобразовывать выражения.

Правила раскрытия скобок

У каждого числа есть знак: либо «+», либо «−». Если знак не написан, то это «+».

Как меняются знаки при умножении:

• одинаковые знаки → плюс («+» · «+» = «+»; «−» · «−» = «+»);
• разные знаки → минус («+» · «−» = «−»; «−» · «+» = «−»).

Множитель перед скобкой умножается на каждое слагаемое внутри. 

Минус перед скобкой означает умножение на −1.

Вынесение за скобки — операция, обратная их раскрытию. Чтобы это сделать, найди общий множитель у всех слагаемых.

Таблица квадратов двузначных чисел 

На ОГЭ по математике таблица входит в справочные материалы и нужна для ускорения вычислений, позволяет быстро находить квадраты чисел от 0 до 99 и извлекать квадратные корни без использования калькулятора. Понадобится при решении квадратных уравнений, работе с формулами сокращённого умножения.

Свойства степеней

Эти свойства помогут упростить выражения или привести их к нужному виду. Встретятся в задании №8 на ОГЭ.

Типы уравнений на ОГЭ

1. Линейные уравнения. 

Признак: x в первой степени, не в знаменателе. 

Например: 27x + 12 = 14.

2. Дробно-рациональные уравнения. 

Признак: x есть в знаменателе.

Например: $\frac{x² − 2x}{x − 1}−\frac{2x − 1}{1 − x}=3$.

3. Квадратные уравнения.

Признак: есть x².

Например: ax² + bx + c = 0.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая прогрессия — последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d. Число d называется разностью арифметической прогрессии.

Геометрическая прогрессия — последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q (знаменатель геометрической прогрессии).

Вероятность события

Теория вероятностей встречается в задании №10 ОГЭ по математике. Оно проверяет базовые знания по этой теме: классическое определение, деревья вероятностей, суммы вероятностей несовместных событий и работу с диаграммами Эйлера.

Пример задания на вычисление вероятности: 

Всего на зачёте было 45 билетов, причём Настя не выучила 9 из них. Найдите вероятность того, что Насте попадётся выученный ею билет.

Вероятность события можно найти по формуле P(A) = $\frac{M}{N}$

, где M — количество благоприятных исходов, N — общее число исходов.

Всего было 45 билетов, значит, N = 45. Настя не выучила 9 билетов, получается, 45 − 9 = 36 (их она выучила). Значит, M = 36. Тогда Р(А) = $\frac{36}{45}=\frac{4}{5}$ = 0,8.

Ответ: 0,8.

Примеры задач на ОГЭ

1. Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах. 

Пол воспринимаем как прямоугольник. Чтобы найти площадь, умножаем длину на ширину: S = a · b, где a — длина, b — ширина.

Парное отделение имеет следующие размеры: длина — 3,4 м, ширина — 2 м, высота — 2,1 м.

Подставляем значения в формулу и получаем: S = 3,4 м · 2 м = 6,8 м².

Ответ: 6,8 м².

2. Во сколько рублей обойдётся покупка электрической печи с установкой и доставкой, если доставка печи до дачного участка будет стоить 1 000 рублей?

Обращаем внимание на стоимость электрической печи (28 000 рублей) и не забываем про установку.

Чтобы установить электрическую печь, нужно провести специальный кабель. Это обойдётся в 6 800 рублей. 

Получаем: 28 000 + 1 000 + 6 800 = 35 800 рублей.

Ответ: 35 800.

3. Доставка любой печи из магазина до участка стоит 800 рублей. При покупке печи стоимостью больше 20 000 рублей магазин делает скидку 15% на товар и 20% на доставку. Сколько будет стоить покупка печи №1 с доставкой в этих условиях?

Дровяная печь стоит 22 000 рублей → дороже 20 000 → будет скидка 15% на печь и 20% на доставку (стоимость доставки — 800 рублей). Находим 15% от 22 000 и получаем выгоду 3 300 рублей.

Вычитаем эту сумму из первоначальной цены, чтобы получить стоимость печи со скидкой: 22 000 − 3 300 = 18 700 рублей.

Находим 20% от 800 и получаем выгоду — 160 рублей.

Вычитаем эту сумму из первоначальной цены, чтобы получить стоимость доставки со скидкой: 800 − 160 = 640 рублей.

Вычисляем итоговую стоимость. Для этого прибавляем стоимость печи к стоимости доставки: 18 700 + 640 = 19 340 рублей.

Ответ: 19 340.

Формулы и шаблоны — это твой инструмент. Но он бесполезен без действия. Вот что поможет закрепить материал:

• решай по одному заданию каждый день;
• пользуйся актуальными справочными материалами;
• разбирай ошибки;
• решай задачи на время.

Перечитай статью, попробуй решать каждое задание, и успех обеспечен!

Реклама. ООО «УМ ПЕРВЫЙ». ИНН 1655497466. Erid: 2W5zFHaKmTF