Как заботать теорию чисел для ЕГЭ

Всем привет! Меня зовут Никита, я преподаватель профильной математики в Умскул. 

В этом материале я расскажу о последней задаче ЕГЭ по профилю — №19 на теорию чисел. Она состоит из трёх пунктов: «а» и «б» оцениваются в 1 балл, «в» оценивается в 2 балла. За неё дают 4 первичных балла — и это одна из самых плохо решаемых задач во всём варианте. Почему так? 

Многие боятся её, потому что запугали в школе, кто-то считает, что решать сложные задачи могут только одарённые ребята, кто-то абсолютно уверен, что для 80+ на экзамене достаточно решить «джентльменский набор», и всё. А кто-то пришёл к мнению, что раз за задачу дают 4 балла, то пласт теории для её решения нужен очень весомый.

Я же предлагаю для начала принять несколько фактов:

• ЕГЭ придуман для школьников → задачи в нём должны решаться методами школьной программы. Вопрос в другом: а как их применять?
• Чтобы набрать высокие баллы, нужно учиться решать все задачи. Неизвестно, где ты допустишь ошибку, немного затупишь, потеряешь баллы. 
• Невозможно прогнозировать сложность отдельных задач. А если ты понимаешь основы решения каждой задачи, то гарантированно в своём варианте решишь больше задач → получишь больше баллов, чем хочешь.

Мотивация поднялась? Теперь предлагаю прикинуть, как заботать эту задачу самостоятельно.

План

Ниже я распишу минимальный набор теории и тем, которые стоит изучить для успешного получения 4 баллов за эту задачу.

Делимость

Нужно знать само определение и основные признаки делимости: на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11. Из этого легко будет при необходимости вывести другие. Подчеркну — стоит реально разобраться, откуда они берутся и почему это так работает. При решении задач идеи этих доказательств тебе сильно помогут. В рамках этой темы ты также разберёшься с разложением на множители и представлением чисел в десятичном виде.

Остаток

Тут стоит сбавить темп и с нуля понять, откуда он берётся, какие значения может принимать при делении любого натурального числа на другое натуральное число. 

Например: Какие могут быть остатки при делении натурального числа a на 3? на 4? на 7?

Это безумно важная тема, так как идеи остатков применяются в огромном наборе задач на реальных экзаменах. Другой вопрос, что их надо научиться видеть, но об этом позже.

Диофантовы уравнения

Диофантово уравнение — это уравнение, решение которого ищется в целых числах. Зачем? Бывают тематические задачи про наборы, ящики и т. д. Ты составляешь уравнение или их систему и попадаешь в ситуацию, когда переменных больше, чем уравнений, которые их связывают. Но все решения тебе не нужны: достаточно одного для примера или надо оценить их потенциальное множество. 

Например: Найдите какое-нибудь целочисленное решение следующего уравнения: 3x + 5y = 1. 

Отработать эти и другие темы по профильном математике ты можешь на годовом курсе в онлайн-школе Умскул! Подробные и увлекательные вебинары с теорией, практика в домашках и пробниках и дружное комьюнити учеников — всё это с максимальной выгодой ты получишь на Основном курсе с Никитой. Записывайся прямо сейчас!

Принцип крайнего

Периодически встречаются задачи, в которых нужно доказать отсутствие решений в целых числах. В том числе в случаях, когда ты находишь решения и нужно доказать, что других нет. Тогда бывает полезно рассмотреть какой-то «крайний» элемент, то есть элемент, при котором некоторая величина принимает наибольшее или наименьшее значение. Например, наибольшую или наименьшую сторону треугольника, наибольшее или наименьшее значение переменной. В таких ситуациях часто помогает принцип крайнего. 

Например: По кругу выписано какое-то количество чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все числа равны.

Оценка плюс пример

Такой метод применяется, когда нужно найти наибольшее или наименьшее значение какой-то величины x. Тогда необходимо доказать, что x ≥ а — для наименьшего, x ≤ а — для наибольшего. Потом достаточно привести пример, когда x = а.

Последовательности

Часто встречаются задачи про некий набор различных чисел, возможно, образующих арифметическую последовательность. Тут стоит помнить про формулу n-го члена, сумму n членов, понятие среднего и переход к сумме.

Какие учебники прочитать, чтобы разобраться в егэшной теории чисел

Если ты плюс-минус что-то знаешь о задаче №19 и разборах отдельных задач, то наверняка возникала мысль: «Как тут можно было догадаться? Теория несложная, но как до этого додуматься?» Действительно, 90% теории проходят в 5–6-х классах. Но для решения задачи нужна определённая культура и навык, умение строить рассуждения, примеры, приводить доказательства. Нужна своего рода храбрость, чтобы начать решать задачу, в которой заведомо нет готового алгоритма решения. А ещё — время и целеустремлённость, чтобы выработать ту самую интуицию и опыт, благодаря которым ты будешь разрабатывать схемы решения для каждой задачи.

Ниже приведу ряд учебников, в которых здорово изложены идеи решения задач и, что куда важнее, принципы построения решения. На своих занятиях я использую те же самые идеи и различные подходы, но больше с уклоном в егэшную теорию чисел. 

Для самостоятельного изучения задач также будет невредно поразбирать задачи с Ютуба. Практика, практика и ещё раз практика!

В книге Г. И. Вольфсона большое внимание уделяется именно общекультурным математическим вопросам, а потому она исключительно полезна тем, кто сдаёт ЕГЭ. 

Не самая лучшая обложка, но в этом пособии нам нужны первые две главы. Задачи местами чуть труднее, чем на ЕГЭ. Очень хорошо подходит для подготовки к ДВИ и олимпиадам. 

Для начального уровня эта книжка подходит замечательно, и огромный плюс в том, что она достаточно короткая — осилить можно за неделю в спокойном темпе. 

Заключение

Не так страшен чёрт, как его малюют! Если ты начинаешь готовиться к ЕГЭ заранее, в том, чтобы научиться решать теорию чисел, нет вообще никакой проблемы. Подчеркну в заключение несколько важных аспектов этой задачи.

1. Если спрашивают: «Может ли быть…», то варианты ответа такие:

• «Да» — и ты приводишь пример, подтверждающий эту возможность. При этом, как пример был придуман, показывать не надо. Просто: «Да, может. Например…».
• Если ответ — «нет», важно показать, почему такая ситуация невозможна во всех случаях и в общем виде. Только один пример, который не работает, не является доказательством невозможности — откуда знать, что нет обратного примера?

2. В пункте «в» часто просят оценить какую-то величину. Не забывай, что полученная оценка должна быть подкреплена примером! Иначе снимут баллы, а это грустно.

С большой любовью к вам и теории чисел,

Никита Салливан из Умскул

Телеграм-канал, где ещё больше полезных материалов