к списку статей Параметры: задача №18 по профильной математике
Каждый год на ЕГЭ задачу с параметром №18 решает довольно мало ребят. А всё из-за банального страха школьников перед ней — многие даже не берутся её читать! Да, это одна из двух задач, за которые дают 4 балла, и нужно действительно овладеть определёнными приёмами и вариантами её решения.
В то же время, глядя на статистику прошлых лет, можно точно сказать, что задачи с параметрами решают на максимальный балл чаще, чем задачи по стереометрии №14 и планиметрии №17. Поэтому в погоне за высоким баллом терять из виду такую классную задачу не хочется.
В этой статье я, преподаватель профильной математики онлайн-школы «Умскул», разберу это задание, покажу несколько примеров и постараюсь снять с тебя страх раз и навсегда.
P. S. Предполагается, что ты уже владеешь необходимым арсеналом «уничтожения» заданий №13 и 15 (уравнения и неравенства).
Основные задачи и методы в параметрах
В первую очередь разберём, какие задачи и методы есть в параметрах.
1. Многочлены:
- решение квадратных и линейных уравнений;
- решение квадратных и линейных неравенств;
- теорема Виета для многочленов произвольной степени;
- исследование количества корней квадратных уравнений;
- решение уравнений высших степеней;
- решение неравенств высших степеней;
- рациональные уравнения и неравенства.
2. Другие функции:
- равносильные преобразования в уравнениях и неравенствах с радикалами;
- равносильные преобразования в уравнениях и неравенствах с модулями;
- равносильные преобразования в уравнениях и неравенствах с логарифмическими функциями;
- равносильные преобразования в уравнениях и неравенствах с показательными функциями;
- равносильные преобразования в тригонометрии.
3. Общие свойства функций и их исследование:
- графики простейших функций, свойства монотонных и непрерывных функций;
- преобразование графиков (сдвиг, гомотетия, модули, симметрии);
- уравнения множеств точек в осях XY и XА;
- построение областей, удовлетворяющих неравенствам, — метод областей;
- построение графиков с помощью производной, поиск области значений.
Дальше рассмотрим основные конструкции в параметрах и разберём, что делать, встреться она тебе в реальной жизни.
Две окружности и прямая
Чтобы переходить к решению, нужно знать следующие формулы ↓
- Уравнение окружности:
- Формула расстояния между двумя точками:
- Формула расстояния от точки до прямой:
По сути, в этом разделе всё сводится к исследованию нескольких возможных случаев с этой картинки:
Теперь переходим к примерам.
- Взаимное расположение окружности и прямой:
https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=510583
- Взаимное расположение окружностей:
https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=512361
- Взаимное расположение прямых:
https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=509931
- «Спрятанное» уравнение окружности:
https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=501693
- Модули и окружности:
https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=484649
- Уравнение отрезка:
https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=512382
После рассмотрения основных задач подобного типа можно двинуть дальше и начать угадывать не только уравнение окружности, но и другие знакомые выражения.
Задачи, которые сводятся к рассмотрению более простых функций
Самый частый и общий случай: решаемое уравнение является квадратным относительно какого-то выражения или функции. Тогда мы можем смело делать замену и решать простое квадратное уравнение. Но важно помнить, что количество корней исходного уравнения необязательно должно быть равно количеству корней уравнения, полученного после замены.
Пример 1: https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=512886
Пример 2: https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=508237
Давай обобщим все ограничения на корни:
Но, как и всегда, есть особые случаи. Что будем делать?
Есть несколько возможных сценариев:
- Уравнение является квадратным относительно функции с параметром. В этом случае мы стараемся всё свести к какой-нибудь совокупности путём разложения на множители.
Пример: https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=505474
- Есть вариант, что попадётся какая-то квадратичная функция и нас отправят искать корни. Например, в этом случае рассматриваем квадратный трёхчлен на отрезке со всеми его свойствами:
https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=500016
- Если появилось что-то привычное с решением какого-нибудь иррационального уравнения или неравенства с модулями, то рационализируем это условие и дальше решаем привычное рациональное уравнение с параметром.
Пример: https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=518118
Рационализируем всё это по следующей схеме:
Свойства функции при решении задач с параметром
В задачах такого типа, как правило, всё начинается с ужаса: выражение само по себе может просто вызывать отвращение. Но есть несколько вариантов, как это можно свести к более простой задаче, используя свойства функций.
- Монотонность. Одно из самых крутых и мощных свойств. Тут уже возможны три разных случая:
- Уравнение вида: монотонно возрастающая функция, равная константе, имеет не более одного решения.
Пример: https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=505244
- Свойство вида f(g(x)) = f(k(x)) ↔️ g(x) = k(x). Важно отметить, что все функции определены и мы учли заранее ОДЗ.
Пример: https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=513265
- Свойство модулей и монотонности кусочно-линейной функции.
Пример: https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=514128
- Оценка:
- Первый сигнал к применению идентифицировать очень просто: одна часть выражения большая, а другая маленькая.
Пример: https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=484639
- Второй вариант: возможность применить уже известные выражения, неравенства, соотношения.
Пример: https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=500411
- Симметрия. Когда применять:
- Если просят найти такое а, при котором уравнение или система имеет одно решение (не обязательно).
- Может быть, в этой задаче много чётных функций. В этом случае, вероятно, для каждого корня найдётся симметричный ему, но, если нам нужно одно решение, их можно приравнять.
Пример 1: https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=484631
Пример 2: https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=504547
- Непрерывность. Здесь помним про теорему о промежуточном значении функции:
Пример: https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=507891
На этом всё — базовые идеи рассмотрели!
Подытожим. Чтобы решить задачу с параметром, необходимо понять, к какому типу она принадлежит. Для этого в самом начале отвечаем себе на два вопроса:
- Выглядит ли это так, что мы можем это изобразить в осях XY?
- Могли бы мы нормально решить это уравнение/систему, если бы вместо a стояло какое-то конкретное число? Уравнение вида x² − 3 = a мы наверняка сможем решить при любом а, а уравнение x² = a ⋅ sin(x), скорее всего, нет.
- Если на первый вопрос ответ — «да», то сразу вспоминаем первый метод, уравнение отрезка и взаимное расположение прямых и окружностей вместе с методом областей.
- Если ответ на второй вопрос — «да», то делаем равносильное преобразование и/или исследуем квадратный трёхчлен.
- Если оба ответа — «нет» и условие кажется достаточно сложным, то, вероятнее всего, нужно будет использовать особые свойства функции:
— симметрию — тут часто есть модули;
— монотонность — есть композиция;
— много модулей, у одного из которых большой коэффициент;
— оценку с непрерывностью.
